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1、东北石油大学研究生数理统计第八讲,假设检验,假设检验,参数检验,非参数检验,数学期望,方差,(U检验法),(t 检验法),2检验法,(单正态总体),F检验法,(双正态总体),分布检验,独立性检验,东北石油大学研究生数理统计第八讲,1 假设检验的基本概念,2. 假设检验的相关概念,3. 假设检验的一般步骤,1. 假设检验的基本原理,东北石油大学研究生数理统计第八讲,1. 假设检验的基本原理,在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不 知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性质, 提出 某些关于总体的假设.,假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断: 是接受, 还是拒绝.,例如,提出总体服从泊松
2、分布的假设;,东北石油大学研究生数理统计第八讲,先提出假设H0 , 再根据一次抽样所得到的样本值进行计算. 若导致小概率事件发生，则否认假设H0 ; 否则，接受假设H0 .,（1）基本原理,小概率推断原理：,小概率事件(概率接近0的事件)，在一次试验中，实际上可认为不会发生.,（2） 基本思想方法,采用概率性质的反证法：,下面结合实例来说明假设检验的基本思想.,东北石油大学研究生数理统计第八讲,例1,某厂有一批产品，共有200件，需检验合格才能出厂. 按国家标准，次品率不得超过3%. 今在其中随机地抽取10件，发现其中有2件次品，问：这批产品能否出厂?,问题：,次品率是否3%?,解,用假设检验
3、法，步骤：,1 提出假设 H0:,其中 p为总体的次品率.,2 设,= 抽取的10件产品中的次品数 ,东北石油大学研究生数理统计第八讲,3 在假设 H0成立的条件下，计算,东北石油大学研究生数理统计第八讲,4 作判断,由于在假设 H0成立的条件下，Y=2是小概率事件，而实际情况是：小概率事件竟然在一次试验中发生了，这违背了小概率原理，是不合理的，故应该否定原假设H0 ，认为产品的次品率 p 3% .,所以，这批产品不能出厂.,东北石油大学研究生数理统计第八讲,某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5公斤, 标准差为0.015
4、公斤.,分析:,例2,某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(公斤): 0.497, 0.506, 0.518, 0.524 , 0.498, 0.511, 0.520, 0.515 , 0.512, 问机器是否正常?,由长期实践可知, 标准差较稳定,问题: 根据样本值判断,东北石油大学研究生数理统计第八讲,1 提出两个对立假设,解,2,东北石油大学研究生数理统计第八讲,东北石油大学研究生数理统计第八讲,3 在假设 H0成立的条件下，由样本计算,于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.,东北石油大学研究生数理统计第八讲,2. 假设检验的相关概念,(1) 原
5、假设与备择假设,假设检验问题通常叙述为:,原假设,备择假设,(2) 检验统计量,用于检验假设的统计量，称为检验统计量.,如：对于例2,东北石油大学研究生数理统计第八讲,（3） 显著性水平,(4) 拒绝域与临界点,拒绝域W1:,拒绝原假设H0的所有样本值(x1, x2, , xn)所组成的集合.,拒绝原假设H0的检验统计量的取值范围.,临界点(值)：拒绝域的边界点(处的检验统计量的值).,东北石油大学研究生数理统计第八讲,当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出了拒 绝H0的判断, 称为第一类错误, 其发生的概率成为拒真概率.,（5） 两类错误,假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中
6、很难 发生, 但“很难发生”不等于“不发生”, 因而假设检验所作 出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类:,当原假设H0不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了 接受H0的判断, 称为第二类错误, 其概率称为受伪概率.,东北石油大学研究生数理统计第八讲,例：检验某种新药的疗效。,H0：该药未提高疗效； H1：该药提高了疗效。,第一类错误： （弃真）,本来无效，但结论为有效，此时若推 广此药，对患者不利。,第二类错误： （存伪）,本来有效，但结论为无效，此时若不 推广此药，会带来经济上的损失。,东北石油大学研究生数理统计第八讲,假设检验的两类错误（概率）,注意：拒绝H0，只可能犯型错误； 接受
7、H0，只可能犯型错误错误。,东北石油大学研究生数理统计第八讲,假设检验的两类错误（概率）,1 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错 误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大.,2 若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.,注,东北石油大学研究生数理统计第八讲,（6） 显著性检验,只对犯第一类错误的概率加以控制，而不考虑犯 第二类错误的概率的检验，称为显著性检验。,如例2,东北石油大学研究生数理统计第八讲,（7）双侧假设检验,东北石油大学研究生数理统计第八讲,（8）单侧检验(右侧检验与左侧检验),右侧检验与左侧检验统称为单侧检验.,东北石油大学研究生数理统计第八讲,3. 假设检验
8、的一般步骤,根据实际问题的要求，提出原假设H0及备择假设H1 ；,选择适当的检验统计量，在H0成立的条件下，确定,给定显著性水平，确定拒绝域W1；,根据样本观察值计算统计量的值；,根据统计量值是否落入拒绝域W1中，作出拒绝或者,接受H0 的判断。,它的概率分布；,东北石油大学研究生数理统计第八讲,2 正态总体参数假设检验,二、 假设检验与置信区间的关系,一、 单个正态总体均值的检验,四、 两个正态总体均值差的检验,三、 单个正态总体方差的检验,五、 两个正态总体方差比的检验,东北石油大学研究生数理统计第八讲,设 是来自 的样本，考虑关于 的检验问题。,(1) H0： 0 vs H1： 0； (
9、2) H0：0 vs H1： 0； (3) H0：= 0 vs H1： 0；,一、 单个正态总体均值的检验,东北石油大学研究生数理统计第八讲,设总体 ， 为样本，方差 已知，则,（一） 方差已知时正态总体均值的u检验,东北石油大学研究生数理统计第八讲,1. 已知正态总体均数 的双侧检验,检验步骤为：,(1)建立假设:,(2)在H0成立的条件下，构造检验统计量,(4)统计判断：,拒绝H0，接受H1；,拒绝H1，接受H0。,双侧,东北石油大学研究生数理统计第八讲,某药厂正常情况下生产的某药膏含甘草酸量 XN（4.45，0.1082）.现随机抽查了5支药膏,其含 甘草酸量分别为： 4.40 4.25
10、 4.21 4.33 4.46 若方差不变，问此时药膏的平均含甘草酸量 是否 有显著变化？（=0.05）,解：,例1,建立假设,计算统计量：,东北石油大学研究生数理统计第八讲,根据显著水平=0.05，查正态分布双侧临界值,查表得：,做出统计判断,所以拒绝H0，接受H1。 可以认为此药膏的平均 含甘草酸量有显著变化.,东北石油大学研究生数理统计第八讲,取显著性水平为 ，现在来求这个问题的拒绝域.,因为 中的 全部都比 中的要小,从直观上看, 较合理的检验法应是：若观测值 与 的差 过分大，即 , 则我们拒绝 而接受 ， 因此拒绝域的形式为 （k 待定）.,2. 已知正态总体均数 的右侧检验,（1
11、）选择检验统计量,东北石油大学研究生数理统计第八讲,（1）选择检验统计量,（2）对给定检验水平,（3）,东北石油大学研究生数理统计第八讲,取显著性水平为 ，现在来求这个问题的拒绝域.,H0 : 0 vs H1 : 0,因为 中的 全部都比 中的要大,从直观上看, 较合理的检验法应是：若观测值 与 的差 过分小，即 , 则我们拒绝 而接受 。,3. 已知正态总体均数 的左侧检验,东北石油大学研究生数理统计第八讲,（1）选择检验统计量,（3）,（2）对给定检验水平,东北石油大学研究生数理统计第八讲,关于的检验, 0, 0, 0, 0, 0, 0,U 检验法 (2 已知),东北石油大学研究生数理统计
12、第八讲,例2一药厂生产的药品的某项指标服从正态分布 N(60，42).经工艺革新后，随机抽取容量为30的样本， 算得样本均值为64.如果方差不变，能否认为工艺革 新提高了药品该项指标的均值 ?(=0.01),分析：,建立假设:,解:,计算统计量：,东北石油大学研究生数理统计第八讲,根据显著水平=0.01，查正态分布临界值表；,做出统计判断,所以拒绝H0，接受H1。 可以认为工艺革新提 高了药品该项指标的 均值。,查表得：,东北石油大学研究生数理统计第八讲,（二） 方差未知时正态总体均值的 t 检验,设总体 ， 为抽自总体X的 样本，方差 未知，则,东北石油大学研究生数理统计第八讲,检验步骤为：
13、,（1）建立假设,（2）在H0成立的条件下，构造检验统计量,（4）统计判断：,拒绝H0，接受H1；,接受H0，拒绝H1。,（双侧）,东北石油大学研究生数理统计第八讲,关于的检验, 0, 0, 0, 0, 0, 0,t 检验法 (2 未知),东北石油大学研究生数理统计第八讲,例3 正常人的脉搏平均为72（次/min）,现测得20 例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏(次/min)的均值 是63.50，标准差是5.60，若四乙基铅中毒患者的脉 搏服从正态分布，问四乙基铅中毒患者的脉搏是否 与正常人不同？（=0.05）,分析：,建立假设,解:,双侧,东北石油大学研究生数理统计第八讲,计算统计量：,根据显著水
14、平=0.05，查t分布临界值表，,查表得：,做出统计判断,所以拒绝H0，接受H1。,分析：,四乙基铅中毒患者的脉搏与正常人不同.,东北石油大学研究生数理统计第八讲,二、假设检验与置信区间的关系,这里用的检验统计量与置信区间所用的枢轴量 是相似的。这不是偶然的，两者之间存在非常 密切的关系。,设 是来自正态总体 的样本，现 在 未知场合讨论关于均值 的检验问题。 考虑双侧检验问题:,东北石油大学研究生数理统计第八讲,它可以改写为,并且有,若让0 在(- )内取值，就可得到 的1- 置信区间：,这里0并无限制.,则水平为 的检验接收域为,东北石油大学研究生数理统计第八讲,关于 的水平为 的显著性检
15、验。,是一一对应的。,类似地，“参数 的1- 置信上限”与“关于,的单侧检验问题的水平 的检验”,反之若有一个如上的1- 置信区间，也可获得,“正态均值 的1- 置信区间”与“关于 的双侧检验问题的水平 的检验”,参数 的1-置信下限与另一个单侧检验也是一一对应的。,是一一对应的。,东北石油大学研究生数理统计第八讲,三、均值未知，单个正态总体方差的 检验,设总体 ， 为抽自总 体X的样本，总体均值 和方差 未知，则,双侧检验,东北石油大学研究生数理统计第八讲,东北石油大学研究生数理统计第八讲,东北石油大学研究生数理统计第八讲,东北石油大学研究生数理统计第八讲,检验法,关于 2 的检验,东北石油
16、大学研究生数理统计第八讲,四、两个正态总体均值差的假设检验,东北石油大学研究生数理统计第八讲,东北石油大学研究生数理统计第八讲,东北石油大学研究生数理统计第八讲,例7.2.3 某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而 试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件， 为此，从两种铸件中各抽取一个容量分别为 8和9的样本，测得其硬度为,镍合金： 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34,铜合金： 73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61,根据经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变。 试在显著性水
17、平=0.05下判断镍合金的硬度是否有明显提高。,东北石油大学研究生数理统计第八讲,解：用X 表示镍合金的硬度，Y 表示铜合金的硬 度，则由假定，,要检验的假设是：,经计算，,从而,查表知,由于,故拒绝原假设，可判断镍合金硬度有显著提高。,东北石油大学研究生数理统计第八讲,五、两个正态总体方差比的假设检验,东北石油大学研究生数理统计第八讲,东北石油大学研究生数理统计第八讲,例7.2.5 甲、乙两台机床加工某种零件，零件 的直径服从正态分布，总体方差反映了加工 精度，为比较两台机床的加工精度有无差别， 现从各自加工的零件中分别抽取7件产品和8 件产品，测得其直径为,这就形成了一个双侧假设检验问题，原假设是 备择假设为 此处 m=7，n=8，经计算,查表知,于是 ，若取 =0.05，,其拒绝域为,由此可见，样本未落入拒绝域，即在0.05水平下可以认为两台机床的加工精度一致。,