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1、用三角形面积公式妙解几何题用三角形面积公式妙解几何题 三角形是平面几何中最基础、最常 见的一种图形，在有关几何的学习中， 我们常把图中的三角形作为分析的基 本单位，用三角形面积公式妙解几何 题。 一、一、利用同一三角形面积的两个不利用同一三角形面积的两个不 同表达式。同表达式。 例 1：如图 1、CD、AE 分别是的边 AB、BC 上的高，且 CD4、AE8、BC6求 的长 分析：求出ABC 的面积，此题便 很容易得解。因为ABC 的面积可以由 AB 及 AB 边上的高 和 BC 及 BC 边上的 高得到两个不同的 表达式，从而得到 只含有未知数 AB 的相等关系。 解：ABC 的面积可表示为
2、： ()或() 即 ()() AB=（BCAE）CD 6（8/4）=12 例 2：证明直角三角形，斜边与其 上的高的和大于两条直角边的和。 已知：如图、是直角三角形 斜边上的高。 求证： 分析：由ABC 的面 积易得 2ABCD ，再联 系不等式的性质，即在 不等式的两边同时加上 一个数，不等号的方向不变，从而得 证。 证明：由ABC 面积的两种表达式 有： （） （） 又 从而 （） 2 （）2 即 命题得证 二、二、利用等底、等高三角形面积相利用等底、等高三角形面积相 等。等。 例 3：如图 3、已知 E、F 分别是 平行四边形 ABCD 边 BC、CD 上的点， 且 EFBD. 求证:
3、SABE = SADF 分析：连结、，由 EFBD 根据等底、等高的三角形面积相等得 到与F 的面积相等， 只要能够通过这 两个三角形作为 纽带进行转换， 易得结论。 证明:如图 3、连结、 EFBD SBDE SDBF(等 底等高的三角形面积相等) 又ADBC、ABCD 同理有 SABE SDBF SADF SDBF SABE SADF 三、三、利用面积相等的三角形，等底利用面积相等的三角形，等底 图 A B C D E F 图 3 A B C D E F 图 3 图 上的高相等、等高上的底相等。上的高相等、等高上的底相等。 例 4：如图 4、ABD 和ACE 为 正三角形，CD 与 BE
4、交于 H 求证： 分析：从已知条件和图形我们会想到 求出 AH 为DHE 的平分线，于是考虑 角平分线的性质，过 A 点作 AFDC、AGBE，垂足分别为 、，、是否相等，而由 已知条件易证得 。 于是由等面积等底的两个三角形的底 上的高相等，即。问题就 迎刃而解了。 证明： 与 为正三角形 易得 过点分别作和的 边、上的高线和得： （等积三角形等底上的高 相等） （角平分线性 质定理） 四、利用三角形面积与底、高关系。利用三角形面积与底、高关系。 例6：如图6、AD、BE、CF 分别为 ABC 的边BC、CA、AB 边上的中线，交于 . 求证: SDHC=（1/6）SABC 分析：由求证容易 想到分别作 和的高，又 知为的重 心，可找到两三 角形 对应底和高的 关系， 找解题的突破 。 证明:如图 5、作 HNBC、AMBC 垂足为 N、M. AD、BE、CF 为中线，点 H 为 ABC 的重心. / 1/3 SBHC（1/3）SABC 又为的中点 . SDHC=(1/2)S BHC（1/2）（1/3） SABC（1/6）SABC A 图 5 C E D F H N M B A B E D F图 4 H G C