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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1.已知全集 U =1 ， 2，（ eP）U Q=3， 4， 5，6 ，集合 P=1 ，3， 5 ，Q=1 ， 2，4 ，则UA.1B.3 ， 5C.1 ， 2，4， 6D.1 ， 2， 3，4， 52.已知互相垂直的平面，交于直线 l .若直线 m， n 满足 m ， n ，则A. m lB.m nC.n lD. m n3.函数 y=sinx2 的图象是xy 30,4.若平面区域2xy30, 夹在两条斜率为1 的平行直
2、线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是x2 y3035B.2C.32D. 5A.255.已知 a，b0，且 a1， b1，若 log 4 b1 ，则A. (a1)(b1) 0B. (a 1)(ab)0C. (b1)(ba)0D.(b1)(ba)06.已知函数 f（ x） =x2+bx，则 “b0”是 “f（ f（ x）的最小值与f（ x）的最小值相等 ”的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知函数 f ( x) 满足： f ( x)x 且 f (x)2x , xR .A. 若 f (a)b ，则 abB.若 f ( a)2b ，则 abC.
3、若 f (a)b ，则 abD. 若 f (a)2b ，则 ab8.如图，点列An , Bn 分别在某锐角的两边上，且An An 1An 1 An 2 , AnAn 2 , nN * ，Bn Bn 1Bn 1 Bn 2 , BnBn 2 , nN * .(P Q 表示点 P 与 Q 不重合 )若 dA B ， Sn 为 An Bn Bn 1 的面积，则nn nA. Sn是等差数列B. Sn2 是等差数列C. dn 是等差数列D. dn2 是等差数列二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分）9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是_c
4、m2, 体积是 _cm 3.10.已知 aR ，方程 a2 x2(a2) y24x8 y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是 _.11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.12设函数f(x)=x3+3 x2+1已知 a 0，且 f(x)f(a)=( xb)( xa)2， x R，则实数a=_ ， b=_132y2设双曲线 x=1 的左、右焦点分别为 F1，F2若点 P 在双曲线上， 且 F 1PF2 为锐角三角形， 则 |PF 1|+|PF 2|3的取值范围是 _14如图，已知平面四边形 ABCD ，AB =BC=3， CD=1， AD=5
5、 ， ADC =90沿直线 AC 将 ACD 翻折成 ACD ，直线 AC 与 BD 所成角的余弦的最大值是_ 15已知平面向量a， b， |a|=1， |b|=2， a b=1若e 为平面单位向量，则|a e|+|b e|的最大值是_三、解答题（本大题共5 小题，共74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本题满分14 分）在ABC中，内角A， B， C 所对的边分别为a，b， c已知b+c=2acos B（）证明：A=2B；2（）若cosB=，求 cosC 的值17.（本题满分15 分）设数列 an 的前 n 项和为 Sn .已知 S2 =4， an 1 =2 Sn +1， n
6、N * .（ I ）求通项公式an ；（ II ）求数列 ann2 的前 n 项和 .18.（本题满分 15 分）如图，在三棱台 ABC-DEF 中，平面 BCFE 平面 ABC， ACB=90，BE=EF=FC =1， BC =2， AC=3.（ I ）求证： BF 平面 ACFD ；（ II ）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值 .19（.本题满分15 分）如图，设抛物线y22 px( p0) 的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|-1.（ I ）求 p 的值；（ II ）若直线AF轴交于点M .求 M交抛物线于另一点的横坐标的取值范围B，过.B 与x 轴平行
7、的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N， AN与x20.（本题满分15 分）设函数 f ( x) = x31， x0,1 .证明：1x（ I ） f ( x)1 x x2 ；（ II ） 3f (x)3.422015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）一、选择题1.【答案】 C2. 【答案】 C3. 【答案】 D4. 【答案】 B5. 【答案】 D6. 【答案】 A7. 【答案】 B8. 【答案】 A二、填空题9. 【答案】 80 ；4010.【答案】 (2, 4) ；511. 【答案】 2 ；112【答案】 2； 113【答案】 (27,8) 14【答案】6915【答案】
8、7三、解答题16【答案】（1）证明详见解析； （ 2） cosC22.27【解析】试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力试题解析：（ 1）由正弦定理得 sin Bsin C2sin A cosB ，故 2sin Acos B sin B sin( A B)sin Bsin A cosB cos Asin B ，于是， sin B sin( A B) ，又 A, B(0,) ，故 0AB，所以 B( AB) 或 BAB ，因此， A（舍去）或A2B ，所以， A2B .（ 2）由 cosB2，得 sin B5， cos2B 2cos 2 B 11，
9、339145，故 cos A， sin A9922cosCcos( AB)cos A cos Bsin A sin B.27考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【结束】17.3n 1 , n N * ；（ 2）2, n1【答案】（1） aTnn2.n3n 5n 11, n2, n N *2【解析】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力试题解析：（ 1）由题意得：a1a24a11，a22a1，则a231又当 n2 时，由 an 1an(2 Sn1)(2 Sn 11)2an ，得 an 13an ，所以，数列 an 的通项公式为 an3n 1
10、,nN * .（ 2）设 b |3n 1n2 |，nN* ， b 2, b 1.n12当 n3 时，由于3n 1n2，故 bn3n 1n2, n3 .设数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，则 T1 2,T23.当 n3 时， Tn39(13n2 )(n7)( n2)3nn25n 11 ，1322所以， Tn2, n1.n23n5n11, n2, nN *2考点：等差、等比数列的基础知识.【结束】18.【答案】（1）证明详见解析； （ 2）21.7【解析】试题分析：本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力试题解析：（ 1）延长 AD , BE ,
11、CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面 BCFE平面 ABC ，且 ACBC ，所以AC平面 BCK，因此 BFAC ，BC2又因为EF / / BC，BEEFFC1，所以BCK 为等边三角形，且F 为 CK 的中点，则 BFCK ，所以 BF平面 ACFD .（ 2）因为 BF平面 ACK ，所以BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角，在 RtBFD 中，BF3, DF3cosBDF21，得，27所以直线 BD 与平面 ACFD 所成的角的余弦值为21.7考点：空间点、线、面位置关系、线面角.【结束】19.【答案】（1） p=2；（2）,0 U 2,.【解析】试题分析：本题主要考
12、查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法 .试题解析： ( ) 由题意可得抛物线上点A 到焦点 F 的距离等于点A 到直线 x=-1 的距离 .由抛物线的第一得p1，即 p=2.2( ) 由 ( ) 得抛物线的方程为y24x,F 1,0，可设 A t 2,2 t, t0, t1.因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF:x=sy+1,s0 , 由y24x 消去 x 得xsy1y24sy 40 ，故 y1 y24 ，所以 B12.t2 ,t又直线 AB的斜率为2t，故直线 FN的斜率为t 21，t2 12t从而的直线 FN: yt 2
13、1x 1，直线 BN: y2，2tt所以 N t23 ,2，t 21t2t2t2设 M(m,0), 由 A,M,N 三点共线得：t22，tmt 2t 23t12t2于是 m，经检验， m2满足题意 .t 21综上，点 M的横坐标的取值范围是,0U 2,.考点：抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【结束】20.【答案】（）证明详见解析； （）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力. 第一问，利用放缩法， 得到 1x41，从而得到结论； 第二问，由 0x 1 得 x3x ，1x1x进行放缩，得到f x3，再结合第一问的结论，得到f x32，从而得到结论 .41x41x4试题解析： ( ) 因为 1 xx2x3,1x1x由于 x0,1 ，有 1x41, 即 1xx2x31，1x1 x1x所以 f x1x x2.( ) 由 0 x1得 x3x ，故 f xx31x13 3x12x13 3 ，2 x 11 x1 x 2 22 23所以 f x.2123 3 ，由 ( ) 得 f x 1 x x2x244又因为 f1193 ，所以 fx3，22444综上， 3fx3 .42考点：函数的单调性与最值、分段函数.【结束】