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1、关于几何变换的几道综合题【与旋转有关的几何证明题】1（05北京）已知，分别以、为边向外作等边三角形、等边三角形、等边三角形（1）如图1，当是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；图1（2）如图2，当中只有时，请你证明与的和等于与的和图2 （2）解法二：过A作垂线，利用将BC用AC、BC表示出来，进而将每部分的面积和都表示出来，即可得证。此题目中包含了基本图形变换，其本质是旋转问题，但也体现了一些求面积的方法。【变化过程中不变的量及关系】2. （2008年广东省中山市）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结
2、AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；BAODCE图8CBOD图7A（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.解：（1）如图7. BOC和ABO都是等边三角形， 且点O是线段AD的中点， OD=OC=OB=OA,1=2=60, 4=5. 又4+5=2=60, 4=30.同理，6=30.3 AEB=4+6, AEB=60.（2）如图8. BOC和ABO都是等边三角形， OD=OC, OB=OA,1=2=60，又OD=OA, ODOB，OAOC， 4=5，6=7. DOB=1+3, AOC=2+3,DOB=A
3、OC. 4+5+DOB=180, 6+7+AOC=180, 25=26, 5=6.又 AEB=8-5， 8=2+6， AEB2552， AEB60.这是一道变换条件但结论不变的变式题，纯几何图形的关于旋转的简单证明，注意图形之中有不变的量。其解法十分相似，第（1）题是第（2）题的特殊情形，第（2）题是第（1）题结论的推广，这体现了从特殊到一般的数学思想，利于培养学生思维的深刻性和灵活性。题目的图形可变，数字可变，条件可变，结论亦可变，充满着神奇，孕育着创造！例1 （2008湖北）小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位
4、置摆放，纸片的直角顶点落在纸片的斜边上，直角边落在所在的直线上.（1）若与相交于点，取的中点，连接、，当纸片沿方向平移时（如图3），请你观察、测量、的长度，猜想并写出与的数量关系，然后证明你的猜想；（2）在（1）的条件下，求出的大小（用含的式子表示），并说明当时， 是什么三角形？（3）在图3的基础上，将纸片绕点逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90），此时变成，同样取的中点，连接、（如图4），请继续探究与的数量关系和的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明为何值时，为等边三角形.图1图2图4图3解：（1）= 证明：的中点为 在中， 在中，=（2） 同理 = 而 当时，此时为等腰直角三角形
5、（3）当绕点逆时针旋转一定的角度，仍然存在=， 故当时，为等边三角形。包含平移与旋转及图形中的不变的相等关系。【阅读题类】4请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCGPABEF图2DABEFCPG图1请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证
6、明解：（1）线段与的位置关系是；DCGPABEFH （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长交于点，连结是线段的中点， 由题意可知， ，四边形是菱形，由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得 四边形是菱形， ，即， 本题为阅读理解题，阅读材料，从中获取解题方法与思路，并运用这种方法解决问题【变化中的探究】5（2008盐城）如图甲，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 第
7、28题图图甲图乙图丙当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）解：（1）CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=90BAC=90，DAF=BAC ， DAB=FAC，又AB=AC ，DABFAC ， CF=BD ACF=ABDBAC=90， AB=AC ，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF= 90即 CFBD图
8、丁（2）画图正确当BCA=45时，CFBD（如图丁） 理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG可证：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD更开放，难度更大，在探究的过程中发现我们要寻找的结论。 【坐标系中的变换与代数的结合】例2 （2008苏州）课堂上，老师将图中绕点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当旋转时，得到已知，（1）的面积是 ；点的坐标为（ ， ）；点的坐标为（ ， ）；（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图中绕的中点逆时针旋转得到，设交于，交轴于此时，和的坐标分别为，和，且经过点在刚才的旋转过程中
9、，小玲和小惠发现旋转中的三角形与重叠部分的面积不断变小，旋转到时重叠部分的面积（即四边形的面积）最小，求四边形的面积（3）在（2）的条件下，外接圆的半径等于 yx11B1A1A(4，2)B(3，0)O图yx11A(4,2)B(3,0)O图(1,3)(3,2)D(3,-1)CE证明：（1）3，yx11A(4,2)B(3,0)O（第28题）(1,3)(3,2)D(3,-1)CGHE（2）作于，轴于，的横坐标相等，轴，四边形为矩形又，矩形为正方形，在和中，（3）这是一道坐标几何题，中考中的坐标几何题，融丰富的几何图象于一题，包含的知识点较多；代数变换（包括数式变换、方程变换、不等式变换）与几何推理巧
10、妙融合，交相辉映，数形结合思想和方法得到充分运用.本题（2）中的面积的计算是根据旋转不变性，构造全等三角形，将四边形的面积进行转化，这是一种重要的数学思想方法.7（金华）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（,0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P,使OPD的面积等于,若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）如图，过点B作BEy轴于点E，作BFx 轴
11、于点F.由已知得BF=OE=2, OF= = 点B的坐标是( ，2) 设直线AB的解析式是y=kx+b，则有 解得 直线AB的解析式是y= x+4 (2) 如图，ABD由AOP旋转得到，ABDAOP， AP=AD， DAB=PAO，DAP=BAO=600， ADP是等边三角形，DP=AP= . 如图，过点D作DHx 轴于点H，延长EB交DH于点G,则BGDH.HGFExyBAODP在RtBDG中，BGD=900, DBG=600.BG=BDcos600=. DG=BDsin600= . OH=EG=, DH= 点D的坐标为( , ) HGFExyBAODP(3)假设存在点P, 在它的运动过程中
12、,使OPD的面积等于 .设点P为（t，0），下面分三种情况讨论:当t0时，如图，BD=OP=t, DG=t, DH=2+t. OPD的面积等于 ， ，x yBAODPHGFE解得 , ( 舍去) . 点P1的坐标为 (, 0 )当t0时，如图，BD=OP=t, BG=t, DH=GF=2（t）=2+t. OPD的面积等于， ，解得 , . 点P2的坐标为(, 0)，点P3的坐标为(, 0).x yBAODPHGE当t 时，如图，BD=OP=t, DG=t, DH=t2. OPD的面积等于 ， ，解得 (舍去), 点P4的坐标为(, 0)综上所述,点P的坐标分别为P1 (, 0)、P2 ( , 0)、P3 ( , 0) 、P4 ( , 0) 本题属于代数与几何相结合的综合题，涉及的知识点多，主要考查了平面直角坐标系，一次函数，勾股定理，图形的旋转变换及三角形的面积公式等知识的综合应用和学生分类讨论的数学思想，一定要关注分类的切入点。