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1、浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷 2020.05一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分或5分,否则一律得零分1设全集,集合,则 2. 某次考试,名同学的成绩分别为:,则这组数据的中位数为 3. 若函数,则 4. 若是关于的方程的一个根(其中为虚数单位,),则 5.若两个球的表面积之比为则这两个球的体积之比为 6.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为,圆的参数方程为,则直线与圆的位置关系是 7. 若二项式展开式的第项的值为,则 8. 已知双曲线的渐近线方程为,且右
2、焦点与抛物线的焦点重合,则这个双曲线的方程是_.9. 从个男生、个女生中任选个人当发言人,假设事件表示选出的个人性别相同,事件表示选出的个人性别不同如果的概率和的概率相等,则 10. 已知函数的零点有且只有一个,则实数的取值集合为 11. 如图,在中,为中点,为上一点,且满足,若的面积为,则的最小值为 . 12.已知数列满足,对任何正整数均有,设,则数列的前项之和为 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分13若、满足 , 则目标函数的最大值为( )A B C D. 14. 如图,正
3、方体中,、分别为棱、上的点,在平面内且与平面平行的直线( )A 有一条 B 有二条 C 有无数条 D. 不存在 15. 已知函数.给出下列结论:是周期函数; 函数图像的对称中心; 若,则; 不等式的解集为.则正确结论的序号是 ( ) A B C D. 16. 设集合,设集合是集合的非空子集,中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为( )A B C D. 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆
4、柱的一部分,它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的(1)求此几何体的体积;(2)设是弧上的一点,且,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示)18(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知锐角的顶点与坐标原点重合,始边与轴正方向重合,终边与单位圆分别交于、两点,若、两点的横坐标分别为(1)求的大小;(2) 在中,为三个内角对应的边长,若已知角,且,求的值 19(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.疫情后,为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额在万元至万元(包
5、括万元和万元)的小微企业做统一方案方案要求同时具备下列两个条件:补助款(万元)随企业原纳税额(万元)的增加而增加;补助款不低于原纳税额(万元)的经测算政府决定采用函数模型(其中为参数)作为补助款发放方案(1)判断使用参数是否满足条件,并说明理由;(2)求同时满足条件、的参数的取值范围20(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,直线与椭圆交于不同的两点、,且.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线经过椭圆的右焦点,是椭圆上两点,四边形是菱形,求直线的方程;(3)已知直线不经过椭圆的右焦点,直线,的斜率依次成
6、等差数列,求直线在轴上截距的取值范围.21(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.若数列对任意连续三项,均有,则称该数列为“跳跃数列”.(1)判断下列两个数列是否是跳跃数列: 等差数列:; 等比数列:;(2)若数列满足对任何正整数,均有.证明:数列是跳跃数列的充分必要条件是.(3)跳跃数列满足对任意正整数均有,求首项的取值范围.浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则 2020.05一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格
7、填对得4分或5分,否则一律得零分1设全集,集合,则 2. 某次考试,名同学的成绩分别为:,则这组数据的中位数为 3. 若函数,则 4. 若是关于的方程的一个根(其中为虚数单位,),则 5.若两个球的表面积之比为则这两个球的体积之比为 6.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为,圆的参数方程为,则直线与圆的位置关系是 相交 7. 若二项式展开式的第项的值为,则 8. 已知双曲线的渐近线方程为,且右焦点与抛物线的焦点重合,则这个双曲线的方程是_.9. 从个男生、个女生中任选个人当发言人,假设事件表示选出的个人性别相同,事件表示选出的个人性别不同如果的概率和的概率相等,则 10. 已知函数的零点有且只
8、有一个,则实数的取值集合为 1 11. 如图,在中,为中点,为上一点,且满足,若的面积为,则的最小值为 . 12.已知数列满足,对任何正整数均有,设,则数列的前项之和为 .【解】,二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分13若、满足 , 则目标函数的最大值为( )A B C D. 14. 如图,正方体中,、分别为棱、上的点,在平面内且与平面平行的直线( )A 有一条 B 有二条 C 有无数条 D. 不存在 16. 已知函数.给出下列结论:是周期函数; 函数图像的对称中心; 若,则; 不
9、等式的解集为.则正确结论的序号是 ( ) A B C D. 16. 设集合,设集合是集合的非空子集,中的最大元素和最小元素之差称为集合的直径. 那么集合所有直径为的子集的元素个数之和为( )A B C D. 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由边长为2的正方形(及其内部)以边所在直线为旋转轴顺时针旋转得到的(1)求此几何体的体积;(2)设是弧上的一点,且,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示)【解答】(
10、1)因为(4分)所以,(7分)(2)如图所示,以点B为坐标原点建立空间直角坐标系则,所以,.(11分)设异面直线与所成的角为,则.(13分)所以,异面直线与所成角为.(14分)18(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知锐角的顶点与坐标原点重合,始边与轴正方向重合,终边与单位圆分别交于、两点,若、两点的横坐标分别为(1)求的大小;(2) 在中,为三个内角对应的边长,若已知角,且,求的值【解答】(1)由已知 (2分)因而 (6分)(2)法一:(正弦定理)由已知, .(7分) (10分) (14分)法二:(余弦定理),因而由已知得法三:(余弦定理、正弦定理)因而
11、由余弦定理得: 同理 得得 法四:(射影定理)可得,下同解法二19(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.疫情后,为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额在万元至万元(包括万元和万元)的小微企业做统一方案方案要求同时具备下列两个条件:补助款(万元)随企业原纳税额(万元)的增加而增加;补助款不低于原纳税额(万元)的经测算政府决定采用函数模型(其中为参数)作为补助款发放方案(1)判断使用参数是否满足条件,并说明理由;(2)求同时满足条件、的参数的取值范围【解答】(1)法一:因为当时,所以当时不满足条件(6分) 法二:由条件可知因为,所以当
12、时不满足条件(6分)法三:由条件可知在上恒成立,所以,解得,所以当时不满足条件(6分)(注:如果证明了当时满足条件得2分)(2)法一:由条件可知,在上单调递增,则对任意时,有恒成立,即恒成立,所以;(10分)由条件可知,即不等式在上恒成立,所以 (13分)综上,参数的取值范围是(14分)法二:由条件可知,在上单调递增,所以当时,满足条件;当时,得,所以 (10分)由条件可知,即不等式在上恒成立,所以,得 (13分)综上,参数的取值范围是(14分)20(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,直线与椭圆交
13、于不同的两点、,且.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线经过椭圆的右焦点,是椭圆上两点,四边形是菱形,求直线的方程;(3)已知直线不经过椭圆的右焦点,直线,的斜率依次成等差数列,求直线在轴上截距的取值范围.【解答】(1)由可得,从而,椭圆方程为. (4分)(2)由于四边形是菱形,因此且. 由对称性,在线段上. 因此,分别关于原点对称;并且由于菱形的对角线相互垂直,可得,即. (6分)设,与椭圆方程联立可得,设A(x1,y1),Bx2,y2,因此,. (8分)由,可得,解得,即直线方程为. (10分)(3) 设,由,可得,即.化简可得,即.若,则经过,不符,因此. (12分)联立直线与椭圆方程,.
14、因为 由,可得, (14分)将代入,;再由,可得,. (16分)21(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.若数列对任意连续三项,均有,则称该数列为“跳跃数列”.(1)判断下列两个数列是否是跳跃数列: 等差数列:; 等比数列:;(2)若数列满足对任何正整数,均有.证明:数列是跳跃数列的充分必要条件是.(3)跳跃数列满足对任意正整数均有,求首项的取值范围.【解答】(1) 等差数列:不是跳跃数列; (2分) 等比数列:是跳跃数列. (4分)(2)必要性:若,则是单调递增数列,不是跳跃数列;若,是常数列,不是跳跃数列. (6分)充分性:下面用数学归纳法证明:若,则对任何正整数,均有成立.(1)当时, , (8分),所以命题成立 (9分)(2)若时,则,所以当时命题也成立 (10分)根据数学归纳法,可知命题成立,数列满足,故是跳跃数列.(3), (11分), (12分) 1若,则,此时; (14分) 2若,则,此时; (16分)若,则,所以.若,则,所以.所以,此时对任何正整数,均有 (18分)15教资分享