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1、, 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同面投影上。即具有从属性。 若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例。即具有定比性： AC/CB=ac/cb= ac / cb,若点的投影有一个不在直线的同名投影上， 则该点必不在此直线上。,判别方法：,V,H,3.2.点与直线的相对位置,在,不在,判断点K是否在线段AB上？,a,b,因k不在a b上， 故点K不在AB上。,应用定比定理,另一判断法是,因ak:kb ak:kb 故点K不在AB上。,3.3.1 两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。,3.3两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：
2、平行、相交、交叉。,判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,结论：AB/CD,b,d,c,a,对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,结论:AB与CD不平行,判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,如何判断,3.3.2 两直线相交,判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,1(2 ),3(4 ),3.3.3 两直线交叉, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合
3、空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,1、2 是面的重影点， 3、4是H面的重影点。,AB与CD两直线相交吗,投影特性：,结论：AB与CD两直线不相交,3. 当两直线中有一直线平行于某投影面时， 如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然 是直角。-直角投影定理,两直线的夹角，其投影有下列三种情况：,1. 当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影反映实形。,2. 当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该 投影面上的投影一般不反映实形。,3.4 直角投影定理,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,设
4、直角边BC/H面 因BCAB, 同时BCBb 所以BCABba平面,结论:直线在H面上的投影互相垂直,即abc为直角,因此 bcab,故bc ABba平面,又因BCbc,证明：,a,b,c,a,b,c,例4：过C点作直线与AB垂直相交。,AB为正平线, 正面 投影反映直角。,2.求作AB、CD交叉线的公垂线。,a,b,c,d,ab,c,d,s,s,空间分析：,1）因为AB为正垂线， 所以SN必为正平线。,2） 由于SN为正平线，根据 直角投影定理则SNCD 必有sncd,n,n,直角投影定理-(解题演示),直角投影定理-(解题演示),3.已知矩形ABCD的顶点C在直线EF上， 试补全此矩形的投
5、影。,a,e,b,f,a,b,f,c,d,e,c,d,分析：,作图步骤： 过b作直线与ab垂直，并交ef于c； 用几何作图法作平行四边形，补全矩形 ABCD的两面投影。,投影特点： AB为正平线， 则 ab bc。 矩形对边平行， 则投影仍然平行。,14,方法是：以线段在某一投影面上的投影长为一直角边，两端点与这个投影面的距离差为另一直角边形成的直角三角形。其斜边是线段的实长，斜边与投影长的夹角就是该直线与这个投影面的倾角。,b,a,b,a,b,a,在正面投影上求线段实长与倾角,在水平投影上求线段实长与倾角,在侧面投影上求线段实长与倾角,实长,实长,实长,3.5 直角三角形法,Bo,直角三角形
6、求线段实长及其与投影面的倾角中的三个三角形,设所求线段为AB 在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为某投影长，该投影与斜 边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角所对的边为线段两端点相应的坐标差。,AB线段实长,ZAB,ab的长,AB线段实长,XAB,a b 的长,AB线段实长,YAB,a b 的长,例1 已知线段的实长AB，求它的水平投影。,a,根据已知条件，要求得ab，其方法一是求得A、B两点的Y坐标差(YAB ) ；方法二是求得ab的长。 此题有两解(多解 时一般只画一解）,b,x,a,o,b,方法二 已知线段的实长AB，求它的水平投影。,a,此题有两解,b,x,a,o,b,解法二
7、,方法三：求出ab的长,b,x,a,o,b,x,a,b,B,a,ZAB,1,2,以AB两点的Z坐标差为 一直角边的直角三角形 中，另一直角边为AB水 平投影ab的长。 即：12=ab,19,ZAB,例2 已知直线AB的=30 求作AB的正面投影。,o,x,a,b,a,b,ZAB,30,1.分析 要求得ab，其实 就是求b；要求得b 也就是想办法找到A、 B两点的Z坐标差或者 求出ab的长。,B0,2.作图 1）作abB0,使= 30 A的对边为ZAB 2）过a作直线平行于 Ox轴，与过b而垂直于 ox轴的直线交于一点b0 3）以b0为圆心以ZAB为 半径画圆弧，交bb0的延 长线于点b 4）用直线连接ab 即为所求。,b0,20,o,x,a,a,b,k,b,c,d,6,8,2,0,d,c,6,8,2,0,k,例3 已知CDAB=K，CDH， 求CD的正面投影。,求k同前。 由于CDH所以 cdox轴。,直角投影定理-(解题演示),1.求A点到CD的真实距离。,a,c,d,c,a,d,作图步骤： 1）过A作直线ASCD； （此时AS为一般位置直线） 2）应用直角三角形法求 AS的实长；,s,s,AS,关键步骤分析: 设A点到CD的距离为AS 必有ASCD CD为正平线 as cd 由此可求出AS的两面投影。,