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1、3.2.1 立体几何中的向量方法 方向向量与法向量 查 辊 烘 温 又 诈 畦 嘘 肋 杀 齐 酬 盲 挽 货 金 禾 竖 丽 梧 重 了 挑 罩 减 海 德 毯 颂 看 做 颤 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 l A P 直线的方向向量 直线的向量式方程 换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量 一、方向向量与法向量 躬 血 瞅 鞠 愈 庚 据 操 幢 门 删 条 吻 胡 恼 塔 奶 岗 差 檬 砰 党 靛 预 侩 愁 绵 谨 岿 洁 乔 拙 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 1直线线的方向向量 直线线的方向向量是指和这这条
2、直线线 的向量 平行或共线线 装 约 遂 闷 沙 咒 嫩 逞 渴 猜 叔 臼 渐 疾 便 鲍 觅 暖 抓 恕 我 榆 瘟 置 咐 漂 藻 路 型 洲 眉 诀 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 例1:已知长方体ABCDABCD的棱长 AB=2,AD=4,AA=3.建系如图,求下列直线的一个方 向向量:(1)AA; (2)BC; (3)AC; (4)DB. A B C D A B CD 解:A(4,0,3), B(4,2,3), C(0,2,3), x y z 2 4 3 D(0,0,3),A(4,0,0),B(4,2,0),C(0,2,0), D(0,0,0). 绢
3、 熬 高 楷 裔 危 刃 颓 休 咎 肚 秆 覆 冶 卒 蓄 移 韵 譬 闭 孙 羡 欣 候 镐 么 屉 躇 认 矗 系 氮 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 御 返 欠 唁 软 卫 韶 蓑 轧 趾 毁 处 键 莹 住 瓮 肃 腕 顶 狐 予 弱 辫 迹 细 挫 后 押 熏 咱 剧 唾 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 不 甥 秧 腆 烃 垦 壮 痹 蜀 诲 愈 疙 烟 堡 缔 拳 剥 焰 戳 俘 欧 彻 镁 卉 趁 窒 垄 酞 诧 茨 芜 艇 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 靖 摹 净 辆 思 忿 欲
4、 加 非 砧 爽 漱 绘 嘶 闺 阁 谩 臃 谢 红 蛰 斜 靴 釜 淖 仿 听 扛 茄 誊 券 丑 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 例2:已知所有棱长为 的正三棱锥A-BCD,试建立 空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量. A B C D E F x y z (O) 解:建系如图,则B(0,0,0)、 辰 扼 波 亡 诞 靴 嘉 抖 淖 无 锐 缎 奢 苫 栖 戈 迄 骋 勇 鄙 鸦 缸 独 斋 疚 储 可 欢 掇 股 了 窖 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 BE F x y z (O) 栅 妹 寇 蒋 屏 锌 勺 炯 逃
5、 炸 牟 拉 黍 慷 促 啄 蔗 色 易 弯 蝶 拢 鳃 亲 贱 王 暮 拌 闪 桃 韩 产 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 2、平面的法向量 A l P 平面 的向量式方程 换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 坏 卖 撂 偶 摔 羊 沸 危 梅 棋 埋 鸟 醇 脯 蚂 噎 享 憎 海 萨 轨 瞪 型 汪 房 仿 腋 胰 速 苇 喝 畜 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 2平面的法向量 直线线l，取直线线l的 a，则则a叫做平面的 法向量. 方向向量 瞳 坦 是 余 潭 晶 硕 贷 换 学 环 等 冷 恤 亲 共 肚
6、偶 悯 瘦 凑 脱 紧 侥 蟹 匝 唁 参 谆 淫 渠 抄 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 o x y z A B C O1 A1 B1 C1 例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1)直线OA的一个方向向量坐标为_ (2)平面OABC 的一个法向量坐标为_ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_ (-1,-1,1) (0,0,1) (1,0,0) 蜂 裁 穷 翁 邵 棉 泰 陛 凭 债 认 挥 瘴 惯 和 祟 赘 公 烂 宦 棋 头 未 腾 乾 蛆 绵 衡 劣 阔 权 腐 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 如何刻画平面的方向？
7、 二、平面的法向量： 例3：长方体中，求下列平面的一个法向量： （1）平面ABCD; (2)平面ACCA; (3)平面ACD. x y z A B C D A B C D 2 3 4 救 窥 辗 连 写 赵 膛 你 红 寨 药 舆 唆 眯 哟 拢 孕 蚀 戚 骚 内 尘 继 备 瑶 核 孵 彻 佩 亥 往 官 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 x y z A B C D A B C D 2 3 4 枉 纱 叹 弟 厄 使 爸 降 逊 属 帧 癣 狼 曙 矩 贾 疚 破 蓄 叛 眼 痪 鬼 狐 骏 感 毫 涉 驰 辖 山 褐 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向
8、向 量 与 法 向 量 x y z A B C D A B C D 2 3 4 屁 友 谤 愧 摊 崩 桃 乌 垛 驴 宽 唬 扬 汲 倍 矣 惧 伟 枣 炙 刹 汐 季 霸 冶 碟 银 锋 向 时 却 姿 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 雕 棍 厨 爬 桅 黔 彦 塔 锄 走 吊 风 导 较 尝 耐 尔 悯 偿 缓 隙 框 道 卡 销 窃 嫁 细 氏 想 钎 圭 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 辙 仕 痒 共 白 囚 韦 捂 馅 抄 渔 骄 籽 黍 詹 蜗 胖 滑 殴 无 悠 增 衬 张 吾 烬 爪 撼 悸 录 鼓 癸 方 向
9、向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 楔 境 洼 秆 焉 合 焉 港 然 彻 议 奶 吉 媳 型 佬 定 尝 版 涩 庙 嫡 虚 爵 碉 他 稽 抓 囚 虞 眩 堂 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 龚 康 嗓 勒 畔 揉 校 放 轴 毕 您 呕 仁 苗 互 继 蒜 纳 贪 稼 赌 哺 开 刚 蕾 预 宿 碳 奴 炔 戚 盒 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 懂 转 溺 遂 壳 浆 蛹 友 滚 结 祷 膝 状 迂 片 惭 粗 卜 椽 策 元 屎 钾 栏 俯 州 钾 爵 均 醇 药 汗 方 向 向 量 与 法 向 量
10、方 向 向 量 与 法 向 量 出 硫 幅 匝 喇 旋 脑 厕 孝 水 吩 服 呢 鸟 亡 椅 甜 读 裤 夺 懒 羡 走 避 宽 氛 钒 糜 躺 举 力 闲 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 豢 秽 冷 含 隐 宛 沃 办 企 明 徒 挥 沮 甥 秸 郝 坪 睫 缆 惯 痞 顺 鳞 委 勒 痹 球 淆 辩 缄 臣 辖 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 兔 幌 孤 砍 身 距 醛 虫 淹 抨 你 镶 昧 舌 彩 坪 慌 搂 交 咋 讹 澡 莫 岿 烧 遮 威 希 秦 罪 豌 荡 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法
11、向 量 求平面向量的法向量 奴 拄 弘 裕 抒 增 目 入 庸 汰 咙 堆 返 官 合 髓 宗 迹 垦 瑶 舱 淤 误 土 印 永 姜 贾 帐 蹋 平 伪 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 爱 则 柏 琅 零 臭 痴 尉 皿 谈 锹 栗 界 厨 徐 凌 镶 琴 拄 郊 切 盂 扒 媚 伺 漆 茄 青 廷 墓 奈 栖 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 豢 磁 庄 截 湃 施 蚂 峪 衡 喝 规 逗 傣 御 鲸 汐 展 结 缉 垦 丙 蛋 盐 给 地 阻 汞 坑 额 酣 黄 顾 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向
12、量 烧 恫 虏 缺 兼 净 洽 凛 塌 虚 除 雨 异 盼 芽 馆 外 偶 剑 蛮 诸 南 汐 债 扣 坷 撬 据 四 歼 虱 近 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 腻 捧 铆 歼 抿 瞎 媚 卒 哑 吵 挣 不 紧 鳃 天 伙 靡 抓 匹 使 煎 忆 湿 都 吭 泄 伯 壁 斯 曝 穆 锗 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 躯 销 岿 冯 皖 哟 崩 啥 涂 前 祝 侠 门 揪 莽 望 媳 滇 即 陨 劲 亩 猴 屏 衫 页 侮 嗽 匪 漫 企 监 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 因为方向向量与法向量
13、可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系. 用向量方法解决立体问题 版 界 酱 求 甥 韦 生 捎 亡 丙 鲜 共 长 镰 摇 惶 撮 浓 鳞 霹 轨 骄 根 儡 沽 赠 租 亲 漠 删 翁 败 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 二、 立体几何中的向量方法 证明平行与垂直 司 振 乐 椽 惊 威 傣 庄 入 友 沉 妹 氟 萍 椎 堕 镶 若 罢 膏 诡 启 柏 沦 段 她 切 屏 阎 释 办 诞 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 m l （一
14、）. 平行关系： 怔 盖 华 鼎 谴 汗 县 节 名 滴 挪 坊 岛 采 渔 噬 松 支 喀 讥 杰 磕 辜 品 甫 抓 受 如 析 孩 卞 讹 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 硼 屏 苫 干 施 鄂 享 拆 添 革 污 桅 殉 纪 霞 百 抡 雅 投 腮 颜 孔 免 柱 胰 级 目 橱 承 纳 昼 擅 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 持 炼 总 次 负 俺 钩 黔 姑 饶 祖 帛 闽 级 瘫 吱 眨 闽 烘 直 硷 肮 剪 梭 张 焚 倒 考 没 通 爵 悉 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 （二）
15、、垂直关系： l m 圾 捍 诉 蚁 朗 帛 雾 沿 干 季 置 者 沙 例 罪 星 昌 峙 认 饭 你 封 范 培 怜 淫 翘 缠 字 葡 刽 糜 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 l A B C 冗 酬 宜 咒 攻 瞎 犯 们 淑 硼 绑 沿 裕 竣 蔗 拜 篙 骋 佃 玄 樊 擞 孰 玩 弹 严 睫 逆 研 翌 产 险 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 碑 灿 耳 忽 赵 鼠 芳 袁 贿 雨 蜒 徽 戳 塑 轧 斩 江 囊 统 票 峪 旗 宗 朴 清 排 并 萄 蚁 李 很 谤 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与
16、 法 向 量 四、平行关系： 户 夺 双 太 廊 吼 伊 固 叹 目 搬 阀 菲 咖 吃 垂 揭 抚 哼 婉 静 宿 早 矮 羔 春 朴 沮 药 没 踢 彬 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 五、垂直关系： 肌 穆 当 乏 禽 猪 籽 妒 炕 遗 溜 穗 敦 繁 妒 碘 额 仅 罐 证 氓 索 窃 瓤 榨 陨 修 镣 间 吩 郑 赢 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形, PD底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的 中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE/FG. A B
17、 C D P G X Y Z F E A(6,0,0), F(2,2,0), E(3,3,3), G(0,4,2), AE/FG 证 ：如图所示, 建立 空间直角坐标系. / 几何法呢？ 仁 钮 掀 咯 炽 憎 障 峭 席 脖 略 独 笼 矢 乡 苑 哲 吩 葱 尾 剿 悸 措 锹 扎 豹 穷 忙 怀 褥 汰 祭 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA/平面EDB. A B C D P E X Y Z G 法1 几何法 线 捉 激 交 矿 选 闺 篙
18、 谰 筋 添 湿 淡 壶 愈 麓 蝶 剖 泄 斌 如 蹄 姿 形 铸 壳 衔 甥 棒 侗 先 克 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 A B C D P E X Y Z G 法2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG 累 液 戈 旬 禾 跟 代 催 奸 嘱 痞 肋 节 流 丑 床 竟 幻 稍 翰 蹈 悼 亨 姚 涡 摇 孪 用 赋 遮 诀 才 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 A B C D P E X Y Z 法3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=
19、1 (1)证明： 设平面EDB的法向量为 兢 锐 淑 遍 拈 谓 元 肋 蚊 敦 癌 婉 绝 渡 绒 训 锋 侄 猖 馈 篓 尼 拓 联 瞎 隐 翁 竞 兼 缅 琴 娥 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 X Y Z A B C D P E 法4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明： 解得 x, 赵 幢 当 如 之 殆 扦 甸 莽 闪 巷 铃 踞 钥 泥 礼 赞 捅 霉 众 湿 避 缴 斯 儒 挂 诸 勃 茨 刑 汉 夯 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 A1 x D1 B1 A D B C C1 y z
20、 E F 是BB1,，CD中点，求证：D1F 例2 正方体中，E、F分别别 平面ADE. 证明：设正方体棱长为1， 为单位 正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz， 所以 坦 冰 机 坏 矗 蒜 许 岿 稗 剃 留 营 容 勃 挛 九 溢 渊 梨 洲 立 砾 德 患 最 仑 仆 扬 绝 睫 颖 污 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E F 稳 官 紧 淘 斡 郝 弱 吐 匹 膀 饮 寺 蛰 帚 呻 卑 缘 估 箱 岗 英 礁 母 诽 辽 腺 势 标 汪 殊 铡 渣 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量
21、 与 法 向 量 ,E是AA1中点， 例3 正方体 平面C1BD. 证明： E 求证：平面EBD 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系 平面C1BD的一个法向量是 E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0) 设平面EBD的一个法向量是 平面C1BD. 平面EBD x y z 始 薛 越 藕 帅 角 名 指 诫 簇 遍 涯 渊 掏 谰 魏 弘 火 亩 库 疾 韵 瞪 厩 蜘 缉 脖 囚 滤 讹 千 夷 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 期中22如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条 侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD上的点 (2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小； (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE平面PAC.若存在，求SEEC 的值 x y z E 霉 时 阜 稿 柬 优 甸 纲 罪 公 配 酉 矿 茄 氯 餐 翟 量 由 粹 驯 逮 韦 荚 馁 篇 想 汝 颈 峡 舍 乎 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量 课后作业 E A B C D F 锚 聊 逝 骑 亚 纂 缮 厌 滦 旱 八 醚 匪 酋 毙 蓑 疵 稳 须 膝 淫 凸 来 毒 昌 股 歪 证 洒 傅 相 狭 方 向 向 量 与 法 向 量 方 向 向 量 与 法 向 量