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1、作业,搜集某个地区(国、省、市)的人口数据（不少于6个数据）， 1）保留时间上最晚的两个数据做检验，根据其余数据分别用Malthus模型和Logistic模型拟合最佳参数，并检验模型在上述两个用于检验的数据上的误差。 2） 根据样本数据散点图特点，考虑采用Malthus和Logistic两个经典模型对搜集的数据建模是否合适？如不合适，请给出具体改进的建议方法。,1,常微分方程模型,2,3,6.1 人口增长模型,英国人口学家Malthus (1766-1834),模型假设,人口自然增长率 r 为常数,模型建立,1.指数增长模型,4,人口学原理的基本思想： 如没有限制，人口是几何级数（即：2，4，
2、8，16，32，64，128等）增长。 而食物供应呈现线性（即：1，2，3，4，5，6，7等）增长。 食物为人类生存的最重要之条件。 只有自然原因（事故和衰老），灾难（战争，瘟疫，及各类饑荒），道德限制和罪恶（马尔萨斯所指包括杀婴，谋杀，节育和同性恋）能够限制人口的过度增长 马尔萨斯注意到许多人误用他的理论，痛苦地阐明他没有仅仅预测未来的大灾难。他辩解道，“周期性灾难持续存在的原因自人类有史以来就已经存在，目前仍然存在，并且将来会继续存在，除非我们的大自然的物理结构发生决定性的变化。”因此，马尔萨斯认为他的人口论是对人类过去和目前状况的解释，以及对我们未来的预测。 人口论的论点为粮食增加仅会呈
3、等差数列，而人口的增加却会呈现等比数列。所以他觉得人类必须顾虑食物的缺乏，而减少结婚的预防限制，以及受现实穷困的折磨、对已生人口所加压迫积极限制。,An Essay on the Principle of Population,1798,5,模型分析,人口将按指数规律无限增长！,人口将始终保持不变！,人口将按指数规律减少直至绝灭！,人口倍增时间,模型求解,人口以几何级数增加！,6,Malthus模型预测美国人口,7,Malthus模型预测的优缺点,优点,短期预报比较准确,缺点,不适合中长期预报,原因,预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环境对人口增长的制约作用。,8,2.阻滞增长模型,假
4、设人口增长率 r 是 人口 x 的减函数 ：,其中，xm 为考虑到受自然资源和环境条件限制所能容纳的最大人口数量,（称环境容纳量）,模型假设,模型建立,9,模型分析（定性分析）,人口将递减并趋向于xm！,人口将始终保持xm不变！,人口将递增并趋向于xm！,无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！,模型求解,10,人口增长率达到最大值,11,阻滞增长模型预测美国人口,12,阻滞增长模型预测的优缺点,优点,中期预报比较准确,缺点,理论上很好，实用性不强,原因,预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 xm 为定值。,13,function main() % Population of
5、 US clear clc digits(2); unit=1e6; year=0:10:210; years=year+1790; RealPopulation=3.93,5.31,7.24,9.64,12.87,17.07,23.19,31.44,38.56,. 50.16,62.95,76.0,91.97,105.71,122.76,131.67,150.70,179.32,203.21,. 226.51,248.71,281.42; % 非拟合方法估计模型参数 x0=3.93;x1=5.31; r=log(x1/x0)/10.0; ExpPopu=x0.*exp(r.*(year-ye
6、ar(1); errorEXP=100.*(ExpPopu-RealPopulation)./RealPopulation; error1=norm(ExpPopu-RealPopulation)*unit subplot(1,2,1) plot(years,RealPopulation*unit,b,years,ExpPopu*unit,r); title(Malthus模型预测美国人口); subplot(1,2,2) plot(years,100,r*,years,errorEXP,b); title(Malthus模型预测美国人口相对误差);,14,rl=0.31; xm=197; L
7、ogPopu=xm./(1+(xm/x0-1).*exp(-r.*(year-year(1); errorLog=100.*(LogPopu-RealPopulation)./RealPopulation; error2=norm(LogPopu-RealPopulation)*unit subplot(1,2,1) plot(years,RealPopulation*unit,b,years,LogPopu*unit,r); title(阻滞增长模型预测美国人口); subplot(1,2,2) plot(years,errorLog,b); title(阻滞增长模型预测美国人口相对误差);
8、 pause,15,% Estimate three parameters in Logistic model: p(1)=growth rate r, p(2)=carrying capacity K, % and p(3)=initial population P0. p0 = .01,1000,x0; % initial estimated parameter values lowerbound = zeros(1,3); options = optimset(MaxFunEvals,10000); p,Error=lsqcurvefit(logistic,p0,year,RealPop
9、ulation,lowerbound,options) error3=sqrt(Error)*unit modelpops=logistic(p,year); errorEstLog=100.*(modelpops-RealPopulation)./RealPopulation; subplot(1,2,1) plot(years,RealPopulation*unit,o,years,modelpops*unit) title(参数估计阻滞增长模型预测美国人口); subplot(1,2,2) plot(years,errorEstLog,b); title(参数估计阻滞增长模型预测美国人口相对误差); function P = logistic(p,t); %MATLAB function file that takes time t, growth rate r (p(1),carrying capacity K (p(2), % and initial population P0 (p(3), and returns the population at time t. P = p(2).*p(3)./(p(2)-p(3).*exp(-p(1).*t)+p(3);,16,