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1、数列的概念与简单表示法建议用时： 45 分钟一、选择题1数列 0,1,0， 1,0,1,0， 1，的一个通项公式 an 等于 ()1 n1nA 2Bcos2n1n2Ccos 2 Dcos2D 令 n1,2,3，逐一验证四个选项，易得D 正确 若 n 为数列n的前n项和，且 nn，则 1 等于 ()2S a Sn1a556A. 6B.51C.30D.30D 当 n2 时， anSnSn1 n n111 5630.n，所以n 1n n1a53记 Sn 为数列 an 的前 n 项和“任意正整数n，均有 an0”是“ Sn 是递增数列”的 ()A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不
2、必要条件A “an0”? “数列 Sn 是递增数列 ”，“an0”是“数列 Sn 是递增数列 ”的充分条件如数列 an 为 1,1,3,5,7,9，显然数列 Sn 是递增数列，但是an 不一定大于零，还有可能小于零，“数列 Sn 是递增数列 ”不能推出 “an0”，“an0”是“数列 Sn 是递增数列 ”的不必要条件“an0”是“数列 Sn 是递增数列 ”的充分不必要条件 4(2019 武汉 5 月模拟 )数列 an 中， an 1 2an1，a11，则a6()A 32B62C63D64C 数列 an 中， an12an1，故 an1 12(an1)，因为 a1 1，故 a1120，故 an1
3、0，an11所以2，所以 an1 为等比数列，首项为2，公比为 2.an 1所以 an 12n 即 an 2n1，故 a663，故选 C.nn210n(n N )，则数列 nan中数值最小的项是5若数列 a 的前 n 项和 S n()A 第 2 项B第 3 项C第 4 项D第 5 项B Snn2 10n，当 n 2 时， an SnSn1 2n11；当 n 1 时， a1 S1 9 也适合上式an2n11(n N)记 f(n)nan n(2n 11) 2n211n，11此函数图像的对称轴为直线n 4 ，但 nN，当 n 3 时， f(n)取最小值数列na 中数值最小的项是第3 项 n二、填空题
4、6已知数列 5， 11， 17，23， 29，则 55是它的第 _项21 数列 5， 11， 17， 23， 29，中的各项可变形为5， 56， 526，5 3 6，546，所以通项公式为an56 n1 6n 1，令 6n15 5，得 n 21.7若数列 an 满足 a11，a23，an 1(2n)an(n1,2， )，则 a3 等于 _15令 n 1，则 32，即 1，由 an1 (2n 1)an，得 a35a25315.8在一个数列中，如果任意 n N ，都有 anan 1an2k(k 为常数 )，那么这个数列叫做等积数列， k 叫做这个数列的公积已知数列 an 是等积数列，且 a11，a
5、2 2，公积为 8，则 a1 a2a3 a12_.28a1a2a3 8，且 a1 1， a22.a34，同理可求 a41，a5 2.a6 4， an 是以 3 为周期的数列，a1a2a3 a12 (124) 428.三、解答题9(2019 洛阳模拟 )已知数列 an 满足 a150，an 1 an2n(n N)，(1)求 an 的通项公式；(2)已知数列 bn 的前 n 项和为 an，若 bm50，求正整数 m 的值解 (1)当 n 2 时，an (anan1) (an1 an2)(a3a2)(a2a1) a1 2(n1)2(n2) 222150n 1 n2502n2n 50.又 a15012
6、150， an 的通项公式为ann2n50，nN.(2)b1a150，当 n 2 时，bn anan1 n2n50 (n1)2(n 1)50 2n2，即 b 50，n1.n2n2，n2当 m2 时，令 bm50，得 2m250，解得 m26.又 b150，正整数 m 的值为 1 或 26.10设数列 an 的前 n 项和为 Sn.已知 a1a(a3)，an 1Sn3n， n N，设 bn Sn3n，(1)求数列 bn 的通项公式；(2)若 an 1an，nN ，求 a 的取值范围解 (1)依题意， Sn1Snan1Sn 3n，即 Sn1 2Sn 3n，由此得 Sn13n12(Sn3n)，即 b
7、n1 2bn，又 b1S1 3 a 3，所以数列 bn 的通项公式为 bn(a 3)2n1， n N.(2)由(1)知 Sn 3n (a3)2n 1，nN，于是，当 n2 时， anSn Sn13n (a3)2n13n1 (a3)2n2 2 3n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n2 12 3 n2 a 3 ，2当 n 2 时，an1an? 12 3 n2 a 3 0? a 9，2又 a2a1 3 a1(a3)综上， a 的取值范围是 9,3)(3， )an1已知数列 an 满足： a11，an1an2(nN )，若 bn 1(n)1 1，b1 ，且数列n是递增数列，则实数
8、的取值范围是()an b A (2， )B(3， )C(， 2)D(， 3)1 11 1 是首n1a，知1 2 ，即1 ，所以数列C 由 an11 2 annana 2aaan1nn1项为1的等比数列，所以1nn1(n )n 12，公比为 212 ，所以 b2，因为数a1an列 bn 是递增数列，所以 bn1 bn(n )2n(n1)2n1 (n1) 2n10 对一切正整数 n 恒成立，所以 n1，因为 nN，所以 2，故选 C.2(2019 临沂三模 )意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，即 F(1)F(2) 1，
9、F(n)F(n1)F(n 2)(n3，nN )，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用若此数列被 2整除后的余数构成一个新数列 an，则数列n的前2 019项的和为() a A 672B673C1 346D2019C 由 数 列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55， 各 项 除 以2 的 余数 ， 可 得 an 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0， ，所以 an 是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为 1102，因为 2 019673 3，所以数列 an 的前 2 019 项的和为 673 2 1 346，故选 C.3(2019 晋城三模 )记数列
10、an 的前 n 项和为 Sn，若 Sn 3an 2n3，则数列 an 的通项公式为 an_.n3 n11111nn2na 2 2当 n1 时，Sa 3a1，解得 a 2；当 n2时， S3a3，S3a2n5，两式相减可得，n1n133an 3an 3an12，故 an2an11，设 an2(an1)，故 2，即 an 23n33为首项，3为公比的等比数列，故n1a 2n是以2(a 2)，故2.故数列 a 222an12a 23 3 n1，故 a 23 n222 .nn4已知数列 an 中， a1 1，其前 n 项和为 Sn，且满足 2Sn (n1)an(nN )(1)求数列 an 的通项公式；
11、n2(2)记 bn 3 an，若数列 bn 为递增数列，求的取值范围解 (1)2Sn(n1)an，2Sn1(n2)an1，2an1(n2)an1 (n1)an，an1n即 nan1(n 1)an，a，n1naa an11，n1nn11ann(n N)n2(2)由(1)知 bn 3 n.n 12n2bn1bn3 (n1) (3 n)2 3n(2n 1)数列bn 为递增数列，2 3n (2n1)0，即 1.2n3 232n3 cn 为递增数列，c1 2，即 的取值范围为 ( ，2)12k1(2019 烟台、菏泽高考适应性练习一 )已知数列： k，k1，1(k N )，按照121238k 从小到大的
12、顺序排列在一起，构成一个新的数列 an ：1，2，1，3，2，1，则9首次出现时为数列 an的()A 第 44 项B第 76 项C第 128 项D第 144 项112C 观察分子分母的和出现的规律： 2,3,4,5，把数列重新分组： 1 ， 2， 1 ，1 2 31，2k83，2，1 ， ， k，1，可看出 9第一次出现在第16 组，因为 123k115120，所以前 15 组一共有 120 项；第 16 组的项为127816，15，10，9 ，所以889是这一组中的第8 项，故 9第一次出现在数列的第 128项，故选 C.2已知二次函数 f(x)x2 axa(a0，x R)有且只有一个零点，
13、 数列 an的前n项和 SnN )f(n)(n(1)求数列 a 的通项公式；nn4 )，定义所有满足 cmm10的正整数m 的个数，称为这个(2)设 c 1 n(nNca数列 cn 的变号数，求数列 cn 的变号数解 (1)依题意，a2 4a0，所以 a0 或 a 4.又由 a0 得 a 4，所以 f(x)x2 4x4.所以 Sn n24n 4.当 n 1 时， a1 S11441；当 n 2 时， an SnSn12n5.1，n1，所以 an2n 5， n 2.3，n 1，(2)由题意得 c 4n，n2.12n54由 cn 1可知，当 n5 时，恒有 cn 0.2n 51 3，c2 5， c3 3，c41， 5 1，6 3，又 c3c5c71223450，即 cc 0， cc0，c c所以数列 cn的变号数为3.