《07-08数学分析答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《07-08数学分析答案.docx（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、07-08数学分析答案暨 北 年夜 教 考 试 试 卷一、单选题（每一小题2分, 共8分） 1. 设n a 为一数列, 且lim 0.n n a =下列论断中没有建立的是（ b ）.(a) 存正在负数,M 使对于所有正整数n 有|n a M ;(b) 若存正在正整数0,N 使当0n N 时有0,n a (c) 任与n a 的子列,k n a 则lim 0k n k a =;(d) lim |0n n a =.2. 设变量是当0x x 时的无量小量, 则以下论断（ c ）建立.(a) 是一个很小的数; (b) 可与恣意小数;(c) 当0x x 时, sin 为的下阶无量小量; (d) sin 取
2、是当0x x 时的等价无量小.3. 设11,1(),1x x x f x e x -?=?, 则1x =是f 的（ c ）.(a) 一连面; (b) 可往中断面; (c) 腾跃中断面; (d) 第2类中断面. 4. 设()|f x x =, 则对于直线()y f x =建立下列论断（ d ）.(a) 直线()y f x =正在(0,0)面的切线圆程为y x =; (b) 直线()y f x =正在(0,0)面的切线圆程为0y =; (c) 直线()y f x =正在(0,0)面的切线圆程为y x =-; (d) 直线()y f x =正在(0,0)面没有存正在切线.2、挖空题（每一空1.5分,
3、 共15分）1. 设(1)1|1,2,2nn S n -=+=?, 则 inf S = 1/2 , sup S = 5/4 .2. sin limx xx= 0 .3. 令1(),1f x x=+ 则f 正在1x =处带有佩亚诺型余项的泰勒公式为 22311111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2222n nnn f x x xo x+=-+-+-+- 4. 设2()1(3),(3)xf x x x =+-+ 则函数f 的宽格递删区间为 （-3,3） ,极值面为x = 3 , 最年夜值为 13/12 , 其对于应的直线的渐远线为1 3.y x =-火仄渐远线以及横曲渐远线5. 函数y 的宽
4、格凸区间为 (0,) +, 其对于应的直线的拐面为(0,0) 3、判别题（若准确的命题请赋予证实,同伴的命题请举出反例并做需要的道明）（每一小题6分, 共12分）1. 函数21y x =+正在无限区间,a b 上分歧一连. 解：此命题是准确的。证实历程以下：设12,x x a b ，则2212121212121212()()()2(),f x f x x x x x x x x x x x a b x x -=-=+?-+?-+- 以是，对于任给的0,与,2()a b =+则当12,x x a b 且12x x -便有12()()f x f x -2. 设函数f 正在0x 面可导, 则f 必定
5、正在0x 的某邻域内可导. 解：此命题是同伴的.举一个反比方下:2()(),f x x D x =个中()D x 为狄利克雷函数.果为()(0)()0, ( 0) 0f x f xD x x x -=-故f 正在0x =可导.与01=,对于0x =的恣意邻域(没有论负数多小),任与0(0,),x U 00,x 存正在有理数列n x 以及在理数列n x ，谦足0();n x x n 0()n x x n ，但220(),()()0n n n f x x x n f x =200x ，故f 正在0x =的恣意邻域均没有一连，以是f 没有可导.4、盘算题（每一小题5分, 共45分）（1） 设21ln
6、(1),2y xarctgx x 2=-+ 供y .解: y =21()(ln(1)2xarctgx x 2-+=22222111()(1)1()21arctgx x x x x x2+?-?+222111221()21arctgx x x x x x 2=+?-?+2422.11x x arctgx x x2=+-+（2） 设22()(1)u x y x =+（个中()u u x =为可微函数），供dy .解：222222()()ln(1)()ln(1)22(1)()()ln(1)u x u x x u x x dy d x d e ed u x x +=+=+22()2222(1)()(l
7、 n (1)l n (1)()u x x u x d x x d u x =+ 22()2222(1)()l n (1)()().1u x x x u x x u x u x dx x=+（3） 设函数()y y x =是由参数圆程33cos sin x ty t?=?=?所断定, 供dy dx 及24t d y =. 解：3232(sin )3sin cos sin tan (cos )3cos (sin )cos dydy t t t tdt t dx dx t t t tdt?=-=-?-； 222324(tan )sec 1,(cos )3cos (sin )3cos sin d y
8、t x dx t t t t t-=?-以是224t d y dx =（4） 设21,0(), xx x x f x e x ?+?=?解：当0x 时，()()21,()2,()0(3);k f x x f x f x k =+=当0x (0)(0)(0)1,f f f +-=而当2k 时,()(0)k f 没有存正在,收拾后患上21, 0,()1, =0, =?2, 0, (), =0, =?没有存正在当3n 时,()()()()0(0),()(0),(0)k k x k f x x f x e x f =2. 供极限 （1）222lim()21222n nnnn n n n+;解:果为22
9、222222222212222121n n n n nn n n n n n n n n n n n n n ?=+=+, 并且22221lim lim 222n n n n n n n n =+, 以是由迫敛性,患上2221lim().212222n nnn n n n n +=+（2）20ln(1)cos lim 1x x x xe tgx +;解:果为函数正在0x =一连,故2200ln(1)cos ln(10)cos001lim 1.11010x x x x e tgx e tg +=+（3）011lim()1x x x e -;解:那是一个-型没有定式极限,通分后化为0 型的极限,即
10、000011111lim()lim lim lim .1122x x x x x x x x x x x x x e x e e x e xe x e xe e xe -=-+-+ （4）12sin 0lim(1)xx x +;解:那是一个1型没有定式极限.做恒等变形211ln(1)2sin sin (1)x xxx e+=其指数全体的极限201limln(1)sin x x x +是00型没有定式极限,可先供患上220012101lim ln(1)lim 0,sin cos 1x x x x x x x ?+=从而患上到120sin 0lim(1)1.xx x e +=（5）2221lim(
11、)1n n n n -+.解:先供函数极限22222221(1)1lim()lim ,11(1)x x x x x x x x x-=+ 因为2222111lim(1)lim 1(1)x x x xx e x-=-且221lim(1)x x e x +=,故 2222222211lim(1)11lim()11lim(1)x x x x x x x x e x e e x-=+,由回结本则,可患上222211lim()1n n n n e -=+.5、证实题（第1、2小题每一题6分, 第3小题8分,共20分）1. 用N -界说证实22231lim 2n n n n n+=-. 解：果为当1n 时
12、，2222231515621n n n n n n n n n n n n +-=-， 以是，任给0,与61,N =+则当n N 时，有222312,n n n n+-2. 设2()1xf x x =+, 用-界说证实函数f 一连. 解:易睹函数界说域为,R 任与0,x R 没有妨设01,x x -0000222200()(1)()()11(1)(1)x x xx x xf x f x x x x x -=-=+001x x xx -?-00000(1)(1(1)x x x x x x x x -+?0min1,(1)x =+则当0x x -即()f x 正在0x 面一连.由0x 的恣意性知, f 正在R 上一连.3. 设函数g 正在闭区间,(0)a b a b ()0,g b 证实:果为函数g 正在闭区间,(0)a c a b a b ?同理, 果为函数g 正在闭区间,(0)c b a b a b ?()0,g b 机关12,上的帮助函数()()G x xg x =,易睹()G x 正在闭区间12,上一连,正在开区间12(,)(,)a b ?上可导,且111222()()0,()()0,G g G g =由罗我定理,可患上最少存正在一面12(,)(,),a b ?使患上()0G =,即()()0.g g +=