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1、上海 海洋 大学试 卷答 案学年学期20 13 20 14学年第1 学期考核方闭卷式课程名称线性代数 BA/B 卷（A ）卷课程号1102104学分2学时32题号一二三四五六七八九十总分分数18161515101016阅卷人一、填空与选择题（6 318）000a100a20n( n- 1)1行列式的值是 _(- 1) 2a1a2 .an _.0an100an0002已知 A 为四阶方阵，且*- 1*A =2 ， A 是 A 的伴随矩阵，则6A - A =_128_.x1x22x303当 a_2时，方程组x12x2x30 有非零解x1x2ax30a1a2a3a1a2a34设 Ab1b2b3， B
2、c1c2c3,若初等矩阵 P ，使得 PAB ，c1c2c3b1b2b3? 100?则 P = _?001?_10 0?5 已知四阶行列式D 中第三列元素依次是1,2,0,1它们的余子式依次为5,3, 7,4 ，则 D=- 15_6已知 A2 A ，且 A0 则一定有：（D ）（A） AE（ B） A0（ C）矩阵 AE 一定可逆（ D）矩阵 AE 一定可逆1二、（ 16 分）计算下列行列式232231011.D（ 10 分）42135410解：2 32 - 2- 6- 1 04D =3- 101=3- 1013421- 3421- 354- 10960- 3= 9- 2- 1461- 111
3、2- 1= 9- 30381- 11301= - 9 - 33= 1081031xnn121nxn121nn1x213. D n 1（ 6 分）nn1n2x1nn1n211x - n11100x - n + 1110解： Dn+1 =00x - n + 210.3000x - 10nn - 1n - 2112x - n1110x - n + 111= (- 1)2 n+2.5000x - 210000x - 1n= ? (x - i).6i =1211112三、（ 15 分）设 A213 ， B，求1011111、A3E2、 A 13、若 XAB ，求矩阵 X .解：(1)? 2- 1 1 ?
4、 3 0 0 ?A -3E =?2-? 0 3.21 3 0 1- 1 1 ? 0 0 3 ? - 1 - 11?=?2- 2.33 1 - 1 - 2 ?(2)? 2- 11100?AE=? 213010.2()1- 11001?10- 1? 10011- 1?010?44.7001- 311?44?所以?10- 1?- 1?11- 1A=?44.8- 311?44?3(3)X =BA- 1.2?-312?=?44?.4-712?44?2231?1- 3- 21?四、（ 15 分）设矩阵 A = (a1, a 2,a 3,a 4 )=?1033?，求- 132- 1?320- 2?1、矩阵
5、A 的列向量组的秩2、 A 的列向量组的一个极大无关组3、将向量组中的其余向量表达为极大无关组的线性组合解：由? 2 2 3 1 ? ? 1 0 3 3 ?1 - 3 - 2 1 ?0 1 8 7a ,a,a,a4 )=? ?2?1 0 3 3?0 0 1 1.5(13? - 1 3 2 - 1 ? 0 0 0 0 ?3 2 0 - 2 ? 0 0 0 0? 1000?010- 1?0011.7? 0000?0000?得1 向量组的秩为 3 .22 向量组的极大无关组为a 1,a 2,a 3 .33 a 4 = - a 2 + a 3 3五、（ 10分）设列向量组1 , 2 , 3 线性相关，
6、列向量组2 ,3 , 4 线性无关，证明：（ 1 ）1 一定可由2 ,3 线性表示；（ 2 ）4 不可由1, 2 ,3 线性表示。4证明：（ 1）由向量组2 ,3 ,4 线性无关，得2 ,3 线性无关， .3又由1 ,2 ,3 线性相关，得1 一定可由2 ,3 线性表示。 5 .（ 2 ）假设4 可由1 ,2 ,3 线性表示， . .2由（ 1）得1 可由2 ,3 线性表示， . 3 .则4 可由 a 2 ,a 3 线性表示，得2 ,3 ,4 线性相关， . .4 与题设矛盾。所以假设不成立。所以4 不可由1 , 2 ,3 线性表示。 5.212六、（ 10分）求矩阵 A533的所有特征值和特
7、征向量。102解：由EA212(1)30 4533102得矩阵所有特征值为l= - 1 . 6? - 3 1 - 2 ? ? 1 0 1 ?当 l= - 1时， l E - A= ?- 52 - 3 ?0 1 1()? ?101? 0 0 0? 8?- 1 ?矩阵A的特征向量为 k?- 1?, k 为不为零的任意常数。 101?(3 - l )x1 + x2 - x3 = 1七、（16分） 取何值时非齐次线性方程组?6x1 + (4 - l )x2 - 3x3 = 3?- 6x1 - 3x2 + (4 - l )x3 = - l - 2?有唯一解、无解、有无穷多个解？并在有无穷多解时，求出其通
8、解解：方程组的系数行列式为3- l1- 1=- (l - 1)2 (l - 9)2.A = 64- l- 3- 6- 34- l5令 A = 0 得 l 1 =1,l 2 =9,。4当 l 1 11,且 l 2 1 9 时，方程组有唯一解。6当 l 1 = 1时，方程组的增广矩阵? 21- 11? 2 1- 11 ?(A,b) =?63- 33? ?00? 00 - 6 - 3 3 - 3 ?0000 ?8因为R(A,b)=R(A)=13原方程组有无穷多解10.通解为x k11k211k 1 , k 2为任意常数。 12222100010当 l 2 = 9 时，方程组的增广矩阵? - 6 1 - 1 1 ? ? - 6 1 - 1 1 ?(A,b) =? ?6 - 5 - 3 3?0 1 1 - 1.14 ?- 6 - 3 - 5 - 11 ? 0 0 0 1?因为 R(A,b)1R(A)原方程组无解 .166