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1、论复摆振动的研究作者：白忠亮 学号：200702051006红河学院07物理系，蒙自 661100摘要：复摆对于某一间接测量量，要减小其随机误差的一个必要条件，就是要它具有较小的随机不确定度（通常以标准差表示）本实验中的三种解法，都具有典型性这里需要特别指出，使用最小二乘法处理适合，该方法适用的条件及误差分析。关键词：复摆 重力加速度 转动惯量 最小二乘法 引言：复摆实验是一个传统的实验，通常是研究周期与摆轴位置的关系，并测定重力加速度和转动惯量 原理 一个围绕定轴摆动的刚体就是复摆，当摆动的振幅甚小时，其振动周期T为 （1）式中I为复摆对回转轴O的转动惯量，为复摆的质量，为当地的重力加速度，
2、为摆的支点到摆的质心的距离（图（1） 又设复摆对通过质心G平行O轴的轴的转动惯量为，则 （2）而又可写成为，就是复摆对G轴的回转半径，由此可将式（l）改成为 （3） 实验内容1测量相应不同支点的周期abOGsh图（2）OGh图（1）支点位置，用从摆的一端a量度的距离s表示将支点由靠近a端开始，逐渐移向b端并测周期T，摆角小于5改变支点13次图（2）要求测得的周期T的相对误差小于0.5 2测定重心G的位置将复摆水平放在支架的刀刃上图（3），利用杠杆原理寻找G点的位置，要求的误差在1mm以内3求出各值对应的h值h均取正值），作Th图线图（4）4将式（3）改写成为 （4）TGhhab图（4）复摆支架
3、刀刃图（3） 令，则上式又成为 （5）从测量可得出n组（x，y）值，用最小二乘法求出拟合直线y=A+Bx的和，再由A、B求出g和k值，并计算g的不确定度最后求出实验数据用分析天平称量复摆的质量（分析天平的分度值）m=2200.0g用米尺测量,用秒表测量振动周期T米尺的分度值，秒表的分度值复摆的上端：，实验组i123456789104.0245.9048.1948.2548.0047.9448.0548.1048.1548.2048.0047.977.4842.4447.4347.4147.2247.4047.4747.3947.3547.3747.3047.2810.9838.9446.624
4、6.5346.7546.7046.7246.6846.6246.5846.6046.6514.4035.5245.9646.1946.2546.1946.2046.1846.1546.1046.0046.0417.8832.0445.7245.6945.6545.6945.6045.5845.5945.5345.5545.5021.3628.5645.6745.7145.6545.7245.7245.6845.7145.6545.7145.7024.8025.1245.5945.7545.7245.7045.7045.6545.6045.6745.6345.6528.3021.6246.384
5、6.3446.3446.3546.4246.4246.4046.3046.3446.3431.7118.2148.1648.0048.0648.0248.0548.0748.0848.1048.1348.1035.1414.7850.1950.3050.4450.3550.3850.2050.3050.2450.2050.2338.6211.3055.2555.2255.1655.1855.2255.2855.2555.2455.1855.1942.097.8363.9063.8463.9463.8563.8763.9063.8763.9263.9463.9045.524.4082.5082.
6、7282.6082.5582.5882.6682.6782.7082.5182.71复摆的下端：实验组i123456789104.0345.8348.1948.0648.1048.1548.1148.0648.1948.0848.1348.187.5042.3647.4747.4747.4547.4247.4047.3947.4247.4747.4047.4010.9238.9446.7546.7946.7046.7246.7346.7146.7546.7946.7746.7514.3835.4846.3246.1946.2046.2946.2546.3246.222746.2846.2717
7、.8432.0245.8845.9145.9545.8345.8645.8845.9045.9445.9145.8721.3028.5645.7545.7245.7845.7745.6845.8045.7245.7045.7545.7824.7625.1046.0345.9645.9045.9645.9545.9345.9845.9745.969628.2021.6646.7246.6646.6646.6546.7046.7246.7546.6746.6746.7231.7018.1648.1548.2248.2248.2548.1348.1548.1748.1448.2048.2435.14
8、14.7250.7850.7250.8050.7150.7250.7750.7550.7750.7450.7238.6011.2655.4755.5055.4455.4055.4555.5255.5055.4755.4655.4242.107.7663.9464.0664.0963.9064.0063.9064.0164.0564.0763.9545.534.3383.6583.8583.6083.6583.6883.7283.7783.7483.7083.68数据处理由以上数据作与数据表格如下：上端实验组i1234567891011121345.9042.4438.9435.5232.042
9、8.5625.1221.6218.2114.7811.307.834.401.6021.5791.5551.5381.5201.5231.5301.5451.6021.6761.8402.1302.754下端实验组i1234567891011121345.8342.3638.9435.4832.0228.5625.1021.6618.1614.7211.267.764.331.6041.5811.5581.5421.5301.5251.5321.5561.6061.6911.8492.1332.790根据求出各s值对应的h值作Th曲线（如下图）作出的Th曲线符合实验原理中Th曲线根据实验原理：
10、令y=h2，x=hT2。用最小二乘法处理拟合直线y=A+Bx的直线上端12345672106.811801.1541516.3241261.671026.562815.6736631.0144117.7979105.813194.1578984.0205774.0252266.2457558.80341上端8910111213467.4244331.6041218.4484127.6961.308919.3651.6074846.7342241.5166738.2572835.5239333.37187下端12345672100.3891794.371516.3241258.831025.28
11、815.6736630.01117.9122105.881494.5215584.3630774.9556266.4198558.9103下端8910111213469.1556329.7856216.6784126.787660.217618.748952.4418146.8389342.0915638.495735.3055933.70515对复摆的上端798.849（） 65.221（）9434.871（）5790779.151（）233709.152（）用最小二乘法求A和B的估计值和24.771（）-816.740（）相关系数的计算0.999860A和B的标准偏差的计算0.125（）8
12、.821（）由，0.286m由，9.769（）0.180（）不确定度的计算0.125（）8.821（）不确定度的合成由，0.049（）由，0.030m由，0.038（）实验结果（重力加速度）（复摆对G轴的回转半径）（通过质心G平行o轴的轴的转动惯量）对复摆下端797.096（） 65.526（）9428.694（）5764859.911（）233125.092（）用最小二乘法求A和B的估计值和24.725（）-823.034（）相关系数的计算0.999928A和B的标准偏差的计算0.089（）6.305（）由，0.287m由，9.751（）0.181（）不确定度的计算0.089（）6.305（
13、）不确定度的合成由，0.035（）由，0.030m由，0.038（）实验结果（重力加速度）（复摆对G轴的回转半径）（通过质心G平行o轴的轴的转动惯量）不同的数据处理方法：解法一：根据（1）式，对于任意的，有 只要测出和，就可以算出，的标准偏差可以根据不确定度传递公式求出 （6）其中分别为的标准差现在的问题是，如何才能使测量的结果更准确一些为此，首先，要尽量消除各种可能产生的系统误差例如，测量仪器的系统误差要 尽可能小，要仔细调整实验装置，使杆状复摆在一竖直平面内摆动， 而且摆动的角度要很小另外还要尽量减小随机性误差这一项误差 的大小，主要由测量结果的标准差来表征由（6）式可知的大小，取决于两种
14、因素：一种是各直接测量量的标准差另一种是它们各自的不确定度传递系数 ，当仪器用具给定后，而且复摆上悬点的位置也选定之后，各项不确定度传递系数的大小也就确定了：和可以根据实际的测量进行估计（和一般不需要多次测量，只仔细地测一次就可以了）它们的大小也没有多少选择的余地现在来讨论怎样减小 当用电子停表测量摆动周期时，电子停表本身的误差可以忽略不计计时的误差主要由测量者两次按表（启动和止动）不准确而产生这基本上是一种随机性误差，它的大小可以用测量者测量时间的标准差来定量地描述的数值可以用实验的方法测定也可以根据测量者以往的经验进行估计测定的实验方法是：测量者对某一可重复的固定大小的时间间隔（例如单摆摆
15、动的两个周期）用停表进行连续的多次测量，得到一系列数值，即 测量的次数要足够大例如2030次然后利用贝塞尔公式计算 （7）其中 这个就近似是测量者用停表测量任意时间间隔的标准差，也就是他两次按表的标准差只与测量者按表的准确程度有关，而与测量时间的长短无关因为无论测量时间的长短如何，都要按两次表在（7）式中要注意分母是是测量者测量任意一次时间的标准差，而不是平均值的标准差这种测定的实验方法的特点在于：它根据与测时长短无关的性质，把一个短的标准时间间隔作为测量对象进行多次测量，从而可以快捷地得到；测量次数越大，效果越好知道后，对复摆个周期测量一次，则 只要充分大就可以足够小 减小的另一种常见的方法
16、是对复摆的多个周期进行多次测量，例如对进行次测量，得到 按照计算标准差的常用公式，有 于是 只要和的数值都比较大，也可以达到减小的目的这种方法通常在不知道的情况下使用解法二：现在我们来讨论，当的值都确定之后，如何选取，才能使（6）式中的取较小的值这就要分析各个不确定度传递系数 先来看第一个传递系数它可以改写成的形式，由此可见，它与的选取无关，基本上是一个常数 再来看第二个传递系数当 时，该系数为零表示某一特定的的值将代入（51）式，得到 （8）根据复摆理论，将复摆的悬点选定在位置，复摆的摆动周期将有极小值这一点可由（1）式中令而容易得到证明根据以上讨论，当时的传递系数将为零，这意味着，此时的测
17、量误差将不会对产生影响 最后看第三个传递系数其中变量是将（1）式两边同乘以，得到 （9） 当时，当时，在从的过程中单调变化，不存在极值 综合以上讨论，可以认为，欲使取较小值不能大于因为当时（52）式中的第二和第三项都呈上升趋势；但另一方面，不能很接近0，因为此时（6）式中的第三项数值虽然很小，但第二项的数值会急剧增加因此可以判定，在从之间，必有极小值存在至于的极小值的准确位置，由于数学推导相当复杂，这里不去赘述必要时，可由实验的方法去寻找即对不同的，分别测量周期，计算出，就能找到最小的对应的值（图（5）选取一个适当的后，按公式（1）和（6）就可以得到一个标准差较小的值 解法三：分别对个不同的测
18、量复摆摆动的周期，并按（l）和（6）式算出相应的及，如此得到 我们注意到，在个中各的大小是不相同的，称这些具有不同标准差的各个是不等精度的 现在的问题是如何综合这些不同的实验结果？ 根据测量误差理论，比较标准的方法是加权平均，使较小的具有较大的权重计算公式是 （10） （11）加权平均值就是我们的实验结果，它的标准差是 如果在中，各个的差别不大，可以把各个粗略地看成是等精度的，则可以使用较简单的处理方法，即 （12） （13）不难看出，当各相等时，（10）、（11）式就转化为（12、（13）式讨论 1实验中减小随机误差的途径 对于某一间接测量量，要减小其随机误差的一个必要条件，就是要它具有较小
19、的随机不确定度（通常以标准差表示）本实验本实验可以用三种方法求解，都具有典型性第一种方法只考虑减小各直接测量量的不确定度第二种方法在前者的基础上分析各项不确定度传递系数的影响，并进行综合考虑，选取合适的悬点，由数据表可见，在h=1721cm处，复摆的周期最短这两种方法适用于细致分析实验过程中每个细节对实验最终结果的 影响，是一种微观分析的方法第三种解法根据随机误差的基本特性（即适当改变实验条件，进行多次测量可以减小随机误差），改变悬点位置，进行多次测量、综合评估，这是一种全面研究问题的方法，或者称之为宏观综合的方法它的优点是可以进行多方面的比较，能够有效地发现系统误差，为更深入的研究提供实验依
20、据在物理实验中经常会遇到这样一种情况：对于间接测量结果，按照不确定度传递公式计算出来的标准差数值比较大如果能适当改变实验条件，进行多次测量，如同本实验中的第三种解法那样，则可以减小该间接测量结果的随机不确定度，获得满意的结果特别是在间接测量结果的随机不确定度数值虽然比较大，但在多次测量中它们的变化却很小的情况下，可以把各次测量结果粗略地看成是等精度的，这时就可以采用简化处理的方法，使用（12）、（13）那类的公式，达到有效地减小随机误差的目的 2不同解题方法的选择 上面列举的三种解法中，复杂的程度逐个增加本设计实验题目中只要求和它的标准差，并没有对的大小提出要求，所以选择第一种解法也是可以的如
21、果题目要求比较小的标准差，那就应该用第二种或第三种解法如果在第三种解法中用（12）、（13）那种简单的处理方法例应该有适当的说明；若是把这种简单的方法当成是标准的、通用的方法，那就不妥当了 3本题某些其他解法的评述 1）用公式求和，其中是复摆摆动周期最小时相应的值这种方法在理论上并没有错，但是在实践中由于测量时间有误差存在，很难测准的不确定度也很难给予恰当的估计在计算的时候，如果仅把用米尺测量某一长度的不确定度当成的不确定度的唯一因素，那就错了因为你测出的是不是复摆周期最小时所对应的值，这一点才是最主要的所以，这种方法不是一种好方法 2）用求和，其中是复摆摆动周期的最小值这一公式是的变形和前面
22、讲过的道理相类似，很难测准，它的不确定度也不能仅仅由两次按表的标准差来决定，而且在计算的公式中，以四次方的形式出现，这决定了在计算的公式中，的不确定度有相当大的传递系数所以，这种方法也不好 3）用求和，其中和是一对共轭点，即当等于和时，复摆的摆动周期相同由于“周期相同”这一实验条件很难比较准确地实现，在计算的公式中，也很难恰当地得到反映，所以和前两种解法相类似，这种方法也不是好方法上面三种方法，在原理上都没有错如果对结果的准确程度要求不高，这三种方法也是可行的但是有一点应该注意，在评价实验结果的可靠程度时，像“周期最短”或“周期相同”这些实验条件在实验中实现的程度如何，是一个重要因素，不能不加
23、考虑 4）在改变复摆悬点位置进行多次测量以后，在处理数据的时候把（1）式改写成的形式，使待求物理量被包含在参数或中，用最小二乘法求出或后，再计算出及其标准差这里共有四种改写的方式，即令分别为：例如，令为，则（1）式可改写为 ,这里，. 这里需要特别指出，使用最小二乘法要注意该方法适用的条件，其中重要的是：没有误差，只有有误差；而且y的各个测量值是等精度的，即它们具有相同的标准差当的误差较小，而且I和的测量值中各自的标准差变化很小的场合，也可以使用最小二乘法而前面四种改写方法中所定义的和，显然偏离上述条件甚多，所以需慎重使用实际计算表明，按上述四种改写的方程用最小二乘法分 按照直线拟合的思路用作
24、图法处理数据也有类似的问题，况且用作图法难于求标准差 还要指出的是，如果把待求物理量被包含在截距中，一般也不是好方法因为如果斜率差一点，截距就可能相差很多也就是说，这种方法的测量误差可能会相当大注意事项：1摆幅A须小于1，按R=0.3m（摆杆）+0.03m(摆针)= 330mm计2倍振幅2A 10mm；2摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触，不密切则调底脚螺钉，否则影响实验测量；3还须尽量作处于孔的正中央、且尽量作到一致；4周期T的测量建议以t=30T为宜，即T =。参考文献： 1普通物理实验1； 2大学物理实验(武汉理工大学出版社) 3大学物理实验（山东大学出版社）4大学物理实验(同济大学出版社)5大学物理实验教程(北京邮电大学出版社）6大学物理实验（第二版）（西南交通大学出版社）物理实验论文姓名：白忠亮 学号：200702051006