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1、湖北省 2016 届八校第一次联考数学（理科）试题湖北省 2016 届八校第一次联考数学（理科）试题鄂南高中华师一附中黄石二中荆州中学湖北省襄阳四中襄阳五中孝感高中黄冈中学八校2016 届高三第一次联考数学试题（理科）命题学校：孝感高中命题人：周浩 姚继元 王国涛审题人：袁小幼谭 志考试时间： 2015 年 12 月 7 日下午 15:00 17:00试卷满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：1本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上2回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
2、黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A x x22x30, B x log 2 ( x1) 2 ，则 .R A I BA 1,3B 1,3C 3,5D1,52y20 ，则xy0”的否命题为命题 “若 x2A 若 x2y20 ，则 x0 且 y 0B 若 x2y20 ，则 x0 或 y 0C若 x2y20 ，则 x0
3、 且 y 0D 若 x2y20 ，则 x0 或 y 03欧拉公式 eixcos xi sin x （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥 ”，根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于A 第一象限B第二象限C第三象限D 第四象限4函数 f (x)2x2, x1,则 f f5log 2 (x1),x21,1B1C 51A D2S2016S201525等差数列 an前 n 项和为 Sn1，则数列an的公差为，且20152016A 1B 2C 2015D 201
4、66若 a ln2, b511sin xdx ，则 a, b,c 的大小关系2 ,c40A a b cB b a cC c b aD b c a7已知 sincos1 ，则cos26332355C7D7A B9918188已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于A 12 3B 16 3C 20 3D 32 3第 8题图9 已知函数 fxsin2x1 ,0 的周期为，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位a 0，所得图2象关于原点对称，则实数a 的最小值为A B 3CD42410如图所示，在正六边形ABCDEF 中，点 P 是 CDE 内 (包括边界 )的一个
5、动点，uuuruuuruuur,R ，则设 APAFAB的取值范围是A 3 , 4B 3,4C3 , 5D 3 , 2第 10题图222411若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为A 3B 2 2C 2 3D 3 312关于函数 f x2ln x ，下列说法错误的是xA x2 是 fx的极小值点B 函数 yfxx 有且只有1 个零点C存在正实数 k ，使得 fxkx 恒成立D对任意两个正实数x1 , x2 ，且x2x1 ，若 fx1f x2，则 x1x2 4第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共4 个小题，每小
6、题5 分，共 20 分 13已知平面直角坐标系中，b3,4 ， a b3 ，则向量 a 在向量 b 的方向上的投影是 _14x1,0x2， gx fxax, x2,2 为偶函数，则实数 a_若函数 f xx01, 2x2 y02x y的最大值为 _15设实数 x， y 满足约束条件则yx，z216如图所示，已知ABC 中，C90o ， AC6, BC8， D 为边 AC 上的一点，K 为 BD 上的一点，且ABCKADAKD ，则 DC _第 16 题图八校 2016 届高三第一次联考理数试题第 1 页 共 4 页八校 2016 届高三第一次联考理数试题第 2 页 共 4 页三、解答题：本大题
7、共6 小题，共70 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 (本小题满分12 分 )在等比数列an 中， a33 ,S3922( )求数列an的通项公式；( )设 bn log 26，且 bncn1，求证： c1 c2 c3L cn1为递增数列，若a2 n1bnbn1418 (本小题满分12 分 )如图，ABC 中，三个内角B 、 A 、C 成等差数列，且AC10, BC15 ( )求ABC 的面积；( )已知平面直角坐标系 xOy ，点 D 10,0,若函数 f (x) M sin( x)( M0,0,)2的图象经过、 、三点，且A、D为f ( x)的图象与x轴相邻的两个交点，求f
8、( x)的解析式A C D第 1 8 题图19 (本小题满分12 分 )如图，已知长方形 ABCD 中， AB2 2 ， AD2 ， M 为 DC 的中点 将 ADM沿 AM 折起，使得平面 ADM 平面 ABCM ( )求证： AD BM ；( )若点 E 是线段 DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角 E AMD 的余弦值为5 5第 19 题图20 (本小题满分12 分)小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1 所示，网球场前半区、后半区总长为23.77 米，球网的中间部分高度为0.914 米，发射器固定安装在后半区离球网底部 8 米处中轴线上，发射方向与
9、球网底部所在直线垂直为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24 米和 1 米计算，发射器和网球大小均忽略不计如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 米已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程 y1kx1(1k2 ) x2 (k0)k 与发射方向有关发射器的射程是指网球落地点的横坐标280表示的曲线上，其中( )求发射器的最大射程；( )请计算 k 在什么范围内， 发射器能将球发过网 （即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于 1 米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中
10、轴线的正上空选择一个离地面2.55 米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a 最大为多少？并请说明理由图 1第 20题图图 221 (本小题满分12 分) 已知函数 f ( x) ex , xR ( )若直线 ykx 与 f ( x) 的反函数的图象相切，求实数k 的值；( )设 a,bR ，且 a b, Afa b , Bfaf b ,Cf afb, 试比较 A, B,C 三者的大22ab小，并说明理由请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22 (本小题满分10 分)选修 4-1几何证明选讲如图
11、， BC 是圆 O 的直径， 点 F 在弧 BC 上，点 A 为弧 BF 的中点， 作 ADBC 于点 D ， BF 与 AD 交于点 E ， BF 与 AC 交于点 G ( )证明： AE BE ；( )若 AG 9, GC7 ，求圆 O 的半径23 (本小题满分10 分)选修 4-4 极坐标与参数方程第 22 题图已知曲线 C 的极坐标方程为 2 sincos 10,将曲线 C1xcos:（为参数）经过伸缩变换ysinx3xy后得到曲线 C2 2y( )求曲线 C2 的参数方程；( ) 若点 M 在曲线 C2 上运动，试求出M 到曲线 C 的距离的最小值24 (本小题满分10 分)选修 4
12、-5 不等式证明选讲已知函数f ( x)x10x20 ，且满足f ( x)10 a10 （ aR ）的解集不是空集( )求实数 a 的取值集合A ；( )若 bA, ab, 求证： aa bbab ba 八校 2016 届高三第一次联考理数试题第 3 页 共 4 页八校 2016 届高三第一次联考理数试题第 4 页 共 4 页湖北省 2016 届八校第一次联考数学（理科）试题鄂南高中黄冈中学黄石二中华师一附中八校湖北省 襄阳四中襄阳五中孝感高中荆 州 中 学2016 届高三第一次联考数学试题（理科）参考答案一、选择题ADBAB DCCDB AC二、填空题31107523三、解答题17. （1）
13、 q1时， an3 ； 2 分2q1 时， an6 (1)n 1 4 分2（ 2）由题意知： an6 (1)n 1 6 分2 a2 n 1 6 ( 1) n 4 bn2n 8 分 cn12)111)1 (11) 10 分2n (2n4n (n4nn1 c1c2 c3Lcn1 (11)1 12 分4n1418. （1）在 ABC 中， B 60o 1 分由余弦定理可知：a2b2c22bc cos60 o 2 分 c210c125 0cAB55 6 4 分又 AO10cos60o5BO56湖北省 2016 届八校第一次联考数学（理科）试题SVABC1 (5 5 6) 5 325 (3 23) .
14、6 分22(2)T=2（ 10+5）=30,15 8 分 f (5) Msin( 5) 015sin()0 ，3k , k Z3Q，。 10 分23Q f (0)Msin53 ，M 103f (x)10sin(x) 12 分15 319. （1）证明：长方形 ABCD中， AB=2 2 ，AD= 2 ， M为 DC的中点， AM=BM=2， BMAM.平面 ADM平面 ABCM，平面 ADM平面 ABCM=AM，BM? 平面 ABCMBM平面 ADMAD? 平面 ADMADBM； 6 分（2）建立如图所示的直角坐标系，设uuuruuurDEDB ，r(0,1,0) ，则平面 AMD的一个法向量
15、 nuuuruuuuruuur(1 , 2 ,1),MEMDDBuuuururAM( 2,0,0) ，设平面 AME的一个法向量为 m ( x, y, z),2x0取 y=1，得 x0, y1,z22y (1) z 0,1ur2所以 m(0,1,) ， 9 分1ur rur1 ，因为 cosurmnr5 ，求得m, n| m | n |52所以 E 为 BD的中点 12 分20 ( )由 1 kx1 (1 k 2 ) x20 得： x40k或 x0 ，2 分2801 k2八校 2016 届高三第一次联考理数试题第 3 页 共 4 页八校 2016 届高三第一次联考理数试题第 2 页 共 4 页
16、由 x404020 ，当且仅当 k1时取等号eaebeaebabeaebea b112,令nx12则k122a b2eaebea b1ea b1x,k2ex1因此，最大射程为20 米； 5 分12exex12n x0, n x 在0,上 单 增 ， 故 n xn 00, 取 x ab, 则( ) 网球发过球网，满足 x8 时 y12ex22 ex121所以4k4 (1k 2 )1，即 4k 220k90 ，ab120,BC .5ea1192b因此k 8 分综合上述知，ACB. 12 分22?22证明： （ 1）连接k 的方程1 ka1 (1k 2 )a22.55 在1 , 9上有实数解AB ，
17、因为点 A 为 BF 的中点，依题意：关于28022?ABFACB 2 分故 BAAF ，即 a2 k240aka22040 9 分又因为ADBC ， BC 是 e O 的直径， 4 分a2k 240aka2204( a0)BADACBABFBAD1600a24a2a22040AEBE 5 分得 a14 11 分（ 2）由 ABG :ACB 知 AB 2AG AC916，AB12 8 分10此时 k7，球过网了，直角ABC 中由勾股定理知 BC20 9 分所以击球点的横坐标a最大为 14 12 分圆的半径为 10 10分22. 解： (1) fx的反函数为 yln x, 2 分23（ 1）曲线
18、 C1 的普通方程是：x2y21 4 分941ln x0 ,设切点为x0 ,ln x0,则切线斜率为 k（ 2）曲线 C 的普通方程是：x2 y10 0 5 分x0x0故 x0e, k1 . 4 分设点 M (3cos,2sin) ，由点到直线的距离公式得：eab23cos4sin1013 ,sin4 9 分d5cos()10e2e2其中 cosa bab5555（ 2）不妨设 a b,Q ABe 2ee0,AB;22aba bb a0 时， dmin5 ，此时 M ( 9 , 8) 10 分a beaeba babe 2a b e 2e 25 5Q ACe 2a b e 2ee,ababab
19、24（ 1）要 x10x2010a10 的解集不是空集，2x exe x ( x0), 则 m x 2exe x0, 所 以 m x 在 0,令 m x上 单 减 ， 故 2 分a bba则 ( x10x20) min10a10ab , 则 am xm 00, 取 xbe 2e 20,AC; 8 分1010a10, a 0, A0, 5 分2八校 2016 届高三第一次联考理数试题第 3 页 共 4 页八校 2016 届高三第一次联考理数试题第 4 页 共 4 页湖北省 2016 届八校第一次联考数学（理科）试题湖北省 2016 届八校第一次联考数学（理科）试题（2）不妨设 ab ，则aabbaa b 7 分ab babQ a b0,aa ba1,a b 0,1bbaa bbabba 10 分八校 2016 届高三第一次联考理数试题第 5 页 共 4 页八校 2016 届高三第一次联考理数试题第 2 页 共 4 页