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1、第一章 导数及其应用,1.1.3 导数的几何意义,定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作:,回顾,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,下面来看导数的几何意义:,如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM/x轴,QM/y轴,为PQ的 倾斜角.,斜率!,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个确
2、定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,导数的几何意义,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.,即:,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,（1）求出函数在点x0处的变化率 ， 得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程
3、， 即,求切线方程的步骤：,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,什么是导函数?,从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,求切线方程的步骤：,小结:,无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。,