《2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：48立体几何中的翻折、探究性、最值问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：48立体几何中的翻折、探究性、最值问题.docx（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、立体几何中的翻折、探究性、最值问题建议用时： 45 分钟一、选择题1(2019 乐山模拟 )已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1，2， a，且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为()2B.3A. 1212C.2D.366A 如图所示，三棱锥 A-BCD 中，ADa，BC2，ABBDCD ，则该三棱锥为满足题意的三棱锥， 将BCDAC1看作底面，则当平面 ABC平面 BCD 时，该三棱锥的体积有2最大值，此时三棱锥的高 h 2 ，BCD 是等腰直角三角形，则BCD11122S 2，综上可得，三棱锥的体积的最大值为322 12.故选 A.2.如图，矩形 A
2、BCD 中，AB 2AD，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻转成 A1DE(A1?平面 ABCD)，若 M，O分别为线段 A1C，DE 的中点，则在 ADE 翻转过程中，下列说法错误的是()A 与平面 A1 DE 垂直的直线必与直线MB 垂直B异面直线 BM 与 A1E 所成角是定值C一定存在某个位置，使DEMOD三棱锥 A1 -ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值C 取 DC 的中点 N，连接 MN，NB，则 MNA1D，NBDE，平面 MNB平面 A1DE，MB平面 A1DE，故 A 正确；取 A1D 的中点 F，连接 MF， EF，则四边形 EFMB 为平行四边形，
3、则 A1EF 为异面直线 BM 与 A1 E 所成角，故 B 正确；点 A 关于直线 DE 的对称点为 N，则 DE平面 AA1N，即过 O 与 DE 垂直的直线在平面 AA1N 上，故 C 错误；2三棱锥 A1-ADE 外接球半径为2 AD，故 D 正确 二、填空题3 (2019 门一模荆 )如图，在直角梯形ABCD 中，AB1BC，ADBC，ABBC2AD 1，点 E 是线段 CD 上异于点C， D 的动点， EFAD 于点 F，将 DEF 沿 EF 折起到PEF 的位置，并使 PFAF，则五棱锥 P-ABCEF 的体积的取值范围为 _10， 3 PFAF，PFEF，AFEFF，PF平面
4、ABCD.设 PF x，则 0x1，且 EFDF x.五边形 ABCEF 的面积为SS-S1()1 222梯形 ABCD DEF 1 21 x1(3 x2).2五棱锥 P-ABCEF 的体积111V32(3x2)x6(3xx3)，1113 2 2 设 f(x) 6(3x x )，则 f (x)6(33x )2(1x )，f(x)在(0,1)上单调递增，1又 f(0)0，f(1) 3.1五棱锥 P-ABCEF 的体积的范围是0， 3 .4(2019 柳州模拟 )已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB3 cm，BC2cm，AA12 cm，E 为 CC1 的中点，则一质点自点A 出发，沿
5、着长方体的表面到达点E 的最短路线的长为 _cm.3 2 将长方体沿 C1C, C1B1, BC 剪开，使面 ABB1A1和面BCC1B1 在同一个平面内，连接 AE，如图在 RtACE 中， AC5，CE1，由勾股定理，得AE2AC2CE2 ，则26AE 26.将长方体沿 C1D1, DD 1, C1C 剪开，使面 ABCD 和面 CDD 1C1在同一个平面内，连接AE，如图，在 RtABE 中，AB3，BE 3, 由勾股定理， 得 AE2AB2BE23232 3 2.将长方体沿 B1C1, CC1, BB1 剪开，使面 ABCD 和面 BCC1B1 在同一个平面内，连接AE，在 RtADE
6、 中， DE 4， AD 2，由勾股定理，得AE2 AD2DE220，则 AE 2 5.综上可知，故沿着长方体的表面到达点E 的最短路线的长为3 2cm.三、解答题25(2019 湖南六校联考 )如图，梯形 EFBC 中， ECFB，EF BF， BF3EC4，EF2，A 是 BF 的中点， ADEC，D 在 EC 上，将四边形 AFED 沿 AD 折起，使得平面 AFED平面 ABCD，点 M 是线段 EC 上异于 E，C 的任意一点(1)当点M 是EC 的中点时，求证：BM平面AFED；(2)当平面BDM与平面ABF所成的锐二面角的正弦值为306 时，求三棱锥E-BDM的体积解 (1)法一
7、： (几何法 )取 ED 的中点 N，连接 MN，AN，点M 是 EC 的中点，MNDC，1且 MN2DC，1而 AB DC，且 AB 2DC，MN 綊 AB，即四边形 ABMN 是平行四边形，BMAN，又 BM平面 AFED，AN平面 AFED ，BM平面 AFED.法二： (坐标法 )AD CD， AD ED，平面ABCD，平面AFED平面ABCD平面 AFEDAD，DA，DC，DE 两两垂直以 DA， DC ，DE 所在直线分别为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)， B(2,2,0)， C(0,4,0)，E(0,0,2)，M(0,2,1)，
8、BM(2,0,1)，又平面 AFED 的一个法向量 DC(0,4,0)， ，BMDC ， DC0BM又 BM 平面 AFED，BM平面 AFED .t(2)依题意设点 M 0，t，2 2 (0t4)，设平面 BDM 的法向量 n1 (x，y，z)，t则DBn12x 2y0，DM n1ty 22 z0，令 y 1，则 n 1， 1， 2t4 t ，1取平面 ABF 的一个法向量 n2(1,0,0)，12|n1n2|16|cosn，n |n1|n2|4t26 ，224t解得 t 2.1M(0,2,1)为 EC 的中点， SDEM 2SCDE 2，又点 B 到平面 DEM 的距离 h2，V1h4.E
9、-BDM VB-DEM SDEM 336.如图所示，在梯形ABCD 中， AB CD，BCD120，四边形 ACFE 为矩形，且 CF平面 ABCD，ADCDBCCF.(1)求证： EF平面 BCF ；(2)点 M 在线段 EF 上运动，当点 M 在什么位置时，平面 MAB与平面 FCB 所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值解 (1)证明：设 AD CD BC 1，ABCD，BCD 120 ，AB2，AC2AB2BC22ABBCcos 60 3，AB2AC2BC2，则 BCAC.CF平面 ABCD， AC平面 ABCD，ACCF，而 CF BC C， CF， BC平面 BCF，AC平面
10、BCF.EFAC，EF平面 BCF.(2)以 C 为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF 为 x轴、 y轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 FM(0 3)，则 C(0,0,0)，A( 3， 0,0)，B(0,1,0)， M(，0,1)，AB(3， 1,0)，BM(， 1,1)设 n(x，y，z)为平面 MAB 的法向量，0， 3x y 0，nAB取 x1，则 n(1， 3， 3)由得xyz0，nBM ，0易知 m(1,0,0)是平面 FCB 的一个法向量，cosn，m nm11.|n|m|1 232 433703，当 0 时， cosn，m取得最小值7 ，当点 M 与点 F 重合时，
11、平面 MAB 与平面 FCB 所成的锐二面角最大，此时二面7角的余弦值为7 .1(2019 河南郑州三测 )如图甲， ABC 中， AB BC 2， ABC 90，E，F 分别为边 AB，AC 的中点，以 EF 为折痕把 AEF 折起，使点 A 到达点 P 的位置 (如图乙 )，且 PBBE.甲乙(1)证明： EF平面 PBE；(2)设 N 为线段 PF 上的动点 (包含端点 )，求直线 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值的最大值解 (1)因为 E，F 分别为边 AB， AC 的中点，所以 EFBC.因为ABC90 ，所以 EFBE，EFPE，又 BE PE E，所以 EF平面 PBE.(2
12、)取 BE 的中点 O，连接 PO，因为 PB BE PE，所以 POBE.由 (1)知 EF平面 PBE，EF 平面 BCFE，所以平面 PBE平面 BCFE.又 PO 平面 PBE，平面 PBE平面 BCFE BE，所以 PO平面 BCFE.过点 O 作 OMBC 交 CF 于点 M，分别以 OB，OM，OP所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 B1，0，0 ，P， ，3，C1，2，0 ，200221， 1， 0 ， 1313，FPC， ，PF ， ，2222212由 N 为线段 PF 上一动点，得 PNPF(01)，313则可得N 2， 21 ， BN
13、2，2 1 .设平面 PCF 的法向量为 m (x，y， z)，13PCm0，2x2y2 z0，取 y1，则 x 1，z3，所以 m则即13PFm 0，2xy 2 z 0，( 1,1，3)为平面 PCF 的一个法向量设直线BN 与平面 PCF 所成的角为 ，22|BNm|则 sin |cos BN ， m |2127|BN| |m|5 2152 4 82470135(当且仅当 时取等号 )，5748470所以直线 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值的最大值为35 .2.在直角三角形 ABC 中， C90，AC 4，BC 2，E 是 AC ，如图所的中点， F 是线段 AB 上一个动点，且 A
14、FAB(01)示，沿 BE 将 CEB 翻折至 DEB 的位置，使得平面 DEB平面ABE.1(1)当 3时，证明： BD平面 DEF .(2)是否存在 ，使得 DF 与平面 ADE 所成角的正弦值为2？若存在，求出 的值；3若不存在，请说明理由解 (1)证明：在ABC 中，C 90 ，即 ACBC，则 BD1DE.取 BF 的中点 N，连接 CN 交 BE 于 M，当 3时，F 是AN 的中点，而 E 是 AC 的中点，所以 EF 是ANC 的中位线，所以 EFCN，在BEF 中， N 是 BF 的中点，所以 M 是 BE 的中点，在 RtBCE 中， ECBC2，所以 CMBE，则 EFB
15、E，又平面 DEB平面 ABE，平面 DBE 平面 ABEBE，所以 EF平面 DBE，因为 BD 平面 DBE，所以 EF BD.而 EF DE E，所以 BD平面 DEF.(2)连接 DM .以 C 为原点， CA 所在的直线为 x 轴， CB 所在的直线为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)， A(4,0,0)，B(0,2,0)， E(2,0,0)，由 (1)知 M 是 BE的中点， DM BE，又平面 DEB平面 ABE，所以 DM 平面 ABE，则 D(1,1，2)假设存在满足题意的，则由 AF AB，可得 F(4 4， 2，0)，2)，设平面 ADE则DF (
16、34，21，2)， AE(2,0,0)， AD (3，1，的一个法向量为n(x， y，z)， ，nAE ，2x00令 y2，可得 x 0， z 1，即 n则即3xy2z0，nAD 0，(0，2， 1)|DF n|设 DF 与平面 ADE 所成的角为 ，则 sin |DF| |n| 2 21 2|2，32222334 2 1 11解得 2或 3(舍去 )综上可知，存在2，使得 DF 与平面 ADE 所成角的正弦2值为 3 .(2019 长沙一模 )已知三棱锥 P-ABC(如图 1)的平面展开图 (如图 2)中，四边形 ABCD 为边长等于 2的正方形， ABE 和 BCF 均为正三角形，在三棱锥
17、 P-ABC 中；图1图2(1)证明：平面 PAC平面 ABC；(2)若点 M 在棱 PA 上运动，当直线BM 与平面 PAC 所成的角最大时，求二面角P-BC-M 的余弦值解 (1)证明：三棱锥 P-ABC(如图 1)的平面展开图 (如图 2)中，四边形 ABCD 为边长等于2的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，PA PB PC BC AB2，APCABC90 ，APBBPC60 ，取 AC 中点 O，连接 PO，BO，则 POAC，BOAC，且 POAOCOBO1，PO2 BO2PB2，POBO，平面 PAC平面 ABC.(2)由(1)知， BOPO，BOAC，POACO，BO平面
18、PAC，BO1BMO 是直线 BM 与平面 PAC 所成角，且 tanBMOOM OM，当 OM 最短时，即 M 是 PA 中点时，BMO 最大，由 PO平面 ABC， OB AC，得 POOB，POOC，以 OC， OB，OP 所成直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，11则 O(0,0,0)，C(1,0,0)， B(0,1,0)， A(1,0,0)， P(0,0,1)，M 2，0，2 ，31BC(1， 1,0)， PC(1,0， 1)，MC2，0，2，设平面 MBC 的法向量 m(x， y， z)，mBCx y 0，则 31取 x1，得 m(1,1,3)，mMC2x2z0，设平面 PBC 的法向量 n(x，y，z)， ，nBC 则x y0取 x1，得 n(1,1,1)，nPC xz0，设二面角 P-BC-M 的平面角为 ，则 cos |mn|55 333333.|m| |n|二面角 P-BC-M 的余弦值为53333 .图 1图 2