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1、一.广义振动,振动、波动 横跨物理学所有领域, 物理量在中心值附近作周期性变化,1. 机械振动,位置或位移,2. 非机械振动,电磁振荡、交流电,以上具有相似物理规律和研究方法,概述,第 九 章 振 动,1.,1,谷风书苑,二.最基本的振动, 简谐运动,2.,2,谷风书苑,91 简谐运动 振幅 周期与频率 相位,一.简谐运动,以平衡位置为原点、建立图示坐标系,偏离x,k：劲度系数、一般为振动常数,A、 ：积分常数 初始条件,动力学方程,运动微分方程,运动方程,3.,3,谷风书苑,a. x 平衡位置 量度,b. k、 固有性质 与初始条件无关,A、 初始条件 与固有性质无关,4.,4,谷风书苑,讨
2、论:,动力学分析 判断振动性质，求固有量,(动和静)平衡位置，偏离量x ( )、力(矩)分析,5.,5,谷风书苑,1.振幅 A,最大位移 表征能量,二.简谐运动的运动学描述,2.周期与频率,比较,即,弹簧振子固有周期,单位时间,全振动次数的2倍,、T、 固有量，取决振动系统动力学特征,6.,6,谷风书苑,3. 相位,k = 0,1,2,x = A ,v = 0,x = 0 ,v 0,x =A ,v = 0,x = 0 ,v 0,(或 ),如 t = 0 则 初始状态,7.,7,谷风书苑, 任意角(4个象限),8.,8,谷风书苑,92 旋转矢量,一.简谐运动与匀速圆周运动,如图所示,旋转矢量,9
3、.,9,谷风书苑,10.,10,谷风书苑,二.旋转矢量法,1. 表示谐振动（三要素）,3. 确定初相位 (或相位) (几何法),11.,11,谷风书苑,由图知,相位差,(初相差),对(a)图 x2超前x1 (21),(b)图 x1 超前 x2 /2 或 x2滞后 x1 /2,12.,12,谷风书苑,5. t 或,由旋矢图知,由此 与 t 可互求,6. 谐振动合成( 95),13.,13,谷风书苑,三.谐振动的运动学分析,1. 已知运动方程 一系列物理量,2. 由已知条件运动方程(确定三要素) 其它物理量,14.,14,谷风书苑,分析:,求(1),a. 先求运动方程(三要素) ,其中 为关键,如
4、 :,解析法,判断,旋矢法,由旋矢图,知,(2) x = 0.04 m 到-0.04 m最短时间,15.,15,谷风书苑,由图知,例2 一简谐运动的 x t 曲线，如图所示，求：,(1) 初相 ；,(2) 求运动方程,并用旋矢表示之；,(3) 第一次到达 处的速度和加速度。,分析:,a. 简便路径: 用旋矢法求 和 ,并结合相位法求第三问,b. 旋矢图,第一次到达次 处相位,比较：解析法、旋矢法、相位法,讨论:,1,16.,16,谷风书苑,如,(物理摆) 一维角谐振动模型,93 单摆和复摆,一.复摆,如图 偏离平衡位置,l 质心 c 至转轴 o 距离,二.单摆,(数学摆) 复摆一个特例,有,1
5、7.,17,谷风书苑,O,R,r,例1一半径为 r 的均质球,可沿半径为 R 的固定大球壳的内表面作纯滚动(如图)试求圆球绕平衡位置作微小运动的动力学方程及其周期.,分析:,偏离 力(矩)分析,18.,c,18,谷风书苑,例2 细杆(m ,l )竖直时,水平轻质弹簧( k )处于自然状态, 求细杆作小幅摆动时的周期T。,分析:,偏离,对o :, 很小时,有,19.,19,谷风书苑,t :系统能量,以弹簧振子为例,94 简谐运动的能量,守恒,20.,20,谷风书苑,简谐运动能量特征能量守恒,讨论:,能量法 判断广义简谐运动,振子偏离平衡位置 x 时,以弹簧振子为例：,两边对 t 求导,21.,2
6、1,谷风书苑,例 求图示系统的振动频率 .设轻绳与定滑轮间无相对滑动.,分析:,a. 寻找平衡位置 , 建立图示坐标系,b. 法 动力学法,偏离x 平动与转动隔离,对m :,对J :,m与J :,系统固有性质,22.,22,谷风书苑,偏离 x 系统( m、k、J、地球 ),c. 法 能量法,两边对 t 求导，,可得同样结果,23.,23,谷风书苑,95 简谐运动的合成,一.两个同方向同频率简谐运动的合成,与相位差 有关,仍为谐振动， 不变,24.,24,谷风书苑,a.如,讨论:,b.如,或,如,静止,a. 以上为两相干波干涉的基础,b. 建议：对下列特殊情况可直接用旋矢法求解,25.,25,谷
7、风书苑,比较：旋矢法与解析法,讨论:,26.,26,谷风书苑,合振动轨迹方程(消去t ) 椭圆方程,二.两个相互垂直同频率简谐运动的合成,27.,27,谷风书苑,讨论:,a. 所含各种情况, = 0 , 直线(谐振动), = /2 , 3/2 正椭圆,如 A1=A2 圆, 其他情况 斜椭圆,b. 右旋与左旋,如 = 2 - 10,如 = 2 - 10,x超前y 逆时针旋转(左旋),y 超前x 顺时针旋转(右旋),28.,28,谷风书苑,*三 .多个同方向同频率简谐运动的合成,合运动仍为简谐运动,如,则,29.,29,谷风书苑,讨论:,a. 若,b. 若,（N个矢量构成一闭合图形）,30.,c.
8、 次级大,30,谷风书苑,四.两个同方向不同频率简谐运动合成,拍,一般：合运动 不是谐振动,讨论 , 的情况,31.,31,谷风书苑,合运动,如,随t 变化的振幅,振动因子,32.,32,谷风书苑,比较,证明(1) 解析法,证明(2) 旋矢法,从两振动同相 再次同相,由相对运动,拍现象应用领域 声学、无线电技术、速度测量,33.,33,谷风书苑,一. 阻尼振动,简谐运动 理想 等幅 守恒,96 阻尼振动 受迫振动 共振,实际 阻尼,如 2 02 其解为,式中A , 初始条件,34.,34,谷风书苑,讨论:,临界阻尼工程中有很多应用,c.临界阻尼,b.过阻尼,a.欠阻尼,35.,35,谷风书苑,
9、二. 受迫振动,周期性简谐外力,则,其解,暂态响应,稳态响应, , 多种因素有关(如 0、 P、 ),振动频率 驱动外力 P,机械能守恒,36.,36,谷风书苑,三. (位移)共振,共振频率,*另速度共振 电流谐振(选频),令,速度最大,令,共振 有弊也有利,37.,37,谷风书苑,一. 振荡电路 无阻尼自由电磁振荡,97 电磁振荡,LC电路 (无阻尼情况),38.,38,谷风书苑,二.无阻尼电磁振荡的振荡方程,LC 电路,t :,有,振动周期,39.,39,谷风书苑,三. 无阻尼电磁振荡的能量,t :,电容器,电感线圈,总能量,守恒,40.,40,谷风书苑,*98 简述非线性系统,一. 线性
10、系统(理想或近似),特征,1. 动力学行为 满足(一组)线性微分方程,2. 其解 满足线性叠加原理,二. 非线性系统(实际,普遍),特征,1.叠加原理不成立,2. 初始条件不同,会导致很不相同运动形式,3. 可能出现完全随机混沌行为,41.,41,谷风书苑,讨论:,小角度(线性系统)和大角度(非线性系统)物理行为,线性微分方程,其解,精确描述状态 确定性,两同频率谐振动合成 满足线性叠加原理,满足,其解,42.,42,谷风书苑,非线性微分方程,如取前两项,一次迭代近似解：,不满足线性叠加原理,近似：两个不同频率谐振动合成（复杂振动）,其中,与A（能量，初始条件）有关,43.,43,谷风书苑,初始条件不同可能会导致下列三种不同运动 不确定性,以上通常用如下相图(P-x 或- 或)描述,44.,44,谷风书苑,d /dt,施加某种影响, 完全随机行为 混沌,满足某种条件（前沿课题）,45.,45,谷风书苑,