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1、第一讲 地球椭球,2 地球体的形状与大小,3 地球坐标系与大地定位,1 课程介绍,4 椭球体和球体的几个重要半径,5 纬线弧长和经线弧长,6 地球椭球面的梯形面积,1,课堂优质,1.1 课程介绍,（1）本课程的定位,第6学期：地图投影与变换，专业必修，考试课 第4学期：地图学，专业基础必修，考试课 第5学期：计算机地图制图，专业必修，考试课,2,课堂优质,（2）与相关课程的关系,1）地图学课程：地图的基本概念与相关学科的关系，地图历史与发展等；地图的数学基础-包括：地球形状与大小、地球上的坐标系、地图投影基本概念、方位、圆锥、圆柱投影，地图投影的应用，地图分幅与编号等知识点。 2）计算机地图制
2、图课程：主要知识点是：制图软件CAD、地形图符号制作（点、线、面）、lisp语言开发、CAD菜单定制与加载等。,3,课堂优质,（3）本门课程的重难点,重点内容：地图投影基本理论与方法，地图投影变形，地图投影分类，地图投影变换与选择等。课程内容从地球椭球基本形状的描述入手，研究椭球面的性质，椭球面上各种要素的数学描述，进而研究地图投影的方法、分类、变形、选择、变换等一系列理论与应用问题。,学习难点是：数学理论性强，推导公式多而复杂，空间投影想象力要求高。,4,课堂优质,（4）地图投影的意义与任务,地图投影：在平面上建立与地球曲面上对应的经纬网的数学法则。研究这些法则的学科称为地图投影学。 基本任
3、务： 1）研究将地球曲面上坐标点描述到平面上建立地图数学基础的各种投影方法； 2）讨论投影理论、变形、实用价值、投影变换等问题。,5,课堂优质,（5）地图投影与其他学科的关系,1）与数学的关系 例如：近代的伟大科学家（数学家）：高斯、拉格朗日等利用数学分析理论建立了严密的地图投影公式。 2）与测量学的关系 大地测量学是学科基础，地图投影是测制地图的基础 3）与地图编制的关系 地图投影是编制地图的数学/理论基础，地图编制又促进地图投影的改进与发展 4）与航海、航空、航天的关系 早期航海采用等角圆柱投影，也适合于航空。航天比如登月的着陆图、月半球图等,6,课堂优质,（6）地图投影发展简史,国际 国
4、内,7,课堂优质,1.2 地球体的形状与大小,（1） 地球的自然表面 为了了解地球的形状，让我们由远及近地观察一下地球的自然表面。,8,课堂优质,浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。,9,课堂优质,机舱窗口俯视大地 : 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。, 珠穆朗玛峰与太平洋的马里亚纳海沟之间高差近20km。,10,课堂优质,11,课堂优质,12,课堂优质,事实是：,地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。,13,课堂优质,海拔：8844.43米,14,课堂优质,低于海平面：11034米,15,课堂优质,（2） 地
5、球的物理表面 当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。 在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。它实际是一个起伏不平的重力等位面地球物理表面。它所包围的形体称为大地体。,16,课堂优质,大地水准面的意义 1）地球形体的一级逼近： 对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。 2）起伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。 3）重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。,17,课堂优质,（3） 地球的数学表面
6、 在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为 地球椭球体，简称 椭球体。,它是一个规则的数学表面，所以人们视其为 地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。,18,课堂优质,椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f,WGS world geodetic system 84 ellipsoid: a = 6 378 137mb = 6 356 752.3mequatorial diameter = 12 756.3kmpolar diameter = 12 713.5kmequatorial circumferen
7、ce = 40 075.1kmsurface area = 510 064 500km2,19,课堂优质,20,地球椭球体的形状和大小,扁 率(Flattening or Compression),第一偏心率(First Eccentricity),第二偏心率(Second Eccentricity),20,课堂优质,21,第一偏心率和第二偏心率之间的关系：,21,课堂优质,对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位
8、置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。,22,课堂优质,中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ； 自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。,陕西省泾阳县永乐镇北洪流村为 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点大地原点。,23,课堂优质,地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言
9、，就是球面坐标系统的建立。,3 地球坐标系与大地定位,（1） 地理坐标 用经纬度表示地面点位的球面坐标。, 天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度,24,课堂优质, 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。,天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。,天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。,25,课堂优质, 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。,大地经度l ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。,大地
10、纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。,26,课堂优质, 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。,在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。,27,课堂优质,（2） 中国的大地坐标系统,1）.中国的大地坐标系 1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 19531980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ；
11、 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球：,ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257,28,课堂优质,2）中国的大地控制网,平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。,由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。,29,课堂优质,高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。,中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据
12、此推算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用1985国家高程基准 取代黄海平均海水面 其比黄海平均海水面 上升 29毫米。,青岛观象山水准原点,30,课堂优质,平面控制网,国家测绘局,31,课堂优质,高程控制网,国家测绘局,32,课堂优质,GPS控制网,国家测绘局,33,课堂优质,（3） 全球定位系统 - GPS 授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System-GPS)：是以人造卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航
13、服务。,34,课堂优质,35,平行圈(parallel),子午圈(meridian) : 长半径为ae，短半径为be的椭圆,纬线(parallel),地理经度(longitude),点,两极 (pole),线,地理纬度(latitude ),经线(meridian),面,地理坐标,1.4 子午圈、卯酉圈曲率半径及平均曲率半径,35,课堂优质,36,子午圈,卯酉圈,1.4 子午圈、卯酉圈曲率半径及平均曲率半径,通过地面任一点的法线可以有无数法截弧，它们与椭球面相交则形成无数法截弧，其中有一对互相垂直的法截弧，称为主法截弧。主法截弧都是椭圆，其中一个是子午圈。,与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。地
14、球椭球面上的子午圈始终代表南北方向；卯酉圈除了两个极点外，代表东西方向。,36,课堂优质,37,子午圈曲率半径(radius of curvature in meridian)(M) ：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最小的曲率半径。,卯酉圈曲率半径(radius of curvature in prime vertical)：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最大的曲率半径 (N) 。,曲率半径：曲率的倒数,37,课堂优质,38,子午圈曲率半径（M）和卯酉圈曲率半径（N）之间的关系,在赤道上：,在极点上：,子午圈曲率半径（M）和卯酉圈曲率半径（N）除在两极处相等外，在其它纬度相同的情况
15、下，同一点上卯酉圈曲率半径（N）均大于子午圈曲率半径（M）。,38,课堂优质,39,曲率和曲率半径,设一曲线的直角坐标方程是y=f(x)，且f(x)具有二阶导数。则该曲线的曲率为：,曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。,39,课堂优质,40,将地球视作旋转椭球体，则经线圈是椭圆，纬线圈是圆。如果以椭圆的短轴为y轴，长轴为x轴（见下图），经线圈上一点A的x坐标，便是纬圈的半径。,由右图，经线椭圆的方程式为：,过A点作切线AB交x轴于B点，A点的法线与x轴（代表赤道面）的夹角为纬度，因此有：,(1-1),(1-2),40,课堂优质,41,对（1-1）式求导数：,(1-3),由（1-
16、2）、（1-3）式可得：,由偏心率公式，可以进一步得到：,(1-4),(1-5),41,课堂优质,42,（1-4）式可以化为：,(1-6),将（1-6）式代入（1-1）式，则：,整理后，得,(1-7),42,课堂优质,43,曲线上一点的曲率半径等于曲线在该点的曲率的倒数。用M表示子午圈曲率半径，则有：,上式之所以取负号，是由于y 0。,由（1-2）式知，,将上式对x再求一次导数，得：,(1-8),43,课堂优质,44,按（1-7）式对求导数,代入（1-8）中，得y，,(1-9),(1-10),44,课堂优质,45,将（1-2）、（1-10）式代入M的表达式，得,经过整理，得到子午圈曲率半径的公
17、式为：,45,课堂优质,46,卯酉圈曲率半径的公式为：,46,课堂优质,47,纬圈半径r r=f()纬圈是一个圆，因此r是一个圆半径,47,课堂优质,48,平均曲率半径R:等于子午圈曲率半径M与卯酉圈曲率半径N的几何平均值。,48,课堂优质,49,三轴平均球半径：椭球体三个半轴取平均数,等面积球半径：球体的面积等于地球椭球体的面积,等体积球半径：球体的体积等于地球椭球体的体积,地球球半径,49,课堂优质,50,1.5 经线弧长和纬线弧长,设在经线上有一点A，其纬度为1，当A点沿经线移动一无限小距离达到A点时，纬度增加d，设A点的经线曲率半径为M，则经线上这一微分弧AA为,如果求 1至2一段经线
18、弧长，可将上式积分，即,同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增长,纬差1的子午线弧长在赤道为110576m，在两极为111695m。,一 经线弧长,50,课堂优质,51,二、纬线弧长,在地球椭球体上，纬圈是圆。若求纬线上两点间经差为（2-1）的一段弧长，可由下式求得：,同经差的纬线弧长由赤道向两极缩短,经差1的纬线弧长在赤道为111321m，在纬度45处为78848m，在两极为0。,51,课堂优质,52,1.6 地球椭球面上的梯形面积,设在地球椭球面上，有两条无限靠近的经线和两条无限靠近的纬线，其经度为和+d ，纬度为 和d 。它们构成了一个微分梯形ABCD（如图所示）。这个微分梯形的边长为经线和纬线的微分弧长。因而有：,于是微分梯形的面积为：,经度为1和2的经线和纬度为1和2所围成的球面梯形的面积，可由下式积分求得：,52,课堂优质,