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1、,第四章 圆与方程 4.1 圆的方程,4.1.1 圆的标准方程,问题提出,1.在平面直角坐标系中，两点确定一条 直线，一点和倾斜角也确定一条直线， 那么在什么条件下可以确定一个圆呢？,2.直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示，怎样建立圆的方程是我们需要探究的问题.,圆心和半径,圆的标准方程,知识探究一：圆的标准方程,平面上到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.,P=M|MA|=r.,思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？,思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径 为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义x，y应满足什么关系？,(x-a)2+(y-b)2=r2,思考4:对于
2、以点A(a，b)为圆心，r为半径的圆，由上可知，若点M(x，y)在圆上，则点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，那么点M一定在这个圆上吗？,思考6:以原点为圆心，1为半径的圆称为单位圆，那么单位圆的方程是什么？,思考5:我们把方程 称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程，那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？,x2+y2=1,思考7:方程 ， ， 是圆方程吗？,思考8:方程 与 表示的曲线分别是什么？,知识探究二：点与圆的位置关系,思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？,OAr,OAr,O
3、A=r,思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)和圆C： ，如何判断点M在圆外、圆上、圆内？,(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外;,(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;,(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C内.,思考4:经过一个点、两个点、三个点分别可以作多少个圆？,思考5:集合(x，y)|(x-a)2+(y-b)2r2 表示的图形是什么？,理论迁移,例1 写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ ，-1）是否在这个圆上？,例2 ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）
4、，求它的外接圆的方程.,例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在 直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.,(1)圆的标准方程的结构特点.,(2)点与圆的位置关系的判定.,(3)求圆的标准方程的方法： 待定系数法；代入法.,小结作业,4.1.2 圆的一般方程,问题提出,1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是什么？,2.直线方程有多种形式，圆的方程是否还可以表示成其他形式？这是一个需要探讨的问题.,圆的一般方程,知识探究一：圆的一般方程,思考1:圆的标准方程 展开可得到一个什么式子?,思考2:方程 的一般形式是什么？,思考3:方程 与 表示的图形都是
5、圆吗？为什么？,思考4:方程 可化 为 ， 它在什么条件下表示圆？,思考5:当 或 时，方程 表示什么图形？,圆心为 ，半径为,思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆 的位置分别有什么特点？,D=0,E=0,F=0,知识探究二：圆的直径方程,思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如何求以线段AB为直径的圆方程？,思考2:一般地，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方程如何？,(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,理论迁移,例1 求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.,例2 方程 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.,例3 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,例4 已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.,1.任一圆的方程可写成 的形式，但方程 表示的曲线不一定是圆，当 时，方程表示圆心为 ，半径为 的圆.,小结作业,2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.,3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.,