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1、2021/5/8,1,第四章 向量组的线性相关性,2021/5/8,2,1 向量组及其线性组合,称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量,的 n 个分量，第 i 个数 称为第 i 个分量。,这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。,2021/5/8,3,称为行向量。,称为列向量。,2021/5/8,4,例. 3 维向量的全体所组成的集合,通常称为 3 维Euclid几何空间。,称为 R3 中的一个平面。,集合,2021/5/8,5,称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。,集合,称为 n 维Euclid空间。,例. n 维向量的全体所组成的集合,2021/5/8,6,
2、2021/5/8,7,mn 阵 A 的 列向量组:,行向量组:,同一维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合 称为向量组。,2021/5/8,8,称为向量组 A的一个线性组合，,称为线性组合的系数。,表达式,2021/5/8,9,若存在一组实数,使得,则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合，,或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。,2021/5/8,10,例如：,解方程组,即解方程组,2021/5/8,11,所以，,得,2021/5/8,12,记,2021/5/8,13,则方程组的向量表示为,2021/5/8,14,定理1:,向量 b可由向量组 线性表示,有解，其中,2021/5/8,15
3、,则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。,若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，,若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示，,定义3: 设向量组 及,则称向量组 A 与向量组 B 等价。,2021/5/8,16,B 能由 A 线性表示,2021/5/8,17,定理2:,向量组 能由,线性表示,有解，其中,2021/5/8,18,定理3:,向量组 能由,线性表示，则 R(B) R(A) 。,其中,证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B),而 R(B) R(A, B)，因此 R(B) R(A)。,2021/5/8,19,定义4：,2 向量组的线性相关性,2021/5/
4、8,20,n 维向量组 线性无关,2021/5/8,21,例2:,试讨论向量组 及向量组 的,线性相关性.,2021/5/8,22,解：设,即,系数行列式,齐次线性方程组有非零解，所以向量 线性相关,2021/5/8,23,讨论它们的线性相关性.,结论: 线性无关,解:,上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.,2021/5/8,24,一些结论：,一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；,(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;,(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。,(4) 向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一 个向量可由其余向
5、量线性表示。,2021/5/8,25,定理5-2：m个n维向量(m n)构成的向量组一定线性相关. 特别地, n+1个n维向量线性相关.,则 b 能由向量组A线性表示，且表示式唯一.,2021/5/8,26,设 Kx = 0 ，其中,则,故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3,= 0,2021/5/8,27,= 0,故 Kx = 0 ，而 R(K) = 3，于是 x = 0 ，,2021/5/8,28,证明：向量,线性无关。,证：,线性无关。,2021/5/8,29,3 向量组的秩,定义1:,简称最大无关组, r 称为向量组 A的秩，记作RA,（ii）A中任意r+
6、1个向量都线性相关.,那么称部分组 为向量组 A的一个最大线性无关组，,2021/5/8,30,例如：在向量组 中，,2021/5/8,31,注:,（1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0 。,（2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。,（4）向量组 A能由A0线性表示。,（3）向量组的最大无关组一般不是唯一的。,（5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。,2021/5/8,32,例：设矩阵,矩阵A 的行向量组是,所以矩阵A的行向量组秩为3。,2021/5/8,33,矩阵A的列向量组是,所以矩阵A的列秩是3。,2021/5/8,34,定理：矩阵的秩 = 矩阵的行向量组的秩
7、 = 矩阵的列向量组的秩,注：初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系,2021/5/8,35,例：向量组,求向量组的秩和一个最大无关组。,2021/5/8,36,解：,2021/5/8,37,是一个最大无关组。,2021/5/8,38,例如： 向量组 的秩为2。,注意：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一 个线性表示，则这两个向量组等价。,向量组 的秩为2。,2021/5/8,39,例2 ：求矩阵,的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用,这个最大无关组线性表示。,2021/5/8,40,解:,2021/5/8,41,2021/5/8,42,是
8、一个最大无关组.,2021/5/8,43,最大无关组的等价定义:,那么称部分组 为向量组 A的一个,（ii）A的任意向量都能由 线性表示。,最大无关组。,2021/5/8,44,证：只需证明 A中的任意 r+1个向量都线性相关。,设 为 A中的 r+1个向量，,由(ii)知，这 r+1个向量能由 A0 线性表示，故,因此，这 r+1个向量线性相关。,2021/5/8,45,线性表示的充要条件是,2021/5/8,46,5 向量空间,定义：设 V 为 n 维向量的非空集合， 若 V 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称集合 V 为向量空间,说明:,集合 对于加法及数乘两种运算封闭指,注意. 0 必
9、是向量空间V 的元素，即,2021/5/8,47,例：3 维向量的全体 是一个向量空间。,n 维向量的全体 也是一个向量空间。,是一个向量空间。,不是一个向量空间。,但非齐次线性方程组 Ax = b 的解集合,2021/5/8,48,例：判别下列集合是否为向量空间.,2021/5/8,49,不是向量空间。,解：,所以， 是向量空间。,2021/5/8,50,是否为向量空间.,V 称为由向量a, b生成的向量空间。,例：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合,解：,V 是一个向量空间。,2021/5/8,51,由向量组 所生成的向量空间为,一般地,2021/5/8,52,定义：设 V 为向量空
10、间, W 是V 的非空子集， 若 W 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称 W是 V 的子空间。,零子空间 V = 0 ,2021/5/8,53,线性方程组 Ax = 0 的解空间，或 A的零空间。,2021/5/8,54,定义7：设V是向量空间，如果向量,满足,那么，就称向量组,是向量空间V 的,一个基，r 称为向量空间V 的维数，记作dimVr 并称V 是 r 维向量空间。,2021/5/8,55,注：(1)只含有零向量的向量空间 0 -称为零子空间-没有 基，规定其维数为0。,(2)如果把向量空间V看作向量组V，则V的基就是向 量组V的极大无关组，V的维数就是向量组V的秩。,(3)向量空间
11、的基一般不唯一。,例.,都是向量空间 的基。,2021/5/8,63,设,是,的一个基，x 是,中的向量，,则称有序数组,为向量 x 在基,下的坐标。,设,是,的另一个基，并且,则称此式为基变换公式，矩阵 P 称为从基,到基,的过渡矩阵。,2021/5/8,64,4 线性方程组解的结构,(1) 齐次线性方程组,或,2021/5/8,65,1. 解的性质,则 仍然是 的解。,性质1：若 是 的解，,则 仍是 的解。,性质2：若 是 的解，,2021/5/8,66,2. 基础解系,线性无关；,2021/5/8,67,定理7：,设,是,矩阵，如果,则齐次线性方程组,的基础解系存在，,且每个基础解系中
12、含有,个解向量。,2021/5/8,68,证明:,化为行 最简形,2021/5/8,69,与B对应的方程组,2021/5/8,70,2021/5/8,71,（2）向量组,线性无关。,综合(1) (2)得, 向量组(C)是齐次线性方程组的基础解系.,(C),2021/5/8,72,的通解是,记,则,是令,为,所得。,例求齐次线性方程组的基础解系,解：,对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵,令 得,令 得,原方程组的解为,原方程的基础解系为,2021/5/8,75,解：,例 : 求下列齐次方程组的通解。,2021/5/8,76,初等行变换,令,得,通解,2021/5/8,77,(2) 非齐次性线
13、性方程组,对应的齐次线性方程组,2021/5/8,78,性质1：,是 的解，则,是,对应的齐次线性方程组,的解。,性质2：,是 的解，,是对应的齐次线性方程组,的解，则,是 的解。,2021/5/8,79,分析:,若,有解，则其通解为,其中,是 的一个特解，,是 对应的齐次线性方程组 的通解。,1. 证明,是解；,2. 任一解都可以写成,的形式。,其中 k11+k22+kn-rn-r 为对应齐次线性方程组Ax=0的通解, *为非齐次线性方程组Ax=b的任意一个特解.,非齐次线性方程组Ax=b的通解为:,x = k11 + k22 + + kn-rn-r +*.,例: 求解方程组,解: 对增广矩阵B施行初等行变换:,可见R(A)=R(B)=2,故方程组有解, 并有,取 x2 = x4 = 0, 则x1 = x3 =,即得方程组的一个解,取,即得对应的齐次线性方程组的基础解系为:,于是所求通解为:,