【教学课件】第八章 应力与应变分析.ppt

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1、第八章第八章 应力与应变分析应力与应变分析 8-1 一点的应力状态 8-3 平面应力状态分析解析法 8-4 平面应力状态分析图解法 8-5 三向应力状态 第八章第八章 应力与应变分析应力与应变分析 8-8 广义胡克定律 8-9 复杂应力状态下的应变比能 8-10 强度理论概述 8-11 四种常用强度理论 小 结 1一点的应力状态 8-1 8-1 一点的应力状态一点的应力状态 一、一点的应力状态 受力构件一点处各个不同截面上的应力情况 2研究应力状态的目的 找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方 位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。 1)代表一点的应力状态； 单元体法 1单元体 2)

2、每个面上的应力均布，应力正负用箭头方向表示； 3)平行面上的应力大小相同、方向相反； 4)三个相互垂直面上的应力已知。 二、研究应力状态的方法 围绕构件内一点截取的微小正六面体。具有以下特点： 2单元体上的应力分量 1)单元体上的应力分量共有 九个，独立分量有六个； 2)应力分量的角标规定： x O z y dz dx dyX Y Z O sysy sz sz tzy tyz tyz tzy tyx tyx txy txy sx sx tzx txz tzx txz 第一角标表示应力作用 面，第二角标表示应力 平行的轴；两角标相同 时，只用一个角标来表 示。例如txy表示x面上 平行于y轴的切

3、应力， sx表示x面上平行于x轴 的正应力； 3)面的方位用其法线方向表示，例如x面表示法线平行 于x轴的面； 4)切应力互等定理： 3截取单元体的方法与原则 1)在一点用与三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依 问题和构件形状而定)垂直的平面截取，因其微小 ， 看成微小正六面体； 2)单元体各个面上的应力已知或可求； 3)几种受力情况下截取单元体方法： 8-1 8-1 一点的应力状态一点的应力状态 F Me Me FF Me Me 横截面、周向面、直 径面各一对，从上表 面截取 C t ss 横截面、周向面、直径面各一对 B 一对横截面，两对纵截面 A s=F/As t=Me /Wp A B C

4、 F C A B B tB C tC sCsC A sAsA 1主应力、主单元体、主平面的概念 三、应力状态的分类(按主应力) 1)主平面： 单元体上切应力为零的平面 2)主单元体：各面均为主平面的单元体，主单元体上 有三对主平面； 旋转 y x z s2 s3 s1 sx sz txy txz tzx tzy tyz tyx sy 3)主应力： 主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示，且 s1s2s3。 x y z (找主平面、主单元体和主应力) 2应力状态按主应力分类 1)单向应力状态： 只有一个主应力不为零的应力状态； 2)平面应力状态： 有二个主应力不为零的应力状态， 也称为二向应力

5、状态； 3)三向应力状态： 三个主应力均不为零的应力状态， 也称为空间应力状态； 4)单向应力状态又称为简单应力状态；平面和空间应 力状态又称为复杂应力状态。 4)围绕一点至少存在一个主单元体，应力分析的主 要目的就是寻找主单元体和主应力。 8-3 8-3 平面应力状态分析解析法 1平面应力状态的表示方法(一般表现形式) 一、平面应力状态分析的解析法 平面应力状态一般表现为：单元体上有一对侧面应力为 零，而其它四个侧面上应力都平行于应力为零的侧面。 sx txy sy sy sx tyx sy tyx txy sxsx 2任意a角斜截面以及与之相垂直斜截面上的应力 1)公式推导 sx txy

6、sy sy sx tyx A B x y dA sx txy tyx sy x x sa ta txy sy tyx sa sx a n t a sx txy sy sy sx tyx A B dA sa ta a n t a 2)a角斜截面应力公式 由三角变换得 单元体上所绘s、t，数值代表大小，箭头方向代表正负。 4)推导公式时，sx、sy、txy、a 角均假设为正，实际计算时应 代入各参量的正负。 s ：拉为正，压为负； a ：以x轴正向为起线，逆时针转 至外法线方向者为正，反之为负； t ：使微元产生顺时针转动趋势者为正；反之为负。 a x 3主应力及其方位 1)由主平面定义：，得：

7、可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。 2) 即主平面上的正应力取得所有方向正应力的极值。 3)主应力大小： 4)由s 、s 、0按代数值大小排序得出： 5)判断s、s作用方位(与两个a0如何对应) txy s s a0* a)由： 求得一个a0： b)txy箭头指向第几象限(一 、四)，则s(较大主应力) 在第几象限，即先判断s 大致方位，再判断其与 算 得的a0相对应，还是与 a0+90o相对应。 6) txy s s a0* 1) 4极值切应力 2)极值切应力： 可求出两个相差90o的a1值，对应两个互相垂直的 极值切应力方位。 3)极值切应力方位与主应力方位的关系： 极

8、值切应力平面与主平面成45o 例8-1 图示单元体，试求：a=30o斜截面上 的应力；主应力并画出主单元体； 极值切应力。 40 30 20 单位：MPa a sa ta 40 20 30 解：1) a=30o斜截面上的应力 2)主应力与主单元体 3)极值切应力 4)讨论并证明： 同一单元体任意垂直平面上的正应力之和为常数。 14.9o s s s s t ABCD 例8-2 分析圆轴扭转时的应力状态。 Me Me D CB A 3)圆轴扭转时，任意点为纯剪切应力状 态，最大拉、压应力在与轴线成45o 斜截面上，它们数值相等，均等于横 截面上的切应力； 4)对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，

9、扭转破坏时，通常是横截面 上的最大切应力使圆轴沿横截面剪断； 5)对于脆性材料(如铸铁、粉笔)抗拉性能差，扭转破坏时，通常沿与 轴线成45o的螺旋面拉断。 x 45o -45o s3 s1 s1 s3 解：1) 围绕圆轴外表面一点取单元 体ABCD： 2)求主应力和主单元体 q 5主应力迹线 1)作法 将一点的主拉(压)应力方 向延长与相邻横截面相交 ，再求出交点的主拉(压) 应力方向，依次得到一条 曲线主拉(压)应力迹 线。 2)主应力迹线的特征 同一类主应力迹线不能相交； 两类主应力迹线若相交，则必然正交； 所有主应力迹线与轴线相交的夹角均为45o； 所有主应力迹线与梁的上或下边缘垂直相交

10、； 主应力迹线只反映主应力方向，不反映大小。 1理论依据 平面应力状态分析的图解法应力圆 以s、t为坐标轴，则任意a 斜截面上的应力sa、ta为 8-4 8-4 二向应力状态分析图解法 Os t 2应力圆的绘制 sx sx txy tyx txy tyx sy sy x y C 2a0 B1 s A1 s 2a (sa ,ta)E G1 t G2 t D (sy, tyx) BA D(sx, txy) n a sa ta 1)选定坐标及比例尺； 2)取x面的两个应力值，定出D(sx , txy)点， 取y面的两个应力值，定出D(sy , tyx)点； 3)连DD交s 轴于C点，以C为圆心，DD

11、为直径作圆。 3应力圆的应用 1)点面对应关系： 2)角度对应关系： 应力圆上一点坐 标代表单元体某个面上的应力； 应力圆上半径 转过2a，单元体上的面转过a ； 3)转向对应关系： 应力圆上半径的 转向与单元体上面的旋向相同； O s t C 2a (sa ,ta )E D (sy, tyx) B A D(sx, txy) x sx sx txy tyx txy tyx sy sy y n a sa ta 4)求外法线与x轴夹角为a 斜 截面上的应力，只要以D为 起点，按a 转动方向同向转 过2a 到E点，E点坐标即为 所求应力值。 5)应力圆确定主平面、主应力 应力圆上纵轴坐标最大的G1

12、点为t，纵轴坐标最小的G2 点为t，作用面确定方法同 主应力。 由主平面上切应力t=0，确定D 转过的角度；D转至s轴正向A1 点代表s所在主平面，其转过角 度为2a0*，转至s轴负向B1点代 表s所在主平面； O s t C 2a0* B1 s A1 s G1 t G2 t D (sy, tyx) B A D(sx, txy) sx sx txy tyx txy tyx sy sy 6)确定极值切应力及其作用面 4)作应力圆，并由几何关系算出或由 比例尺量出： 60o 解：一、图解法 1)由竖直面BE上的应力 得到应力圆上的D点： s O t 17.3 40 80 D 120o D l C

13、2)由AB面上的正应力 作直线s： 例8-3 平面应力状态如图所示，试用应力圆和解析法分别求出主应力和斜截面AB 上的切应力t。(应力单位：MPa) B 50 80 A 50 80 t t 60o E 则应力圆上代表AB面应 力的点一定在 该直线上 3)作直线l，使其满足：与s轴正向 逆时针夹角120o，交直线s于D， 交s轴于C，|CD|=|CD| 50 s 解：二、解析法 1)建立坐标系 2)截取微块ABC 60o B 50 80 A 50 80 t t E 由于AC面为主平面，其上切应 力为零，则根据切应力互等定 理BC面上切应力也为零，只有 主应力sy。 3)将AB看成斜截面，求解其

14、上应力 x y 80 60o 50 t sy B A C 例8-4 图示单元体，试求：a=30o斜截面上 的应力；主应力并画出主单元体； 极值切应力。 40 30 20 单位：MPa a sa ta 解：1) a=30o斜截面上的应力 2)主应力并画出主单元体 s O t D(30,-20) D(-40,20) C 60o (29.8,20.3) 35.3-45.3 29.8o 40 20 30 14.9o s s s s 3)极值切应力： 40.3 -40.3 三、几种应力状态的应力圆 1单向拉伸和压缩应力状态 1)单向拉伸 ss 2)单向压缩 ss O s t Cs D D C s E E

15、 圆心C：(s/2,0) D(s/2, s/2) D(s/2, -s/2) 极值切应力点： 主应力： 圆心C：(-s/2,0) E(-s/2, s/2) E(-s/2, -s/2) 极值切应力点： 主应力： 2纯剪切应力状态 O s t t t t t C 圆心C：(0,0) D(0, t) D(0, -t) 极值切应力点： 主应力： D D pp p p 3两向均匀压(拉)应力状态 O s t ss s s 主应力： Cs 两向均匀压(拉)应力状态 的应力圆为s轴上的一点。 因此其任意方向均为主应 力方向，任意平面均为主 平面 p pp 任意形状平面，只要边界各点 承受大小相同垂直作用于边界

16、 的力，则其内部任意一点均为 两向均匀压(拉)应力状态，同 样对于三维构件(如圆球)，就 为三向均匀压(拉)应力状态。 8-5 8-5 三向应力状态三向应力状态 1三向面应力状态下的应力圆 一、三向应力状态下的应力圆 s3 s2 s1 s2 s3 s1 s2 s1 s3 O t s C2 s3 C1C3 s1s2 1)平行s3斜截面上应力由s1、 s2作出应力圆上的点确定； 2)平行s1斜截面上应力由s2、 s3作出应力圆上的点确定； 3)平行s2斜截面上应力由s1、 s3作出应力圆上的点确定； t23 O t s C2 s3 C1C3 s1s2 t13t12 2三向应力状态下的最大切应力 4

17、)由弹性力学知，任意斜 截面上的应力点落在阴 影区内。 tmax所在平面与s1和s3 两个主平面夹角为45o。 三、例题 sy=140 txy=150 sx=300 A视 解法一：1)已知一个主应力：sz=90MPa。 2)将单元体沿z方向投影，得到平面应力状态： 例8-5 试确定图示应力状态的主应力和最大切应力， 并确定主平面和最大切应力作用面位置。 x z y 90 300 150 140 单位：MPa 根据txy方向，s1与x逆时针夹角为31o，s3与x 轴夹角121o，均在xoy平面内 最大切应力所在平面法 线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。 x z y s2 y 31

18、o 31o s1 x s3 A 8-8 8-8 广义胡克定律广义胡克定律 一、广义胡克定律 1)主应变： 1有关概念 2)正应力只引起线应变，切应力只引起切应变； 沿主应力方向的应变，分别用e 1e 2e 3表 示； 2广义胡克定律 2)推导方法： 利用叠加原理和第一章里讨论的拉压和 剪切胡克定律。 1)广义胡克定律：应力与应变的关系，又称本构关系； s1 s2 s3 s1s1 I s2 s2 II s3 III s1方向上的应变： s2方向上的应变： s3方向上的应变： s1 I s1 s2 II s2 III s3 3)主应力与 主应变的 关系： 8-8 8-8 广义胡克定律广义胡克定律

19、4)一般情况： 5)用应变 表 示应力 ： 6)平面应力状态下：sz、 tyz 、 txz 为零。 二、体积应变与应力分量之间的关系 1)长a、宽b、高c的单元体变 形前体积： 1体积应变 2)在主应力s1、 s2、 s3作 用下，单元体体积变为： 3)体积改变率(体积应变) a b c s3 a(1+e1) s1 s2 b(1+e2) c(1+e3) 4)体积应变的应力表达式： 代入胡克定律 平均应力 体积模量 三、例题 例8-6 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm 的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制 圆柱如图，圆柱受到F=300kN的轴向压力。 假设钢块不变形，试求圆柱的主

20、应力。取 E=200GPa，n =0.30。 F p s3=F/A sq= p sr=p p p 解：1)圆柱横截面上的应力 2)圆柱径向应变 3)截取单元体如图 4)由广义胡克定律 5)圆柱内任意点主应力为： 8-9 8-9 复杂应力状态下的应变比能复杂应力状态下的应变比能 一、总应变比能 1)应变能(变形能)： 1有关概念 伴随弹性体的变形而储存在弹性 体的能量，用U表示； 2)比能： 单位体积内储存的应变能，用u表示； 3)克拉贝依隆原理： 该原理只在线弹性条件下成立 F i： d i ： 广义力； 与广义力相对应的广义位移； 1)取主应力单元体，假定三个 主应力按某一比例由零同时 增加

21、到最终值，则该单元体 所储存的应变能为 2总应变比能 s 2 s 1 s 3 dx dy dz e 1 e 2 e 3 2)比能： 3)代入广义胡克定律 二、体积改变比能uv与形状改变比能uf 1)单元体的变形： 1有关概念 体积改变和形状改变 s 3 s 2 s 1 体积应变只与平均 正应力有关，则体 积改变比能只与平 均正应力有关。 体积改变 sm sm sm s3 - sm s2- sm s1 - sm 形状改变 2)体积改变比能： 与体积改变相对应的比能，用uv 表示； 3)形状改变比能： 与形状改变相对应的比能，用uf 表示； 4) 2uv、 uf公式 1)体积改变比能： 2)形状改

22、变比能： 一般情况下： 1失效： 8-10 8-10 强度理论概述强度理论概述 一、失效方式 构件失去它们应有的功能 1)强度失效方式： 2失效方式取决于材料的种类、加载方式、构件所处的 应力状态和工作环境等 主要表现为： 强度失效、刚度失效、失稳与屈曲失效、 疲劳失效、蠕变与松弛失效。 屈服与断裂 2)刚度失效方式： 构件产生过量的弹性变形 3)屈曲失效方式： 构件平衡状态的突然转变 4)疲劳失效方式： 交变应力作用引起构件的突然断裂 1脆性材料 二、单向拉伸应力状态下的强度失效 1)失效形式： 断裂 2)失效判据：由单向拉伸试验建立 2塑性材料 1)失效形式： 屈服 2)失效判据：由单向拉

23、伸试验建立 1简单应力状态下强度准则可由试验确定； 三、强度准则的提出 2一般应力状态下，材料失效方式不仅与材料性质有关， 且与应力状态有关，即与各主应力大小及比值有关； 1)一般脆性材料脆断，塑性材料屈服； 2)脆性材料在三向等压应力状态下会产生塑性变形， 塑性材料在三向等拉应力状态下会发生脆性断裂； 1)金属材料的失效分为： 3复杂应力状态下的强度准则不能由试验确定(不可能 针对每一种应力状态做无数次试验)； 4强度准则 塑性屈服与脆性断裂； 2)强度准则(强度理论)：材料失效原因的假说； 3)通过强度准则，利用单向拉伸试验结果建立各种应 力状态下的失效判据和相应的设计准则。 一、断裂失效

24、的三种类型 构件在载荷作用下，没有明显塑性变 形而发生突然破坏的现象。 1脆性材料的突然断裂； 断裂失效： 2有裂纹或缺陷构件的断裂； 3渐近性断裂，亦称疲劳断裂； 本章只讨论第一情况脆性断裂 2强度准则： 失效判据： 3su由单向拉伸断裂条件确定： 4应用情况： 符合脆性材料的拉断试验，如铸铁单向 拉伸和扭转中的脆断；未考虑其余主应力影响且不能 用于无拉应力的应力状态，如单向、三向压缩等。 最大拉应力s1，与应力状态无关； 一、最大拉应力理论（第一强度理论） 无论材料处于什么应力状态，发 生脆性断裂的共同原因是最大拉应力s1达到材料在单 向拉伸时的极限应力su。 最大拉应力准则： 1断裂原因

25、： 8-11 8-11 四种常用的强度理论四种常用的强度理论 2强度准则： 失效判据： 3e u由单向拉伸断裂条件确定： 4应用情况： 符合表面润滑石料的轴向压缩破坏等， 不符合大多数脆性材料的脆性破坏。 最大伸长线应变e1，与应力状态无关； 二、最大伸长线应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态 ，发生脆性断裂的共同原因是最大伸长线应变e1达到 材料在单向拉伸时的极限应变eu。 最大伸长线应变准则： 1断裂原因： 2强度准则： 失效判据： 3tu由单向拉伸屈服条件确定： 4应用情况：形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安 全。 最大切应力tmax，与应力状态无关； 三、最大切应力理论

26、（第三强度理论） 无论在什么样的 应力状态下，材料发生屈服流动的原因是最大切应力 tmax达到材料在单向拉伸时的极限切应力tu。 最大切应力准则(Tresca准则) ： 1屈服原因： 2强度准则： 失效判据： 最大形状改变比能uf，与应力状态无关； 四、最大形状改变比能理论（第四强度理论） 无论在什么 样的应力状态下，材料发生屈服的共同原因是形状改 变比能uf达到材料在单向拉伸时的极限值ufu。 最大形状改变比能准则(Mises准则)： 1屈服原因： 3ufu由单向拉伸屈服条件确定： 4应用情况： 比最大切应力准则更符合试验结果。 强度准则的统一形式 1一般情况下，脆性材料将发生脆性断裂，因而

27、选用最 大拉应力准则和最大伸长线应变准则；而韧性材料一 般发生屈服，故应选Tresca和Mises准则。 2材料的失效形式不仅取决于材料的性质，而且与其所 处的应力状态、温度和加载速度有关，因此对构件进 行全面的分析，以决定其失效形式。 强度准则的统一形式： 其中i=1，2，3，4，M 分别表 示最大拉应力，最大伸长线应变，最大切应力和最大 形状改变比能和莫尔强度准则。 s ri相当应力， 例题 例8-7 某结构危险点的应力状态如图所示，其中s =120MPa，t =60MPa。 材料为钢，许用应力s=170MPa，试校核此结构是否安全。 t s 解：1)求主应力 2)钢材在这种应力状态下会发

28、生屈服失效， 故可采用Tresca和Mises准则进行强度计 算。两种准则的相当应力分别为 3)强度计算 将s、t 代入上两式 可见无论采用Tresca或是 Mises准则进行强度校核， 该结构都是安全的。 l z y x 例8-8 如图所示等厚钢制薄壁圆筒，平均直径d=100cm，筒内液体压强 p=3.6MPa。材料许用应力s =160MPa，试设计圆筒的壁厚。 psx sq 解：1)应力分析 x y z sx d t p sq 2)分别用Tresca和 Mises准则计算 Tresca： Mises ： Tresca准则偏于安全 小 结 一、本章重点 应力状态的有关概念及其研究方法，截取原

29、 始单元体的方法，主单元体、主平面、主应 力，应力状态的分类； 平面应力状态分析的解析法和应力圆法； 简单三向应力状态的求解及一点的最大应力 ； 广义胡克定律及其应用。 小 结 材料失效的形式及其有关概念，特别是金属 材料的失效方式； 断裂准则； 屈服准则； 强度准则的应用主应力校核、受内压薄 壁圆筒的强度问题。 小 结 二、思考题 复杂应力状态下为什么不能直接用试验建立强度条 件？ 三向等拉应力状态材料如何破坏？三向等压应力状 态材料如何破坏？ 试解释水管冬天沿轴线胀裂且与轴线夹角为45o角的 原因？ 相当应力是构件的真实应力吗？能够进行叠加吗？ 如何判断两种应力状态的危险程度？ 低碳钢和铸铁扭转破坏断面有什么不同，为什么？