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1、试卷类型： A2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共 4 页， 21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（ A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动
2、，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：柱体的体积公式V=Sh其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高$中系数计算公式线性回归方程 ybxa其中 x, y 表示样本均值。N是正整数，则 anbnab(an 1an 2b abn 2bn 1 ）一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数 z
3、 满足 1i z2 ，其中 i 为虚数单位，则 z =1A 1i B.1 iC.2 2i 22i2已知集合 Ax, y x, y 为实数，且 x2y21，Bx, y x, y 为实数，且 yx ，则 AB 的元素个数为 0 1 2 33. 若向量，满足且，则 c ? (a 2b) 4 3 2 04. 设函数 f x 和 g x 分别是上的偶函数和奇函数， 则下列结论恒成立的是 fxg x 是偶函数 fxg x是奇函数 fxg x 是偶函数 fxg x是奇函数0x25. 在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组y2给定。若 M ( x, y)x2 y为 D 上的动点，点 A 的坐标为
4、(2,1) ，则 zuuuuruuurOM gON 的最大值为A 4 2B 3 2C 4D36. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A 1B 3C 2D 325347. 如图 13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.63B.9 3C.123D.18 328. 设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果a,bS, 有 abS ，则称 S 关于数的乘法是封闭的 .若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集，TUZ, 且a,b, cT , 有
5、abcT ;x, y, zV , 有 xyzV ，则下列结论恒成立的是A. T ,V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. T ,V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. T ,V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. T ,V 中每一个关于乘法都是封闭的16.填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。(一）必做题（ 9-13 题）9.不等式 x1 x 30 的解集是.x x 2710.的展开式中， x4 的系数是（用数字作答）x11.等差数列an 前9 项的和等于前4 项的和 . 若 a11,ak a40 ，则k=_.12. 函数 f (x) x 3x2 1 在 x=
6、_处取得极小值。13. 某数学老师身高 176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173cm、170cm和 182cm . 因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 _cm.（二）选做题（ 14 - 15题，考生只能从中选做一题）14. （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 已 知 两 面 线 参 数 方 程 分 别 为x5 cos (0x5 t 2) 和4 (t R) ，它们的交点坐标为 _.ysinyt15. （几何证明选讲选做题）如图 4，过圆 O 外一点 p 分别作圆的切线和割线交圆于 A , B ， 且 PB =7， C 是圆上一点使
7、得 BC =5，3 BAC = APB ,则 AB =。三解答题。本大题共 6 小题，满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。（ 1）（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)2sin( 1 x), xR.求 f ( 536(1) 的值；4(2)设 ,0, f (3a)10 , f (32 )6 ,求 cos() 的值 .2213517. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克） . 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号12345x16917816617518
8、0y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98 件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素 x,y 满足 x175，且 y75 时, 该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5 件产品中，随机抽取2 件，求抽取的2 件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望） 。18.( 本小题满分 13 分 )如图 5. 在椎体 P-ABCD中， ABCD是边长为 1 的棱形，且 DAB=60 ， PAPD2 ,PB=2,E,F 分别是 BC,PC的中点 .4(1)证明： AD平面 DEF;(2) 求二面角 P-AD-B的余弦值 .19.( 本小题
9、满分14 分 )设圆 C与两圆 ( x5) 2y24,( x 5) 2y24 中的一个内切，另一个外切。（ 1）求圆 C的圆心轨迹L 的方程 ;（ 2）已知点 M 354 5), F (5,0)，且P为L上动点，求MPFP的最大值(5,5及此时点 P 的坐标 .20. （本小题共 14 分）设 b0, 数列an满足1 =b，annban 1(n 2)aan 12n 2.（ 1）求数列an 的通项公式；（ 2）证明：对于一切正整数n， anbn 11.2n 121. （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L: y1 x2 实数 p， q 满足4.p24q0 ， x1，x2
10、 是方程 x2pxq0 的两根，记( p, q)max x1 , x2。（1）过点 A( p0 , 1 p02 )( p00) 作 L 的切线教 y 轴于点 B. 证明：对线段 AB4上任一点 Q(p，q) 有( p, q)p0 ;2（2）设 M(a，b) 是定点，其中 a， b 满足 a2-4b0,a 0. 过 M(a，b) 作 L 的两条切线 l1 , l 2 ，切点分别为 E( p1, 1 p12 ), E ( p2 , 1 p2 2 ) ， l1, l2 与 y 轴分别交与44F,F。 线 段EF 上 异 于 两 端 点 的 点 集 记 为X. 证 明 ： M(a,b)5XP1 P2p
11、1(a,b)2 ;（ 3）设 D= (x,y)|yx-1,y 1 (x+1)2- 5. 当点 (p,q) 取遍 D时，求 ( p, q) 的44最小值 （记为min ）和最大值（记为max ）.2011 年广东高考理科数学参考答案一、选择题题 号答 案二、填空题12345678BCDACDBA .1,) ；10.84；11.10；12.2；13.185；14.(1, 25 ) ；15.35 ；5三、解答题5)2sin(5)2sin2 ;16解： (1) f (12446(2) f (3)2sin10sin5，又0, ，12，13cos213213f (32 )2sin()2cos6cos3，2
12、55又0, ，sin4，52cos()cos cossinsin16.6517解：（1）乙厂生产的产品总数为1435 ；598（ 2）样品中优等品的频率为2 ，乙厂生产的优等品的数量为35214 ；55C2i C32 i（ 3）0, 1, 2 ，P(i)(i0, 1, 2) ，的分布列为C52012P331105106均值 E( )3214110.P5518.解： (1)取 AD 的中点 G，又 PA=PD，PGAD ，F由题意知 ABC是等边三角形，BGAD ，又 PG, BG是平面 PGB的两条相交直线，AD平面 PGB ，DCQ EF / /PB, DE / / GB ，AG BE平面
13、DEF / 平面 PGB ，AD平面 DEF(2) 由（ 1）知PGB 为二面角 PADB 的平面角，在 RtPGA 中， PG 22( 1 )27；在 Rt BGA 中， BG 212( 1 )232；2424在 PGB 中， cosPGBPG 2BG 2PB 221.2PGBG719解：（1 ）两圆半径都为2，设圆 C的半径为 R，两圆心为 F1 (5, 0)、 F2 (5, 0) ，由题意得 R| CF1 |2|CF2 |2 或 R| CF2 |2| CF1 |2 ，|CF1 | |CF2 | 4 2 5 | F1 F2 | ，可知圆心 C 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点的双曲线，设
14、方程为x2y21，则a2b22a 4, a2, c5, b2c2a21, b1 ，所以轨迹 L 的方程为 x2y21uuuuruuur4（） | MP | FP | | MF0) 时，取，| 2 ，仅当 PMPF (由 kMF2 知 直 线 l MF : y2(x5)， 联 立x2y21并 整 理 得415x2325x 90 解得 x65或 x145 (舍去），此时 P( 65 , - 25 )51555所以 | MP | FP | 最大值等于2，此时 P( 3 5 , 45 ) 55anban 1，得nan 1 2( n 1)1 2 n 1，20解（）法一：an 12(n1)anban 1b
15、bann1设 nbn ，则 bn2 bn 11 (n 2) ，anbb（）当 b2 时， b是以1 为首项，1 为公差的等差数列，n22即 bn1( n 1)1 1 n ， an22227（）当 b2 时，设 bn2) ，则 bn2bn 121)(bn1b(，bb令 ( 21)1 ，得1，bn1b2 (bn 121 ) (n 2) ，bb2 b2bb知 bn1是等比数列，bn1(b11)( 2 )n1，又 b11，2b2b2bbbbn1(2 ) n112nbn，annb n (2 b) 2 b b2 b 2 bbn2nbn法二：（）当 b2 时， bn是以1 为首项，1 为公差的等差数列，22
16、即 bn1( n 1) 1 1 n ， an2222（）当 b2 时， a1b ， a22b22b2 (b2) ， a2b23b33b3 (b2)，b 2b2222b 4b323猜想 annbn (b2)，下面用数学归纳法证明：bn2n当 n1时，猜想显然成立；假设当 nk 时， akkbk (b 2) ，则bk2kak 1(k1)bak(k1)bkbk (b2)ak2(n1)kbk (b2)2k(bk2k )所以当 nk 1时，猜想成立，由知，nN * ， anb n (b2) nbn2n（）（）当 b2时， an22n11，故 b2n1(k 1)bk1(b2)，bk 12k12 时，命题成
17、立；（）当 b 2 时， b2 n22 n2b2n 22 n2n 1 bn ，b2 n 1 2b 22n 12b2 n 22n2n 1 bn ，L Lb2 nan, bn 1 2n 1bn 1 2n 12 b2 n 22n2n 1 bn ，以上 n 个式子相加得b2 n 1 2L bn 1 2n 1bn 1 2n 1L b 22 n 122nn 2n 1 bn ，n 2n 1 bn (b 2) ( b2nb2n 1 2 Lb 22 n 122n ) bn 2n ( b 2)2n 1 (bn2n )2n 1 (bn2n )(b2nb2n 12Lb22n 122 n )(b 2) bn 2n (b
18、 2)2n 1 (bn2n )(b2n122n1 )bn 1 2nbn 2n 12n 1 (bn2n )8(b2n 1bn 1 2n ) (bn 2n 122 n 1 )bn 11故当b 2时，命题成立；2n 1 (bn2n )2n 1综上（）（）知命题成立21解：（） kABy |xp( 1 x) |xp1 p0 ，0202直线 AB 的方程为 y1 p0 21 p0 ( xp0 ) ，即 y1p0 x1 p02 ，4224q1p0 p1p02 ，方程 x2pxq0 的判别式p24q( pp0 ) 2 ，24两根 x1,2p| p0p |p0或 pp0 ，222Q p p00 ， | pp0
19、 | | p | |p0 |，又 0 | p | p0 | ，22|p0 | | p | |p0 | |p0 |，得 | pp0 | | p | p0 | |p0 |，222222( p, q) |p0|2（）由 a24b0 知点 M (a, b) 在抛物线 L 的下方，当 a0, b0 时，作图可知，若M (a, b)X ，则 p1 p20 ，得 | p1| | p2 |；若 | p1| p2| ，显然有点 M (a, b)X ；M (a,b)X| p1 | p2 |当 a0, b0 时，点 M (a, b) 在第二象限，作图可知，若M (a, b) X ，则 p10p2 ，且 | p1 |
20、 p2 | ；若 | p1| p2| ，显然有点 M (a, b)X ；M (a, b) X| p1 | | p2 |根据曲线的对称性可知，当时， M (a, b)X| p1 | | p2 |，a 0综上所述， M (a,b)X| p1 | p2|（ * ）；由（）知点M 在直线 EF上，方程 x2axb 0 的两根 x1,2p1或 ap1 ，22同理点 M 在直线 E F 上，方程 x2axb0 的两根 x1,2p2或 ap2，22若 (a, b) |p1 |，则 | p1 | 不比 | ap1 |、 | p2 |、 | ap2 | 小，22222| p1 | | p2 |，又 | p1 |
21、 | p2 |M (a, b)X ，9(a, b)| p1|M (a, b)X ；又由（）知， M (a,b)X(a, b)| p1 |；22(a, b)|p1|M ( a, b)X ，综合（ * ）式，得证2（）联立 yx1 ， y1( x1)25得交点 (0, 1), (2,1) ，可知 0p 2 ，4412过点 ( p, q) 作抛物线 L 的切线，设切点为( x,1 x 2 ) ，则 4 x0q1 x0 ，04 0x0p2得 x022 px04q0，解得 x0pp24q ，又 q1 ( p1)25 ，即 p24q 4 2 p ，44xp4 2 p ，设 42 p t ， x01 t2t 21 (t 1)25 ，0222Q max|x0|max ，又 x0552，max；24Q q p 1， x0pp24 p 4 p | p 2 | 2 ，min| x0 |min1 210