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1、2011 年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一选择题1已知 a b 2，(1 a )2(1 b )2 -4, 则 ab 的值为 ()ba(A) 1(B) -1(C) -1(D)1222. 已知 ABC 的两条高线的长分别为 5 和 20, 若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 ()(A) 5(B) 6(C) 7(D)83. 方程 x2 1 (4 23) ( x 2)的解的个数为 ()(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个4. 今有长度分别为 1，2， 9 的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有
2、()(A) 5组(B) 7组(C) 9组(D) 11组5.如图，菱形ABCD 中， AB 3， DF 1， DAB 60， EFG 15， FG BC，则AE ()(A) 1 2(B)6(C) 2 1(D) 1336. 已知 11 1,11 1,111，则23 4 的值为 ()xyz2yx z3zx y4xy z(A) 1 (B)3(C) 2(D)5D22CFGAEB二填空题1.在 ABC 中，已知 B 2 A，BC2， AB 2 23，则 A2. 二次函数 y x2 bx c 的图象的顶点为 D，与 x 轴正方向从左至右依次交于 A，B 两点，与 y 轴正方向交于 C 点，若 ABD 和 O
3、BC 均为等腰直角三角形（ O 为坐标原点） ，则b 2c3.能使 2n 256 是完全平方数的正整数n 的值为4. 如图，已知 AB 是 O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E，过点 A 作圆的切线与CD 的延长3， D 为 EF 的中点，则 AB线交于点 F ，如果 DE CE， AC 845CAEOBDF第二试1. 已知三个不同的实数 a, b, c 满足 ab c 3，方程 x2ax 1 0 和 x2 bx c 0 有一个相同的实根，方程x2 x a 0 和 x2 cx b0 也有一个相同的实根求a, b, c 的值2. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 BAD 60， ABC
4、90， BCD 120，对角线AC, BD 交于点 S，且 DS 2SB， P 为 AC 的中点求证：（ 1） PBD 30；（ 2）AD DC DCSPAB3.已知 m, n, p 为正整数， m n设 A( m,0 )， B(n,0 )， C(0, p)， O 为坐标原点若ACB 90，且 OA2 OB2 OC2 3(OA OB OC)（ 1）证明： mn p 3；（ 2）求图象经过 A, B, C 三点的二次函数的解析式参考答案一选择题1.B2.B3.C4.C5.D6.C二填空题1. 15 2. 23.114. 24第二试1.解 依次将题设中所给的四个方程编号为，设 x1 是方程和方程的
5、一个相同的实根，则x12ax110,两式相减，x12bx1c0,可解得 x1c1 ab设 x2 是方程和方程的一个相同的实根，则x22x2a0, 两式相减，x22cx2b0,可解得 x2abc。1所以 x1 x2 1又方程的两根之积等于1，于是 x2 也是方程的根，则x22ax2 1 0 。又 x22x2 a 0 ，两式相减，得(a 1)x2a1若 a1 ，则方程无实根，所以a1 ，故 x1 2于是a2, b c1又 abc 3 ，解得b3, c22.证明 （ 1）由已知得ADC90，从而 A, B, C, D 四点共圆， AC 为直径， P 为该圆的圆心作 PMBD 于点 M ，知 M 为
6、BD 的中点，所以BPM 1BPD A60 ，从而2PBM30（2）作 SNBP 于点 N ，则 SN1SB 2DSSB DMMB1又BD ，2,2MSDSDMSB31SN ，SBSB222 Rt PMS Rt PNS ，MPSNPS30 ，又 PAPB ，所以PAB1，故 DAC45DCA ，所以 AD DC NPS 152DMCSPNAB3.解（ 1）因为ACB90， OCAB ，所以 OA OBOC 2，即 mnp 2由 OA2OB 2OC 23(OAOBOC ) ，得 m2n2p 23(mnp) 又m2n2p2(mn) 22(mnnpmp)(mnp)22( p2np mp)p(m n
7、p) 22 p(mnp)( mnp)(mnp) ，从而有 mnp3，即 mnp3（2）由 mnp2， mnp3知 m, n 是关于 x 的一元二次方程x2( p3) xp 20的两个不相等的正整数根，从而( p3) 24 p20 ，解得1p3 。又 p 为正整数，故p1或 p 2 当 p 1时，方程为 x2 4x 1 0 ，没有整数解当 p 2 时，方程为 x 2 5x 4 0 ，两根为 m 1, n 4 综合知： m1, n4, p 2 设图象经过 A, B, C 三点的二次函数的解析式为yk( x1)( x4)，将点 C( 0,2) 的坐标代入得 2 k1 (4) ，解得 k12所以，图象经过 A, B, C 三点的二次函数的解析式为y1(x1)( x4)1x23x 2 222