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1、奇偶性的应用,1,奇偶性的应用,2,1函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的 一个x，都有 ，那么称函数yf(x)是偶函数 (2)奇函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的 一个x，都有_，那么称函数yf(x)是奇函数,任意,f(x)f(x),任意,f(x) f(x),一.复习旧知：,奇偶性的应用,3,2奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于 对称 (2)奇函数的图象关于 对称 3函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 (1)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是 ，且有 . (2)若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则f
2、(x)在(0，)上是 ,y轴,原点,最小值M,增函数,增函数,奇偶性的应用,4,1奇函数的图象一定过原点吗？ 【提示】不一定若0在定义域内，则图象一定过原点，否则不过原点 2由奇(偶)函数图象的对称性，在作函数图象时你能想到什么简便方法？ 【提示】若函数具有奇偶性，作函数图象时可以先画出x0部分，再根据奇偶函数图象的对称性画出另一部分图象,二.思考：,奇偶性的应用,5,例3.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时， f(x)x(1x)，求函数f(x)的解析式 【思路点拨】由题目可获取以下主要信息： 函数f(x)是R上的奇函数； x0时f(x)的解析式已知 解答本题可将x0上求解,奇偶性的应用
3、,6,奇偶性的应用,7,此类问题的一般做法是： “求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内 要利用已知区间的解析式进行代入 利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x),思考.若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，且f(0)0”，其他条件不变，则函数f(x)的解析式是什么？,奇偶性的应用,8,奇偶性的应用,9,例4.已知奇函数f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)f(12x)0，求实数x的取值范围,【思路点拨】f(x1)f(12x)0 f(x1)f(2x1)根据单调性 列不等式组解得实数x的取值范围,奇偶性的应用,10,奇偶性的应用,11,
4、解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响,例5.若偶函数f(x)的定义域为1,1，且在0,1上单调递减，若f(1m)f(m)成立，求m的取值范围,奇偶性的应用,12,奇偶性的应用,13,四.课堂小结：,1.例1例2题型根据奇偶函数的图象性质，知道一个区间的图象可以画出另外一个区间的图象解答,2.求关于奇偶函数的解析式一般做法： “求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内要利用已知区间的解析式进行代入利
5、用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x),3.奇偶性与单调性结合的题目：充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响,奇偶性的应用,14,练习1：已知函数f(x)(xR)是奇函数，且当x0时，f(x)2x3，求函数f(x)的解析式,五.课堂练习：,奇偶性的应用,15,奇偶性的应用,16,练习2：已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x)是奇函数 若f(-3)=a,试用a表示f(24),练习3：已知偶函数f(x)在区间0，+）上单调递增，解不等式f(2x-1)f( ),