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1、2019 年高考三角函数大题专项练习集（一）1. 在平面四边形 ABCD中， ADC=90， A=45， AB=2， BD=5（1）求 cos ADB；（2）若 DC= 2 2 ，求 BC2. 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 c=2 且 ccos A+bcos C=b.（ 1）判断 ABC的形状；（ 2）若 C= ，求 ABC的面积 .63. 在 ABC中，角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，且2abcosCc cosB .（1）求角 C 的大小；（2）若 c2 ， ABC的面积为3 ，求该三角形的周长.4.ABC 的内角 A, B,C 的对边
2、分别为a, b, c . 已知ab sin Ac sin Cb sin B （ 1）求 C ；（ 2）若 ABC 的周长为 6 ，求 ABC 的面积的最大值5. ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c , 已解 absin( AB)cbsin Asin B（1）求角 A ；（2）若 a3 ， c b1，求 b 和 c 的值6. 已知函数 fx sinxcos x3 cos2 x 222（1）求 f x的最小正周期；（2）求 f x在区间,0上的最大值和最小值7. 在中，角、 、C的对边分别是a、 、，且3a cosC 2b 3c cos A .ABCA Bb c（1）求角
3、 A 的大小；（2）若 a=2，求 ABC面积的最大值.8. 在锐角 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ， BC 边上的中线 AD m ，且满足 a2 2bc 4m2 .（1）求BAC 的大小；（2）若 a2，求ABC 的周长的取值范围.9. 已知 a (1cos x,2 sin x ),b(1cos x,2 cos x ) .2212（1）若 f ( x)2 sin xab, 求 f ( x) 的表达式；4（2）若函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的图象关于原点对称，求函数g( x) 的解析式；（3）若 h( x)g( x)f ( x)1 在,上是增函数，求实
4、数的取值范围 .2210.已知 a( 3sin x, mcos x) ， b (cos x, mcos x) , 且 f (x) a b（1）求函数f (x) 的解析式 ;（2）当 x,时 ,f ( x) 的最小值是 4 ,求此时函数 f (x) 的最大值 ,并求出相63应的 x 的值 .11. ABC的内角为A， B， C的对边分别为a， b， c，已知abccosC sin Bsin BcosC（1）求 sinA Bsin Acos A cos AB 的最大值；（2）若 b2 ，当 ABC 的面积最大时， ABC 的周长；12. 如图 , 某大型景区有两条直线型观光路线AE ，AF,EAF
5、120, 点 D位于EAF的平分线上，且与顶点A 相距1 公里 . 现准备过点D 安装一直线型隔离网BC (B, C分别在AE 和AF上 ) ，围出三角形区域ABC ，且AB 和AC 都不超过5 公里 .设 ABx ，ACy ( 单位：公里).（1）求x, y 的关系式；（2）景区需要对两个三角形区域ABD ，ACD 进行绿化. 经测算，ABD 区城每平方公里的绿化费用是ACD 区域的两倍，试确定 x, y 的值 , 使得所需的总费用最少.13. 已知的内角， ，C所对的边分别为， ， sin =2sin， 2=3 .ABCA Ba b cAC bc（ 1） cos C；（ 2）若 B 的平分
6、线交 AC于点 D，且 ABC的面积为 3 15 ，求 BD的长 . 414. 已知函数f (x)sin2 x2sin x cos x3cos 2 x ， xR. 求 :（ 1）函数 f (x) 的最小值和图像对称中心的坐标；（ 2）函数 f (x) 的单调增区间15. 已知函数f (x)2cos x(sin xcos x)1， xR （ 1）求函数 f (x) 的单调递增区间；（ 2）将函数 y f (x) 的图象向左平移 个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来4的 2 倍，纵坐标不变，得到函数yg( x) 的图象，求g( x) 的最大值及取得最大值时的x的集合16. 在 ABC中， A
7、，B， C所对的边分别为 a， b， c，且2a sin A2bc sin B2cb sin C .（1）求角 A 的大小；（2）若 a1025BD的长， cos B， D为 AC的中点，求517. ABC 的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知b cos A3ac 3（ 1）求 cosB ；（2）如图，D为外一点，若在平面四边形中，ABCABCDD 2 B ，且 AD1 ， CD3 ， BC6 ，求 AB的长【试卷答案】1. 解：（ 1）在 ABD 中，由正弦定理得BDAB.sinA sin ADB由题设知，52，所以 sinADB2sin 45s
8、inADB.5由题设知， ADB90，所以 cos ADB2231.2552（2）由题设及（1）知， cosBDCsinADB.5在 BCD 中，由余弦定理得BC2BD 2DC 22 BD DC cos BDC25825222525 .所以 BC5 .2. （）因为 c cos A b cosC b ，由正弦定理，得sin C cos A sin B 1cosC ，即 sin Bsin C cos A sin B cosC sinACsin A cosC cos A sin C ，4分所以 sin BcosC sin A cosC ，故 cosC0或 sin A sin B 5 分当 cosC
9、0 时， C2，故 ABC 为直角三角形；当 sin Asin B 时， AB ，故 ABC 为等腰三角形7 分（）由（）知 c2， A B ，则 ab，9 分因为 C，所以由余弦定理，得4 a2a22a2 cos ，66解得 a28 4 3 ， 12分所以 ABC 的面积 S1 a2 sin23 14 分263. （ 1）在 ABC 中，由正弦定理知abc2Rsin Asin Bsin C又因为 2abcosC c cosB所以 2sinAcosC sinBcosCcosBsinC ，即 2sinAcosC sinA 4分 0A, sin A 01 6 分 cosC2 0C C 8 分3（2
10、） S ABC1 absinC3 ab4 10 分2又 c2a2b22abcosCa2b3ab a216 a b4b周长为 6. 14分4. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等【试题简析】解：（）由正弦定理结合已知条件可得a abc2b2 ， .2 分所以 a2b2c2ab ，.3 分所以 cosCa2b2c2ab15 分2ab2ab， .2又0 CC.6 分，所以3（）由（）可得a2b2c2ab ，所以 c2a2b2aba27 分b3ab ， .又 a bc6
11、 ，所以 c6ab ， 6 a2ab2b3ab ，所以 a bab12， .8 分4又 abab ，2所以 abab122ab ，9 分.4ab2ab 60 ，所以 0ab4或 ab36 （不合，舍去）， . .10 分所以 S ABC13ab3 ， .11 分ab sin C42当且仅当 ab 2 时等号成立，所以ABC 的面积的最大值为3 .12 分【变式题源】（ 2016 全国卷理17）ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，已知2 cosC ( acos Bb cos A)c （）求 C ；（）若 c7 ，ABC 的面积为3 3 ，求ABC 的周长25. 【命题意图
12、】本小题主要考查正弦定理, 余弦定理等式等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考査数学抽象，数学运算等.【试题简析】（） ABC ， sin( AB)sin C ， absin Ccbsin Asin B由正弦定理有：absin Ccb， abcb，cbsin Asin Bacb a因此有： a2b2c2bc ，由余弦定理得b2c2a21(0, ) C，cos A2bc， C32a2b2c2bc,32c2，（）解法一：由（1）可得a3,得bbc1b2c2，cb1,2bc解得： :1b1c.2解法二：由（）得abc, 又因为 a3，cb1a；cbb所以 a2b2c
13、 ，则有3b2c ，由 3b2c, , 得： b2b20 ，解得 b1， c 2 .cb1,6. 解：（） 因为 f xsinxcos x3 cos2x222sin x cos x3 cos2 x1 sin x3 cos x3222222sinx+3 4分32所以 fx的最小正周期T2 .6 分（） 因为 x,0，所以 x+2,.333所以当 x，即 x0 时，函数 f (x) 取得最大值 sin +33.3233当 x，即 x5时，函数 f ( x) 取得最小值331+.262所以 fx 在区间,0 上的最大值和最小值分别为3 和1+3 .213 分7. （ 1）由正弦定理可得：3sin A
14、 cosC2sin B cos A3 sin C cos A .从而可得：3sinAC2sin B cosA ，即3 sin B2sin B cos A3又 B 为三角形内角，所以sin B0 ，于是 cos A，2又 A 为三角形内角，所以A.6（2）由余弦定理：a2b2c22bc cos A得： 4b2c22bc32bc 3bc ，2所以如 bc 4 23 ，所以 S ABC1 bc sin A23 ，ABC 面积的最大值为223. .8. （ 1）在ABD 中，由余弦定理得：c2m21 a2macosADB ， 4在 ACD 中，由余弦定理得：b2m21a2macosADC ， 4因为A
15、DBADC，所以 cosADBcos ADC 0 ，+得： b2c22m21 a2 ， 4 分2即 m21b21c21a2 ， 代入已知条件 a22bc4m2 ，224得 a22bc2b22c2a2 ，即 b2c2a2bc ， 6分cosBACb2c2a21 ，2bc2又 0A，所以BAC. 8分3（2）在ABC 中由正弦定理得abc，又 a 2，sinBsinCsin3所以 b4 3 sinB ， c43 sinC43 sin2B ，3333 abc243 sinB4 3 sinC4sinB2 ， 10分336ABC 为锐角三角形，BAC30B2B, 12 分0C622 B63, 2， si
16、n B63 ,132 ABC周长的取值范围为22 3,6 16 分9. （ 1） f ( x)2sin x14 cos2 x4(sin xcos x) 2（ 1 分）4222 sin xcos2x1sin xsin2 x2 sin x （3 分）（2）设函数 yf (x) 的图象上任一点Mx0 , y0关于原点的对称点为 N x, y，则 x0x, y0y ，（ 4 分）点 M在函数yf ( x) 的图象上ysin 2 (x)2 sin(x), 即 g( x)sin 2 x2sin x （ 7 分）（3） h( x)(1) sin 2 x2(1 ) sin x 1,(1 t1)则有 ()(1)
17、t22(1)t1,(1t1)（ 8 分）h t当时， h(t )4t1在1,1 上是增函数，1（ 9 分）1当1时， h(t ) 的对称轴为t1.1（）当1时， 11，解得1；（ 10 分）1（）当1时， 11 ，解得10 . （ 11分）1综上可知，0 . （ 12 分）10.(1)f ( x) a b( 3 sin x, mcos x) (cos x,mcosx)即 f (x)3 sin x cos xcos2xm2(2)f ( x)3 sin 2x1cos 2xm222sin(2 x6)1m22由 x6,2x66, 5,sin(2 x)1 ,1 ,366211m24,m222f (x)m
18、ax1121, 此时 2 x6, x.222611. （ 1）由abcab cosC c sin BcosC sin Bsin B得：cosC sin B，cosCsin B cosCa b cosCc sin B ，即 sin A sin B cosCsin C sin B ， cosBsin B ， B；4由 sin ABsin A cosAcos A B2sin A cos Asin Acos A ，令 t sin Acos A，原式1t 22t1，22当且仅当 A时，上式的最大值为542（2） S1 ac sin B2 ac, b2a2c22ac cos B ，即242 a2c22ac
19、22ac, ac22 ，当且仅当 ac2 2 等号成立；21SMAX，2周长 Labc2222 12. 【命题意图】本题考查本题考查解三角形、三角形面积公式、基本不等式等基础知识；考查应用意识、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学抽象，数据处理等 .【试题简析】( ) 解法一：由题意得 S ABCS ADCS ABD ，故 1 ACAB sinBAC1 AC AD sinDAC1 AD AB sinBAD ，222即 1 xy sin1201 y sin 601 x sin 60，222所以 xy yx ( 其中 0 x 5, 0 y 5 ).解法二：在ACD 中，由余弦
20、定理得：CD 2y2122y cos6022y 1 ，则 CDy2y1 ，同理可得 BDx2x 1 ，在 ACD 中，由正弦定理得：yy2y1sin ADCsin 60，在 ABD 中，由正弦定理得：xx2x1 ，sin ADBsin 60因为 sinADCsinADB ，两式相除可得y x2x1x y2y1 ，化简得 xyyx ( 其中 0x5 ， 0y5 ).( ) 设 ACD 区域每平方公里的绿化费用为t( t 为常数 ) ，两区域总费用为P ，则有 P1 x sin 60 2t1 y sin 60 t3 t(2 xy) ，224记 u 2xy ，由 ( ) 可知 xyy x ，即 11
21、1，xy则 u 2xy(2 x y)( 11 )y 2x 3 2y 2x32 23，xyxyxy当且仅当 y2x ，即y2x，x12, 此时等号成立 .xy2解得xyxyy，y12,x答：当 x1212( 单位：公里 ) 时 ,所需的总费用最少 .， y213. 解 : （ 1）因为 sin A2sin C ，所以 a2c.232c2c2b222c7于是， cos Cac2.2ab3822cc2（2）由 cos C7 可得 sin C15.88设 ABC 的面积为 S ， S1absin C12c3c153 15 ，22284 c24,c 2 . 则 a 4,b 3 . BD 为B 的平分线，aCD2 ， CD2 AD .cAD又 CDAD3 . CD2, AD1 .在 BCD 中 , 由余弦定理可得22276 ， BD6 .BD4 2 2 4 2814.f ( x)1 cos 2 x3(1 cos 2 x)1sin 2 xcos2 x22 sin