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1、第 1 讲直线与圆一、选择题1.已知直线 l1 过点 (-2,0)且倾斜角为 30,直线 l2 过点 (2,0)且与直线 l 1 垂直 ,则直线 l1 与直线 l 2 的交点坐标为 ( ) A.(3,3) B.(2,3)3C.(1,3)D.(1, 2 )答案C直线 l1 的斜率13因为直线l2 与直线1 垂直,所以直线l2 的斜率k =tan30 = 3 ,lk2=-1=-3,又直线 l 1 过点 (-2,0),直线 l2 过点 (2,0),所以直线 l1的方程为 y=3(x+2),直线 l 2?13的方程为 y=-3(x-2),联立得 ?=32), 解得 ?= 1,3(x +即直线 l1 与
2、直线 l2的交点坐标?= -3(x -2),?= 3,为 (1,3).2.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点 ,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切 ,则圆 C的方程是 ()A.(x+1) 2+y2 =2B.(x+1) 2+y2=8C.(x-1)2+y2 =2D.(x-1) 2+y2 =8答案 A根据题意知 ,圆 C 的圆心为 (-1,0).因为圆与直线 x+y+3=0 相切 ,所以半径为圆|- 1+0+3|则圆的方程为 (x+1)2+y2=2.心到切线的距离,即 r=d= 12 +1 2 =2,3.已知圆 M:x 2+y2-2ay=0(a0)截直线 x+y=0 所得
3、线段的长度是22.则圆 M 与圆N:(x-1) 2+(y-1)2=1 的位置关系是 ()A. 内切 B.相交C.外切 D.相离答案 B由题意知 ,圆 M 的圆心为 (0,a),半径 R=a,因为圆 M 截直线 x+y=0 所得线段的长度为 22,所以圆心 M 到直线 x+y=0 的距离 d=|?| 2解得又圆的圆心=?N2-2(a0),a=2,为(1,1),半径 r=1,所以 |MN|= 2,因为 R-r2R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选 B.4.已知圆C:(x-1) 2+(y-2)2=2与 y轴在第二象限所围区域的面积为S,直线y=2x+b 将圆C分成两部分,其中一部分的面积也为S,则
4、b=()A.- 6B. 6C.-5D. 5答案D结合图形 (图略 )及题意知 ,圆心 C(1,2)到 y 轴的距离与到直线y=2x+b 的距离|2 1-2+?|相等 ,易知 C(1,2)到 y 轴的距离为 1,则 2+( -1) 2=1,解得 b=5,故选 D.5.(2019 河南开封模拟 )已知圆 O:x2+y2 =4 上到直线 l:x+y=a 的距离等于 1 的点至少有 2个,则实数 a 的取值范围是 ()A.(-3 2,32)B.(-,-32)(32,+ )C.(-22,22)D.-3 2,32答案A由圆 O 的方程可知圆心为 (0,0),半径为 2.因为圆 O 上到直线 l 的距离等于
5、 1|-?|?|的点至少有 2 个 ,所以圆心到直线l 的距离 dr+1=2+1,即 d=1 2+1 2 =2 0,y 1+y2= 2 ,x1+x2=k(y 1+y2 )-2=-2,因为 ?=+?,故? +1? +1M( - 2, 2? ) ,又点 M 在圆 C 上,故+2=4,解得 k=0.424?22222? +1? +1(? +1)(? +1)解法二 :由直线与圆相交于=?+?,?M在圆C,得圆心C(0,0)到直A,B 两点 ,?且点上线 x-ky+1=0 的距离为半径的一半 ,为 1,即 d= |1|解得k=0.1+?2 =1,二、填空题7.(2019 广东湛江一模 )已知圆 C:(x
6、-3) 2+(y-3)2=72,若直线 x+y-m=0 垂直于圆 C 的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则 m=.答案2 或 10解析圆 C:(x-3) 2+(y-3) 2=72 的圆心 C 的坐标为 (3,3),半径 r=62,因为直线 x+y-m=0 垂直于圆 C 的一条直径 ,且经过这条直径的一个三等分点,所以圆心到直线的距离为 22,则有 d=|6 -?|1+1 =22,解得 m=2 或 10.8.已知直线 ax+y-1=0 与圆 C:(x-1) 2+(y+a)2=1 相交于 A 、B 两点 ,且 ABC 为等腰直角三角形 ,则实数 a 的值为.答案1解析由题意得圆心 (1,-
7、a)到直线 ax+y-1=0 的距离为 2,所以|?-?-1|=2,解得 a=1.2221+?9.已知 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k0) 上一点 ,PA 是圆 C:x2+y2-2y=0 的一条切线 ,A 是切点 ,若 PA 长度的最小值为2,则 k 的值为.答案2解析圆 C:x2+y2-2y=0 的圆心坐标是 (0,1),半径 r=1,PA 是圆 C:x2+y2-2y=0 的一条切线 ,A 是切点 ,PA 长度的最小值为 2, PC 长度的最小值为 12+ 22 =5.|1+4|由点到直线的距离公式可得2=5.k=2, k0,k=2.? +110.(2018广西南宁二中、柳州高中联
8、考)过点 (2,0)的直线 l与曲线2相交于 A,By=1-?两点 ,O 为坐标原点 ,当 AOB 的面积取最大值时 ,直线 l 的斜率为.答案-33解析解法一 :设点 P(2,0),结合题意可设直线 l 的方程为 y=k(x- 2)(k0,k 1.22222121- ?1 -?所以弦长 |AB|=1+ ?(?+ ?2) -4?1?2=2=22 .1+ ?1+?1+?|-2k|,因为点 O 到直线 l:kx-y- 2k=0 的距离 d= 2? +12212211(2? +1 -? ) 11 -? | -2k|2|k| 1- ?2所以 S AOB = |AB|d= 22=22= ,当且仅当222
9、1+? +11+?1+?222|k| = 1-?,即 k=-3时取等号 .? 0,313故当 AOB 的面积取最大值2时 ,直线 l 的斜率为 -3 .解法二 :设点 P(2,0),结合题意可设直线2l 的方程为 x=my+ 2(m0,得 m21.于1121是,S=|S-S|= |OP|y-y |=2|OP|(?+ ?)2-4?=122 AOB AOP2112BOP222m242 ?2 -11(2+? 2 -1)1( - 1+? 2 )- 1+? 2=1+? 22 1+? 2=2,当且仅当 2 = 2?-1,即 m=-3时取等号 .?0)的焦点为 F,抛物线 C 上存在一点 E(2,t)到焦点
10、 F 的距离等于 3.(1)求抛物线 C 的方程 ;(2)过点 K(-1,0) 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点 (A,B 两点在 x 轴的上方 ),点 A 关于x 轴的对称点为 D,且 FA FB,求 ABD 的外接圆的方程 .解析(1)抛物线的准线方程为x=-?2,所以点 E(2,t)到焦点 F 的距离为 2+?=3,2解得 p=2.所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)解法一 :设直线 l 的方程为 x=my-1(m0).将 x=my-1 代入 y2 =4x,并整理得 y2 -4my+4=0,由 =(-4m)2-160,解得 m1.设 A(x 1,y1),B(x 2,
11、y2),则 D(x 1,-y1),y1+y2=4m,y1y2=4,易知抛物线的焦点为F(1,0),所以 ?=(x1-1)(x 2-1)+y1y2=(1+m2 )y1y2-2m(y1+y2)+4=8-4m2,因为 FAFB,所以 ?=0,即 8-4m2=0,结合 m1,解得 m=2.所以直线 l 的方程为 x-2y+1=0.设 AB 的中点坐标为 (x0,y0),? +?则 y0= 1 2 2 =2m=22,x0=my0-1=3,所以线段 AB 的垂直平分线的方程为y-22=-2(x-3).因为线段 AD 的垂直平分线的方程为y=0,所以 ABD 的外接圆的圆心坐标为(5,0).因为圆心 (5,
12、0)到直线 l 的距离 d=23,且 |AB|=1+ ?2 (?1+ ?2) 2 -4?1?2=43,所以圆的半径 r= 2|?| 2? + (2 ) =2 6.所以 ABD 的外接圆的方程为 (x-5) 2+y2 =24.解法二 :依题意可设直线l 的方程为 y=k(x+1)(k0).将直线 l 与抛物线 C 的方程联立 ,并整理得 k2x2+(2k2-4)x+k 2=0.由2-4)24=(2k-4k 0,结合 k0,得 0k1.设 A(x 1,y1),B(x 2,y2),4则 x1+x2=-2+ 2 ,x1x2=1.?所以 y1 y2=k2(x 1x2+x1+x2+1)=4,4所以 ?=x
13、1x2-(x1+x2)+1+y 1y2=8- 2 ,?因为 FAFB,所以 ?=0,所以 8- 42 =0,又 0k0,b 2+2k .2?2由根与系数的关系 ,得 x1+x2=-? -22 ,x1x2=2 .1+?1+?+b?+b12=12=3,由 k1 k2=?1212得 (kx 1+b)(kx 2+b)=3x1x 2,即 (k2-3)x 1x2+bk(x1+x2 )+b2 =0.将代入 ,整理得 b2=3-k2.由得 b2=3-k20,解得 -3k3.由和 ,解得 k3 .33要使 k1,k2,k 有意义 ,则 x1 0,x20,所以 0 不是方程 (*) 的根 ,所以 b2-20,即 k 1 且 k-1.由 ,得 k 的取值范围是-3,-1)( -1,- 3 ) ( 3 ,1) (1,3.33