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1、Frobenius秩不等式取等号的一个新的充要条件 (孝感学院数学与统计学院，湖北 孝感，432100)摘要：1911年，Frobenius给出了三个矩阵乘积秩的一个不等式：本文给出使Frobenius不等式取等号的一个充要条件，获得一些有趣的结果，讨论了它的若干应用关键词：矩阵的秩；Frobenius不等式；三幂等阵A New Necessary and Sufficient Condition for Equality in Frobenius InequalityYAN Li-ping（071112404）(School of Mathematics and Statistical of
2、 Xiaogan University, Xiaogan Hubei 432100)Abstract: The well-known Frobenius rank inequality established by Frobenius in 1911 states that the rank of the product ABC of three matrices satisfies the inequality rankA new necessary and sufficient condition for equality to hold is presented and then som
3、e interesting consequences and applications are discussed.Key word: rank of matrix; Frobenius inequality; tripotent matrix1 引言矩阵秩的不等式及等式问题一直是矩阵理论中令人关注的课题，在最近的一些文献1-8中，研究了任意域或除环上矩阵秩的一些恒等式问题，文献1利用两个矩阵多项式秩的和的一个恒等式，给出了下列一些秩等式：命题11 设，则 （1） （2） （3） （4）命题21 设，则 （5）在命题1与命题2的基础上，刻画了三幂等矩阵的若干秩特征1文献2以矩阵Schur补的秩
4、可加性为基础，得到了任两个矩阵的秩之间联系的恒等式，由此给出了具有重要意义的秩恒等式：命题32 设，则 （6） 由此得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式，即刻画三幂等矩阵的秩特征等式：命题42,3,4设，则 （7）文献5也从另一角度给出了刻画三幂等矩阵的秩的特征：命题55 设，则 （8）此外，文献1,3中还给出了若干刻画三幂等或幂等矩阵的，主要方法是利用文献6的关于矩阵多项式的如下一个恒等式：命题64 设，则 （9）其中分别是的最大公因式与最小公倍式分析这些恒等式可以发现，许多结果都与矩阵秩的Sylvester或Frobenius不等式取等号的条件相关联关于矩阵秩的Frobenius不等
5、式分别是指命题74 (Frobenius不等式) 若分别是域上的，矩阵，则 （10）特别地，当命题1中矩阵是单位矩阵时，由Frobenius不等式就得到了Sylvester不等式在文献7中，给出了矩阵秩的Frobenius不等式取等号的一个充分条件，在此基础上获得了一类矩阵多项式秩的恒等式，并由此推广了近期一些文献中的相关结论而文献8-10也对Sylvester或Frobenius不等式取等号的充分必要条件条件进行了探讨，而文献11中证明了命题811 对任意的广义逆和，有 （11） （12）由命题2立即得到（10）等号成立的充分必要条件是，对任意选定的和，有 （13）正如12中作者在文末中评论
6、的：“文献11给出了式（10）中等号成立的条件，但用到了广义逆矩阵的概念，比较复杂.能否得出等号成立的较为简洁的条件? 这看来也是一个不简单的问题” 本文将给出一个使(10)等号成立的较为简洁的充分必要条件，利用我们的结果可以把文1-8中诸多结论统一起来并进行推广本文中所有记号与文1相同2主要结果引理113,14（Roth） 设，则矩阵方程 （14）有解的充分必要条件是矩阵 与 （15）等价（相抵）. 定理1 设，则 （16）的充分必要条件是存在矩阵、使得.证明由（16）式得到因此式（16）等价于 （17） 由于 （18） （19）其中方阵，都是可逆的，由（18）、（19）式得 （20）由（2
7、0），得式（17）又等价于 （21）根据引理1，式（21）成立的充分必要条件是存在矩阵、，使得.3 应用利用我们的结果，可以直接获文献1-8中相关结论.推论17 设，则 （22）证明由，故存在使得则有 等式两边同乘以，得：由定理1可得由此得（22）式成立，命题得证.推论23 设，而分别是的最大公因式和最小公倍式.则 （23）证明设，则存在，使此处.因为，所以有又 ，则存在，使，即等式两边同乘以，得由定理1得 即得 （24）推论2得证.推论35 设，且，则 （25）证明由推论1即得推论3成立.推论46,7 设，两两互素，.则 （26）证明由推论3对用归纳法可证.推论54 设，则证明取，由推论3即
8、得证.由此结果可以直接导出幂等阵的一个秩特征：推论68 设，则.结束语：本文利用矩阵的广义初等变换，并结合Roth引理，给出了三个矩阵乘积的Frobenius不等式取等号的一个充要条件，这个条件适合用于一类广泛的矩阵.重要的是利用这一结果可以把文献1-12中诸多结论同一起来并进行推广.致谢：感谢胡付高老师的悉心指导.参考文献1 杨忠鹏, 陈梅香, 林国钦.关于矩阵方幂的秩恒等式的注记J. 福州大学学报(自然科学版), 2009 ,37(1): 24-28.2 史及民. 关于Schur补应用的一点注记J. 应用数学学报, 2002 ,25(2):318-321.3 杨忠鹏, 陈梅香, 林国钦.
9、关于三幂等矩阵的秩特征的研究J. 数学研究, 2008 ,41(3): 311-315.4 王廷明, 黎伯堂. 一类矩阵秩恒等式的证明J. 山东大学学报(理学版), 2007 ,42(2) : 43-45.5 李书超, 蒋君, 向世斌,等. 一类矩阵秩的恒等式及其推广J. 武汉科技大学学报(自然科学版), 2004, 27(1): 96-98.6 林国钦, 杨忠鹏, 陈梅香. 矩阵多项式秩的一个恒等式及其应用J . 北华大学学报:自然科学版, 2008 ,9(1): 5-8.7 胡付高, 曾玉娥. 一类矩阵多项式秩的恒等式与应用J. 山东大学学报(理学版), 2008 ,43(8): 51-5
10、4.8 胡付高. 关于一类矩阵秩的恒等式注记J. 武汉科技大学学报(自然科学版), 2004 ,27(3):321-323.9 黄卫红, 杨兴东, 周月军. 矩阵Sylvester不等式与Frobenius不等式等号成立的条件J. 南京气象学院学报, 2007 ,30(2) : 279-283.10 陈梅香, 杨忠鹏, 林国钦. 关于Sylvester与Frobenius不等式等号条件的研究J. 莆田学院学报,2008,15 (2): 9-13.11 王松桂, 贾忠贞. 矩阵论中不等式M. 合肥: 安徽教育出版社, 1994.12 韩清. 若干矩阵乘积的秩的下界J. 佛山科学技术学院学报(自然科学版), 2003,21(1): 9-11.13 Roth W E. The equations and in matrices J. Proc. Amer. Math. Soc, 1952, (3): 392-396.14 WANG Qing wen. Generalization of roths thearemJ. J. Math. Res. Exposition, 1996, 16(1): 35-40