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1、第三讲 因式分解,乘积,m(a+b+c),(a+b)(a-b),(ab)2,提取公因式,公式法,考点一 提公因式法因式分解 【典例1】(1)(2016丽水中考)分解因式:am-3a= _. (2)(2016南京中考)分解因式2a(b+c)-3(b+c)的结果是_.,【思路点拨】直接提取公因式即可. 【自主解答】(1)am-3a=a(m-3). 答案:a(m-3) (2)原式=(b+c)(2a-3). 答案:(b+c)(2a-3),【名师点津】确定公因式的方法 (1)若各项系数都是整数时,取各项系数的最大公因数作为公因式的系数. (2)取各项相同的字母(或多项式因式)作为公因式的字母(或多项式)
2、,相同字母(或多项式)取最低次幂.,【题组过关】 1.(2015临沂中考)多项式mx2-m与多项式x2-2x+1的公因式是() A.x-1B.x+1C.x2-1D.(x-1)2 【解析】选A.因为mx2-m=m(x2-1)=m(x-1)(x+1),x2-2x+1=(x-1)2,所以公因式为x-1.,2.分解因式:ab-a2=_. 【解析】ab-a2=a(b-a). 答案:a(b-a),考点二 运用公式法因式分解 【考情分析】 运用公式法因式分解的层级为应用,在各地中考试题中均有体现,是因式分解的一个重要考向,一般与提公因式法结合在一起考查,以选择题或填空题的形式呈现.,命题角度1:直接考查公式
3、 【典例2】(2015东营中考)因式分解: 4+12(x-y)+9(x-y)2=_. 【思路点拨】把(x-y)看作一个整体,套用完全平方公式.,【自主解答】4+12(x-y)+9(x-y)2 =22+12(x-y)+ 3(xy)2 =2+3(xy)2 =(2+3x3y)2. 答案:(2+3x3y)2,【母题变式】(改变问法)因式分解:4-9(x-y)2=_. 提示:把9(x-y)2看成3(xy)2使用平方差公式分解为(2+3x-3y)(2-3x+3y). 答案:(2+3x-3y)(2-3x+3y),命题角度2:提公因式后应用公式 【典例3】(1)(2016聊城中考)把8a3-8a2+2a进行因
4、式分解,结果正确的是() A.2a(4a2-4a+1)B.8a2(a-1) C.2a(2a-1)2D.2a(2a+1)2,(2)(2016巴中中考)把多项式16m3-mn2分解因式的结果是_.,【思路点拨】确定公因式,提取后再根据项数确定所使用的公式继续因式分解. 【自主解答】(1)选C.8a3-8a2+2a=2a(4a2-4a+1)= 2a(2a-1)2. (2)多项式16m3-mn2=m(16m2-n2)=m(4m+n)(4m-n). 答案:m(4m+n)(4m-n),【名师点津】因式分解的三步骤 (1)先看各项有无公因式,有公因式的先提取公因式. (2)提公因式后看多项式的项数. 若多项
5、式为两项,则考虑用平方差公式因式分解. 若多项式为三项,则考虑用完全平方公式因式分解.,若多项式有四项或四项以上,就考虑综合运用上面的方法. (3)若上述方法都不能分解,则考虑把多项式重新整理、变形,再按上面步骤进行.,【备选例题】(1)(2015济宁中考)因式分解: 12x2-3y2=_. 【解析】12x2-3y2=3(4x2-y2)=3(2x+y)(2x-y). 答案:3(2x+y)(2x-y),(2)(2015黔西南州中考)因式分解:4x2+8x+4 =_. 【解析】4x2+8x+4=4(x2+2x+1)=4(x+1)2. 答案:4(x+1)2,【题组过关】 1.(2015贵港中考)下列
6、因式分解错误的是() A.2a-2b=2(a-b) B.x2-9=(x+3)(x-3) C.a2+4a-4=(a+2)2 D.-x2-x+2=-(x-1)(x+2),【解析】选C.A.2a-2b=2(a-b),正确;B.x2-9=(x+3)(x- 3),正确;C.a2+4a-4不能因式分解,错误;D.-x2-x+2= -(x-1)(x+2),正确.,2.(2016达州中考)分解因式:a3-4a=_. 【解析】a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2). 答案:a(a+2)(a-2),【变式训练】(2015孝感中考)因式分解: (a-b)2-4b2=_. 【解析】(a-b)2-4b2=(
7、a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b). 答案:(a+b)(a-3b),【方法技巧】 1.公式中的a,b既可以是单独的一个字母,也可以是单项式或多项式. 2.只有多项式符合完全平方公式或平方差公式的特点时,才能用相应的公式因式分解.,3.(2016毕节中考)分解因式3m4-48=_. 【解析】3m4-48=3(m4-42)=3(m2+4)(m2-4)= 3(m2+4)(m+2)(m-2). 答案:3(m2+4)(m+2)(m-2),4.(2016东营中考)分解因式:a3-16a=_. 【解析】a3-16a=a(a2-42)=a(a+4)(a-4). 答案:a(a+4)(a-4)
8、,5.(2016威海中考)分解因式:(2a+b)2-(a+2b)2= _. 【解析】原式=(2a+b+a+2b)(2a+b-a-2b) =3(a+b)(a-b). 答案:3(a+b)(a-b),考点三 因式分解的应用 【典例4】(1)(2015枣庄中考)如图,边长为a,b的矩形的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为() A.140B.70 C.35D.24,(2)(2015黔西南州中考)已知x= ,则x2+x+1 =_.,【思路点拨】(1)提公因式后整体代入求值. (2)计算出x+1后,局部提公因式,应用公式计算.,【自主解答】(1)选B.根据题意,得a+b=7,ab=10. a2b
9、+ab2=ab(a+b)=107=70. (2)x2+x+1=x(x+1)+1= =1+1=2. 答案:2,【名师点津】因式分解在求代数式值中的应用 (1)因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将多项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具体做法是:根据题目的特点,先通过因式分解将式子变形,然后再进行整体代入.,(2)用因式分解的方法将式子变形时,根据已知条件,变形的可以是整个代数式,也可以是其中的一部分.,【题组过关】 1.(2016宜昌中考)小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:昌、爱、我、
10、宜、游、美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是() A.我爱美 B.宜昌游 C.爱我宜昌 D.美我宜昌,【解析】选C.(x2-y2)a2-(x2-y2)b2 =(x2-y2)(a2-b2) =(x-y)(x+y)(a+b)(a-b).,2.(2016福州中考)若x+y=10,xy=1,则x3y+xy3的值是_.,【解析】x3y+xy3 =xy(x2+y2) =xy(x+y)2-2xy =1(102-21) =98. 答案:98,3.(2015甘南州中考)已知a2-a-1=0,则a3-a2-a+2015 =_. 【解析】a2-a-1=0,a2-a=1, a3-a2-a+2015=a(a2-a)-a+2015=a-a+2015=2015. 答案:2015,4.(2016大庆中考)已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.,【解析】a3b+2a2b2+ab3 =ab(a2+2ab+b2) =ab(a+b)2, 将a+b=3,ab=2代入得,ab(a+b)2=232=18. 故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18.,