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1、2.6 矩阵的秩,一、矩阵的秩,1、定义：在 矩阵中，任取k行k列 ， 位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们 在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式。,二阶子式,二阶子式,一阶子式,一阶子式,注： 矩阵A的k阶 子式共有 个。,A的三阶子式,均为0,A=0(四阶),2、定义：设A为 矩阵，如果存在A的r阶子式不为 零，而任何r+1阶子式(如果存在的话)皆为零， 则称数r为矩阵A的秩，记为r(A)(或R(A)，并 规定零矩阵的秩等于零r(O)=0 。,故上面矩阵r(A),例：求矩阵 的秩。,行阶梯形矩阵,非零行的数目是 唯一的,如何判断子式？,一阶开始？ 四阶开始？
2、,结论？,结论存在普遍性？,二、矩阵秩的求法,-当矩阵的行数与列数较高时，按定义求秩是非常麻烦的。由于 行阶梯形矩阵的秩很容易判断，而任意矩阵都可以经过有限次 初等行变换化为行阶梯形矩阵，因而借助初等变换法求矩阵的 秩。,1、定理：若 ，则,证明：,利用初等行变换求矩阵的秩的方法： 用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中 的非零行的行数就是该矩阵的秩。,例1：设 ，求矩阵A的秩， 并求A的一个最高阶非零子式。,2、矩阵的秩的性质：,(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0，则,(2)若A中所有t阶子式全为0，则,(3)若A为 矩阵，则,(4),当 时，称矩阵A为满秩矩阵，否则称为 降秩矩阵。,上面的矩阵A与B均为降秩矩阵。,例2：设 ，已知r(B)=2，求 与 的值。,例3：设A为n阶非奇异矩阵，B为 矩阵。试证：A与 B之积的秩等于B的秩，即r(AB)=r(B),结论：若一个n阶矩阵A是满秩的，则 ，即A为非奇异的。 反之亦然。,A为非奇异,A可逆,存在k个初等矩阵G1,G2,Gk，有,即对B进行初等行变换,矩阵的秩的性质：,(5),(6),(7),(8)若 ，则,例3：设A为n阶矩阵，证明,？,？,