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1、2016年天津市河西区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=xZ|1x5，A=1，2，3，UB=1，2，则AB（）A1，2B1，3C3D1，2，32（2x）4的展开式中的常数项为（）A6B6C24D243已知命题p：“存在x01，+），使得（log23）1”，则下列说法正确的是（）Ap是假命题；p“任意x1，+），都有（log23）x1”Bp是真命题；p“不存在x01，+），使得（log23）1”Cp是真命题；p“任意x1，+），都有（log23）x1”Dp是假命题；p“任意x（，1），都有（log23）x1”4已知定义在R上的偶函
2、数f（x）在x0，+）上单调递增，则满足f（2x1）f（）的x的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）5已知双曲线C1：=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（p0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（）ABCD46ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则ABC的面积为（）A2+2BC22D17若“x1”是“不等式2xax成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）Aa3Ba3Ca4Da48如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在边长为2的正方形ABCD的边AB和AD上移动，则的最大值是（）A2B1+CD4二、填空题：本大题共6小题，每小题
3、5分，共30分把答案填在题中横线上9统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示则图中a的值为10已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=11执行如图所示的程序框图，输出的S值为12若圆C的方程为：（为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为（极角范围为0，2）13如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BDAB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB=14函数f（x）=，若方程f（x）=mx恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是三、解答题：本大题共
4、6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=tan（x+）（0）的最小正周期为（）求的值及函数f（x）的定义域；（）若f（）=3，求tan2的值16长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”（）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用
5、网”的概率；（）从A班、B班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望E17如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，ADC=BAD=90F为PA中点，PD=，AB=AD=CD=1四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N（）求证：AC平面DEF；（）求二面角ABCP的大小；（）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，请求出FQ的长；若不存在，请说明理由18已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程；（）过F作直线交抛物线于A、B两点若直线OA、OB分别交直线l：y=x2于M、N两点，求|MN|
6、的最小值19已知直线ln：y=x与圆Cn：x2+y2=2an+n交于不同的两点An，Bn，nN*数列an满足：a1=1，an+1=（）求数列an的通项公式an；（）若bn=，求数列bn的前n项和Tn；（）记数列an的前n项和为Sn，在（）的条件下，求证：对任意正整数n， 220设函数g（x）=x22x+1+mlnx（mR）（1）当m=1时，求过点P（0，1）且与曲线y=g（x）（x1）2相切的切线方程（2）求函数y=g（x）的单调递增区间；（3）若函数y=g（x）有两个极值点a，b，且ab，记x表示不大于x的最大整数，试比较sin与cos（g（a）g（b）的大小2016年天津市河西区高考数学二
7、模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=xZ|1x5，A=1，2，3，UB=1，2，则AB（）A1，2B1，3C3D1，2，3【考点】交、并、补集的混合运算【分析】列举出全集U中的元素，根据B的补集确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：全集U=xZ|1x5=1，2，3，4，5，A=1，2，3，UB=1，2，B=3，4，5，则AB=3故选：C2（2x）4的展开式中的常数项为（）A6B6C24D24【考点】二项式定理的应用【分析】由题意可得，二项展开式的通项为Tr+1=（2x）4r（）r，令x的幂指数为0，求出r代入即可【解答
8、】解：由题意可得，二项展开式的通项为Tr+1=（2x）4r（）r=（1）r24rx42r令42r=0可得r=2T3=4=24展开式中的常数项为24故选：C3已知命题p：“存在x01，+），使得（log23）1”，则下列说法正确的是（）Ap是假命题；p“任意x1，+），都有（log23）x1”Bp是真命题；p“不存在x01，+），使得（log23）1”Cp是真命题；p“任意x1，+），都有（log23）x1”Dp是假命题；p“任意x（，1），都有（log23）x1”【考点】特称命题；命题的否定【分析】先根据指数函数的性质即可判断命题p的真假，再根据命题的否定即可得到结论【解答】解：命题p：“存在
9、x01，+），使得（log23）1”，因为log231，所以（log23）1成立，故命题p为真命题，则p“任意x1，+），都有（log23）x1”故选：C4已知定义在R上的偶函数f（x）在x0，+）上单调递增，则满足f（2x1）f（）的x的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，）【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性的关系求得满足f（2x1）f（）的x的取值范围【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）在x0，+）上单调递增，f（x）在（，0）上单调递减，则由f（2x1）f（），可得2x1，求得x，故选：A5已知双曲线C1：=1的左焦点在抛物线C2：y2=2px（
10、p0）的准线上，则双曲线C1的离心率为（）ABCD4【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线左焦点坐标与抛物线准线之间的关系建立方程条件，结合双曲线的离心率的公式进行计算即可【解答】解：双曲线的标准方程为=1，则a2=3，b2=，c2=3+，双曲线的左焦点F（c，0），抛物线的准线为x=，双曲线C1的左焦点在抛物线C2的准线上，=c，即=c，则c2=，即3+=，即=3，则=1，则p=4，即a2=3，c2=3+=3+1=4，则a=，c=2，即离心率e=，故选：C6ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，C=，则ABC的面积为（）A2+2BC22D1【考点】正弦定理；三角
11、形的面积公式【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：b=2，B=，C=，由正弦定理=得：c=2，A=，sinA=sin（+）=cos=，则SABC=bcsinA=22=+1故选B7若“x1”是“不等式2xax成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）Aa3Ba3Ca4Da4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】设f（x）=2x+x，从而2xaxf（x）a，根据题意便知x1得不到f（x）a，而f（x）a能得到x1，并且能知道函数f（x）为增函数，并且有f（x）
12、3时，x1，从而得出a3【解答】解：若2xax，即2x+xa；设f（x）=2x+x，该函数为增函数；根据题意“不等式2x+xa成立，即f（x）a成立”能得到“x1”，并且反之不成立；x1时，f（x）3；a3故选A8如图所示，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在边长为2的正方形ABCD的边AB和AD上移动，则的最大值是（）A2B1+CD4【考点】平面向量数量积的运算【分析】令AAD=，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的数量积，由二倍角公式和正弦函数的值域，即可得到最大值【解答】解：如图以A为坐标原点，AB所
13、在直线为x轴，建立直角坐标系，令AAD=，由于AD=1，故AA=cos，AD=sin，如图BAx=，AB=1，故xB=cos+cos（）=cos+sin，yB=sin（）=cos，故=（cos+sin，cos）同理可求得C（sin，cos+sin），即=（sin，cos+sin），=（cos+sin，cos）（sin，cos+sin）=1+sin2，当=时，的最大值是的最大值是2故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上9统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示则图中a的值为0.03【考点】频率
14、分布直方图【分析】利用频率为1，建立方程，即可得出结论【解答】解：由（0.005+0.012+0.02+0.025+a）10=1，解得a=0.03故答案为：0.0310已知Z是纯虚数，是实数，（i是虚数单位），那么z=2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】设纯虚数z=mi（m0），代入并整理，由虚部等于0求得m的值，则答案可求【解答】解：设z=mi（m0），则=是实数，2+m=0，m=2z=2i故答案为：2i11执行如图所示的程序框图，输出的S值为6【考点】循环结构【分析】根据题意，i、S的初始值分别为1，0该程序的意图是：当i3时，用（1）ii2+S值代替S，直到i=4时输出S的值，由此
15、不难得到本题的答案【解答】解：该程序从i=1开始，直到i=4结束输出S的值，循环体被执行了3次i=1，满足i4，由于i是奇数，用Si2代替S，得S=1，用i+1代替i，进入下一步；i=2，满足i4，由于i是偶数，用S+i2代替S，得S=3，用i+1代替i，进入下一步；i=3，满足i4，由于i是奇数，用Si2代替S，得S=6，用i+1代替i，进入下一步；i=4，不满足i4，结束循环体，并输出最后一个S值故答案为：612若圆C的方程为：（为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为（）（极角范围为0，2）【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】化参数方程为普通方程求出
16、圆心的直角坐标，进一步可得极坐标【解答】解：由，得圆的普通方程为（x1）2+（y1）2=1，圆心的直角坐标为（1，1），化为极坐标是（）故答案为：（）13如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD，BDAB，过点C的圆的切线与AB的延长线交于点E，BC=BE，AE=2，则AB=1【考点】与圆有关的比例线段【分析】由已知得ACCD，AC=AB，由BC=BE，得AC=EC由切割线定理得EC2=AEBE，由此能求出AB的长【解答】解：因为BDAB，四边形ABDC内接于圆，所以ACCD，又BD=CD，可得：AC=AB因为BC=BE，所以BEC=BCE=EAC，所以AC=EC由切割线定理得EC2=AEBE
17、，即AB2=AE（ AEAB），由AE=2，可得：AB2+2 AB4=0，解得AB=1故答案为：114函数f（x）=，若方程f（x）=mx恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（，）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】方程f（x）=mx恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx的图象，由数形结合求解【解答】解：方程f（x）=mx恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx的图象如下，由题意，C（0，），B（1，0）；故kBC =，当x1时，f（x）=lnx，f（x
18、）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故kAC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）故答案为：（，）三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知函数f（x）=tan（x+）（0）的最小正周期为（）求的值及函数f（x）的定义域；（）若f（）=3，求tan2的值【考点】正切函数的图象【分析】（）由条件根据f（x）=tan（x+）（0）的最小正周期为，求得的值，可得函数的解析式，从而求出它的定义域（）由条件求得tan=，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值【解答】解：（）因为函数f（x）=tan（x+）（0）的最小正周期为，所以，
19、 =，解得=2令 2x+k+，kZ，xk+，所以f（x）的定义域为x|xk+，kZ（）因为f（）=3，即 tan（+）=3=，tan=，tan2=16长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A，B两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”（）请根据样本数据，分别估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（）从A班、B班的
20、样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为，写出的分布列和数学期望E【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列【分析】（）求出A，B班样本数据的平均值，估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（）从A班的样本数据中有放回地抽取2个数据，为“过度用网”的概率是，从而求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（）确定的取值，求出相应的概率，即可写出的分布列和数学期望E【解答】解：（）A班样本数据的平均值为（9+11+13+20+24+37）=19，由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；B班样本数据的平均值为（11+12+21+25+27+
21、36）=22，由此估计B班学生每周平均上网时间22小时 （）因为从A班的6个样本数据中随机抽取1个的数据，为“过度用网”的概率是，所以从A班的样本数据中有放回的抽取2个的数据，恰有1个数据为“过度用网”的概率为P= （）的可能取值为0，1，2，3，4P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=的分布列是：01234PE=0+1+2+3+4= 17如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，ADC=BAD=90F为PA中点，PD=，AB=AD=CD=1四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N（）求证：AC平面DEF；（）求二面角ABCP的大小；（）在线段EF上是否存在一点Q
22、，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，请求出FQ的长；若不存在，请说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角【分析】（）连接FN，证明FNAC，然后利用直线与平面平行的判定定理证明AC平面DEF（）以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，求出平面PBC的法向量，平，通过向量的数量积求解二面角ABCP的大小（） 设存在点Q满足条件设，通过直线BQ与平面BCP所成角的大小为，列出关系式，求出，然后求解FQ的长【解答】（本小题满分14分）解：（）证明：连接FN，在PAC中，F，N分别为PA，PC中点，所以FNA
23、C，因为FN平面DEF，AC平面DEF，所以AC平面DEF（）如图以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz则设平面PBC的法向量为，则，即，解得，令x=1，得，所以因为平，所以，由图可知二面角ABCP为锐二面角，所以二面角ABCP的大小为（） 设存在点Q满足条件由设，整理得，因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为，所以，则2=1，由01知=1，即Q点与E点重合故在线段EF上存在一点Q，且18已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程；（）过F作直线交抛物线于A、B两点若直线OA、OB分别交直线l：y=x2于M、N两点，求|
24、MN|的最小值【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x24kx4=0，所
25、以x1+x2=4k，x1x2=4，从而有|x1x2|=4，由解得点M的横坐标为xM=，同理可得点N的横坐标为xN=，所以|MN|=|xMxN|=|=8|=，令4k3=t，t0，则k=，当t0时，|MN|=22，当t0时，|MN|=2=2综上所述，当t=，即k=时，|MN|的最小值是19已知直线ln：y=x与圆Cn：x2+y2=2an+n交于不同的两点An，Bn，nN*数列an满足：a1=1，an+1=（）求数列an的通项公式an；（）若bn=，求数列bn的前n项和Tn；（）记数列an的前n项和为Sn，在（）的条件下，求证：对任意正整数n， 2【考点】数列的应用；直线与圆的位置关系【分析】（）由
26、条件利用直线和圆的位置关系、等比数列的性质，求得 =2，可得结论（）由（）知，bn=，Tn=+，用错位相减法进行数列求和，可得Tn的值（）用裂项法花简条件可得 =2（），再用放缩法证明不等式， 2成立【解答】（）解：圆Cn的圆心到直线ln的距离 dn=，半径rn=，an+1=2an，即 =2，又a1=1，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，an=2n1（）解：由（）知，bn=，Tn=+，Tn=（+）=+，两式相减，得 Tn=+=，Tn=1（）证明：因为an=2n1，所以 Sn=2n1，=2（），所以， =2（）+（）+（）=2（1）220设函数g（x）=x22x+1+mlnx（mR）（
27、1）当m=1时，求过点P（0，1）且与曲线y=g（x）（x1）2相切的切线方程（2）求函数y=g（x）的单调递增区间；（3）若函数y=g（x）有两个极值点a，b，且ab，记x表示不大于x的最大整数，试比较sin与cos（g（a）g（b）的大小【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【分析】（1）先求出曲线y=lnx，设切点为（x0，lnx0），这样曲线的切线的斜率为，所以能表示出过点P（0，1）的切线方程，再根据切线过切点即可求出x0，从而求得切线方程；（2）求g（x），解g（x）0，通过讨论m即可求得该函数的单调增区间；（3）令g（x）=0，便得2x22x+m=0，该方
28、程的根便是a，b，且b=，（b1），并通过求g（b），判断g（x）的符号，从而判断该函数在（，1）上的单调性，求得g（b）的取值范围，根据取值范围便能求得g（b）；用同样的办法求出g（a），求出sin与cosg（a）g（b），即可比较二者的大小【解答】解：（1）曲线方程为y=lnx，设切点为（x0，lnx0），由y=，得切线的斜率k=，则切线方程为ylnx0=（xx0）；切线过点P（0，1），1lnx0=1，即x0=1；所求切线方程为xy1=0（2）函数y=g（x）的定义域为（0，+），g（x）=2x2+令g（x）0，并结合定义域得2x22x+m0，对应一元二次方程的判别式=4（12m）当0，
29、即m时，g（x）0，则函数g（x）的增区间为 （0，+）；当0m时，函数g（x）的增区间为（0，），（，+）；当m0时，函数g（x）的增区间为（，+）（3）g（x）=2x2+，令g（x）=0得2x22x+m=0，由题意知方程有两个不相等的正根a，b（ab），则解得0m，解方程得b=，则b1又由2b22b+m=0得m=2b2+2b，所以g（b）=b22b+1+mlnb=b22b+1+（2b2+2b）lnb；b（，1）g（b）=2b2+（4b+2）lnb+22b=4（b）lnb，当b（，1）时，g（b）0，即函数g（b）是（，1）上的增函数；所以g（b）0，故g（b）的取值范围是（，0）则g（b）=1同理可求0a，g（a）=a22a+1+（2a2+2a）lna；a（0，），g（a）=4（a）lna0，即函数g（a）是（0，）上的减函数；g（a）1，故g（a）的取值范围是（，1），则g（a）=1或g（a）=0；当g（a）=1时，sincos（g（a）g（b）；当g（a）=0时，sincos（g（a）g（b）2016年7月22日