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1、数数 列列 一、基本概念 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数 +1nn 数列的项、数列的项数 表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式 通项公式：不是所有的数列都有通项公式 符号控制器：如（1）、（1） 递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式 2 2 2 有穷数列：项数有限的数列 无穷数列：项数无限的数列 递增数列：从第项起，每一项都不小于它的前一项的数列 数列分类 递减数列：从第项起，每一项都不大于它的前一项的数列 常数列：各项相等的数列 摆动数列：从第项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 二、等差数列：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个
2、常数，这个常数称为等 差数列的公差 1 ,2 nn aad nnZ 且，或 1 ,1 nn aad nnZ 且 1、若等差数列 n a的首项是 1 a，公差是d，则有 1 1 1 1 1 1 nm nnm n aandanm dknb aaaa d nnm aa n d 性质： 23 22 ,+ + npq n mnpq nmm kmkmk nnnnn aaab npqaaa a mnpqaaaa aaaaa abaab 等差中项：三个数，G ，b组成的等差数列，则称G 为与b的等差中项2G = 若是等差数列，则 若是等差数列，则、构成公差公差kd的等差数列 若、是等差数列则、是等差数列 2
3、、 等差数列的前n项和的公式： 12 1 1 22 n n n aan n Snadpnqn 等差数列的前n项和的性质： （1） * 21 1 * 21 2 21211 1 nnn n n n nnnn SSnd n nSn aaSa Sa SSa nnSnaSna SnaS n Sn 偶奇 奇 偶 奇偶 奇偶奇 偶 若项数为，则， 若项数为，则， （2） 232 SSS ,SS S mmmmm n n ，成等差数列 是等差数列 若等差数列 n a, n b的前 n 项和为, nn S T,则 12 12 n n n n T S b a （3）等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公
4、式求临界项法） 若 0 0 1 d a ，则 n S有最大值，当 n=k 时取到的最大值 k 满足 0 0 1k k a a 若 0 0 1 d a ，则 n S有最小值，当 n=k 时取到的最大值 k 满足 0 0 1k k a a 三、等比数列：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常数称为等 比数列的公比 1、通项公式及其性质 若等比数列 n a的首项是 1 a，公比是q，则 1 1 1 1 , nn m nm nn m nn m aa qa q aa qq aa 2 2 23 2 npq n mnpq k mm kmkmk aaGab npqaaa a mnpqaaaa
5、 aaaaq ，G ，b成等比数列，则称G 为与b的等比中项 性质：若是等比数列，则 、成公比的等比数列 2、前 n 项和及其性质 1 1 11111 1 ,(1) 1 ,1 11111 n n n nn n na qq S aq aa qaa qaa qAqA q qqqqq 232 232 2 SSS ,SS n n mnm nnnnn mmmmm SSqS SSSSS S nq S 偶 奇 、成等比数列 性质 若项数为，则 ，成等比数列 四、(1) n a与 n S的关系： 1 1 1 ; 2 n nn Sn a SSn （检验 1 a是否满足 1nnn aSS ） (2) 2222 2
6、2 3333 (1) 123 2 (1)(2) 123 6 (1) 123 4 n n n n nn n n n n 五、数列题的一些方法 1、等差数列、等比数列的最大项、最小项；前 n 项和的最大值、最小值 2、求通向公式的常见方法 （1）观察法；待定系数法（已知是等差数列或等比数列） ； （2） 1 ( ), nn aaf n 累加消元; 1 ( ), n n a f n a 累乘消元。 （3） 1 1 11 ,() n n nnn a ak akaa 倒数构造等差:； 11 1 11 ,(1) nnnn nn aaa a aa 两边同除构造等差:； （4） 1 , nn akab 化为
7、1 ()() nn axk ax 构造等比 11 ,1 nnnn aqapnraxnyq ax ny （构造等比数列：） 1 n nn aqap ，化为 1 1 1 nn nn aaq pp p ，分 q p 是否等 1 讨论。 3、求前 n 项和的常见方法 公式法、倒序相加、错位相减、列项相消、分组求和、合并求和、其他方法 一般数列 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数 +1nn 数列的项、数列的项数 表示数列的第n项与序号n之间的关系的公式 通项公式：不是所有的数列都有通项公式 符号控制器：如（1）、（1） 递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式 例例 1、观察下列数列
8、寻找规律并写出通项公式 1、3，33，333，3333， 1 (101) 3 n n a 2、 1 1*2 ， 1 2*3 ， 1 3*4 ， 1 4*5 n a= ( 1) (1) n n n 3、 2 21 2 ， 2 31 3 ， 2 41 4 ， 2 51 5 n a= 2 (1)1 1 n n 4、-1，1，-1，1， ( 1)n n a 或 1() 1() n n a n 为奇数 为偶数 5 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在数列 55,34,21, 8 , 5 , 3 , 2 , 1 , 1x
9、中，x等于（ ） A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 11 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 12 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 13 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 14 练一练：解方程： 解：解：显然成等差数列，故可设 (1)2-(
10、2)2得 -2(3x+2)= -2(3x+2)d 解得d=1 或 当d=1 时，代入(1)解得是增根，舍去 符合题意，是原方程的根 等差数列及其前等差数列及其前 n n 项和项和 一、等差数列知识点一、等差数列知识点 1定义：定义：)()( 1 Nndaa nn 常数 例例 1求通项公式：1，3，5，7； 答案：答案： n a=21n 例例 2(2009 年辽宁卷)已知an为等差数列，且 a72a41，a30.则公差 d() A2B 1 2 C. D2 1 2 解析：解析：a72a4a34d2(a3d)2d1d . 1 2 答案答案：B 练一练：练一练：1.在等差数列an中，a37，a5a26
11、，则 a6_. 2.等差数列 n a中, ,33, 9 52 aa则 n a的公差为_ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2通项通项：dnaan) 1( 1 ，推广：dmnaa mn )( 例例 1:设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a6S312，则 an_. 解析：解析：由 a6S312 可得an的公差 d2，首项 a12，得 an2n. 答案：答案：2n 3前前 n 项的和：项的和：d nn na aan S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 例例 1.已知等差数列an中，a3a716，a4
12、a60，求an前 n 项和 Sn. 解析：解析：设an的公差为 d，则Error! 即Error!解得Error!或Error! 因此 Sn8nn(n1)n(n9)， 或 Sn8nn(n1)n(n9) 例例 2.等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S36，a14，则公差 d() A1 B. 5 3 C2 D3 解析：解析：S363a26a22，da2a12.选 C. 答案：答案：C 练一练:1.两个等差数列 , nn ba, 3 27 . . 21 21 n n bbb aaa n n 则 5 5 b a =_ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头
13、 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2.设 n S是等差数列 n a的前n项和，若 5 3 5 9 a a ，则 9 5 S S （ ） 4等差中项：等差中项：若 a、b、c 等差数列，则 b 为 a 与 c 的等差中项:2b=a+c 例例 1.等差数列an的公差不为零，首项 a11，a2是 a1和 a5的等比中项，则数列的前 10 项之和是() A90 B100 解析：解析：设公差为 d，则(1d)21(14d)d0，解得 d2，S10100. 答案：答案：B 例例 2.等差数列9,27,39, 963741 前则数列中 nn aaaaaaaa项的和 9 S（ ） A 头 头 头 头
14、头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 66 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 99C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 144D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 297 解析解析: : 1473694646 39,27,339,327,13,9aaaaaaaaaa 91
15、946 999 ()()(139)99 222 Saaaa 答案答案: :B 练一练:1.在等差数列 n a中, , 1 . 3, 3 . 0 125 aa求 2221201918 aaaaa的值 2.数列 n a是等差数列， 4 7a ，则 7 s _(49) 3.已知为等差数列， 135246 105,99aaaaaa ，则 20 a 等于（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D.7 4.设 n S是等差数列 n a的前 n 项和，已知 2 3a ， 6 11a ，则 7 S等于( ) A13 B35 C49 D 63 5简单性质简单性质:（1）若 qpnm aaaaqpnm则, （2）
16、 , 2mnmnn aaa 组成公差为md的等差数列. （3） , 232nnnnn SSSSS组成公差为dn2的等差数列. （4）单调性： 0d 时为递增数列， 0d 时为递减数列， 0d 时为常 （5）an是等差数列an=an+b 或 Sn=an2+bn （6）若项数为 2n(nN)，则 S偶-S奇=nd ； S偶 / S奇= an+1/ an 若项数为 2n-1(nN)，则 S奇-S偶=an ； S奇 / S偶=n / (n-1) 例例 1.已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以 Sn表示an的前 n 项和， 则使得 Sn达到最大值的 n 是() A21 B20 C
17、19 D18 解析：解析：由 a1a3a5105 得 3a3105，即 a335，由 a2a4a699 得 3a499， a433，d2，ana4(n4)(2)412n，由Error!得 n20，选 B. 答案：答案：B 练一练：1.已知 n a是等差数列， 12 4aa， 78 28aa，则该数列前 10 项和 10 S等 于（ ） A64 B100 C110 D120 2.已知 * 2 () 156 n n anN n ，则在数列 n a的最大项为_ 。 3.数列 n a的通项为 1 bn an an，其中ba,均为正数，则 n a与 1n a的大小关系 为 。 4.已知数列 n a中，
18、2 n ann，且 n a是递增数列，求实数的取值范围； 5.设等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 3 12a ， 12 S0， 13 Sa k+1对任 意大于等于 k 的自然数都成立,若存在求出最小的 k 值,否则请说明理由. 3.设等差数列 n a的前项的和为 S n ,且 S 4 =62, S 6 =75,求： （1） n a的通项公式 a n 及前项的和 S n ； （2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+|a 14 |. 练习答案练习答案 1.1.(1) P)0 , 1( 1 011, 0, 1 211 aba 2, 2 122 bbb 11 (1) 1112,(1)
19、 222 nn aannnbbnn (2)若k为奇数 若k为偶数 则 2 k f kak 则 22f kk 5 285 k f kbk 35f kk 28242kk 3442kk 无解 3k (舍去)无解 这样的k不存在来源:Z*xx*k.Com （3） 1 (2 1,22)(1,22) n p pnnnn 2 222 1 (1)4(1)5(1) n p pnnn 2222222 12113 1111 1111 1111 5 12(1)5 11 22 3(2)(1) n nnn p pp pp p = 11 1 1 51n 2 5 1 1 1 5 ( n2,1 1n 且 * nN) 所以,结论
20、成立. 2.分析：分析：证 n S 1 为等差数列，即证 d SS nn 1 11 （d 是常数） 。 解：解：由已知当2n 时 1 111 11 11 2()111 2:2()(2).1(2) 2 11111 , 32 nn nnnnnnn nnnn n SS aSSSSSSnn S SSS d SSa 得 是以为首项公差的等差数列。 1 1111536 (1)(1)(),(2) 32653 n n n ndnSn SSn 1 3(1) 118 (2) 18 2(35)(38) (2) (35)(38) nnnn n aSSna nn n nn 从而，因此 1 1 258 0,(32)(35
21、)(38)03, 333 3,3 kk kk aakkkkkk aa 令即，可得或。故只需取则对 大于或等于的一切自然数总有成立这样的自然数存在最小值。 等比数列及其前等比数列及其前 n n 项和项和 一等比数列的定义：一等比数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个常 数称为等比数列的公比 例例. .观察下面数列写出通项公式： 1.8，16，32，64，128，256， 2.1，1，1，1，1，1，1， 3.243，81，27，9，3，1， ， ， 4.1，1，1，1，1，1，1，1， 5.1，10，100，1000，10000，100000， 6.0，0，0，0，0
22、，0，0， 2通项公式及其性质：通项公式及其性质：若等比数列 n a的首项是 1 a，公比是q 则 1 1 1 1 , nn m nm nn m nn m aa qa q aa qq aa 等比数列的通项公式的推导：等比数列的通项公式的推导： 不完全归纳法不完全归纳法 . 叠乘法叠乘法 ， ， ，这 个式子相乘得 ，所以 . 例例 1.(2008 年全国卷)已知等比数列an满足 a1a23，a2a36，则 a7() A64 B81 C128 D243 解析：解析：由 a2a3q(a1a2)3q6， q2，a1(1q)3，a11， a72664. 答案：答案：A 练一练.1.已知函数 f(x)2
23、x3，数列an满足：a11 且 an1f(an)(nN*)，则该数列 的 通项公式为_ （an2n13） 2 2 23 2 npq n mnpq k mm kmkmk aaGab npqaaa a mnpqaaaa aaaaq ，G ，b成等比数列，则称G 为与b的等比中项 性质：若是等比数列，则 、成公比的等比数列 、 例例 1.已知等比数列an中 a21，则其前 3 项的和 S3的取值范围是() A(，1 B(，0)(1，) C3，) D(，13， ) 解析：解析：等比数列an中 a21，S3a1a2a3a2(1q )1q . 1 q 1 q 当公比 q0 时，S31q 12 3； 1 q
24、 q1 q 当公比 q2)中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两 个部分，证明：这两部分之和不可能相等 3(2009 年湖北卷)设 xR，记不超过 x 的最大整数为x，令xxx，则 ， 51 2 ，() 51 2 51 2 A是等差数列但不是等比数列 B是等比数列但不是等差数列 C既是等差数列又是等比数列 D既不是等差数列也不是等比数列 4.(2009 年辽宁卷)等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2成等差数列 (1)求an的公比 q； (2)若a1a33，求Sn， 数列通项公式的十种求法数列通项公式的十种求法 一、公式法一、公式法 例例 1 已知数列 n a满足 1 2
25、3 2n nn aa ， 1 2a ，求数列 n a的通项公式。 解： 1 23 2n nn aa 两边除以 1 2n，得 1 1 3 222 nn nn aa ，则 1 1 3 222 nn nn aa ，故数列 2 n n a 是以1 2 2 2 a 1 1 为首项，以 2 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 3 1 (1) 22 n n a n ，所以数列 n a的通项公式为 31 ()2 22 n n an。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 23 2n nn aa 转化为 1 1 3 222 nn nn aa ，说明数 列 2 n n a 是等差数列，再直接利用等差
26、数列的通项公式求出 3 1 (1) 22 n n a n ，进而求出数 列 n a的通项公式。来源:学#科#网 Z#X#X#K 二、累加法二、累加法 例例 2 已知数列 n a满足 11 211 nn aana ，求数列 n a的通项公式。 解：由 1 21 nn aan 得 1 21 nn aan 则 11232211 2 ()()()() 2(1) 1 2(2) 1(2 2 1)(2 1 1) 1 2(1)(2)2 1(1) 1 (1) 2(1) 1 2 (1)(1) 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列 n a的通项公式为 2 n an。 评注
27、：本题解题的关键是把递推关系式 1 21 nn aan 转化为 1 21 nn aan ，进而 求出 11232211 ()()()() nnnn aaaaaaaaa ，即得数列 n a的通项公式。 例例 3 已知数列 n a满足 11 2 313 n nn aaa ，求数列 n a的通项公式。 解：由 1 2 31 n nn aa 得 1 2 31 n nn aa 则 11232211 1221 1221 1 ()()()() (2 31)(2 31)(2 31)(2 31)3 2(3333 )(1)3 3(1 3) 2(1)3 1 3 331 3 31 nnnnn nn nn n n n
28、aaaaaaaaaa n n n n 所以31. n n an 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 2 31 n nn aa 转化为 1 2 31 n nn aa ， 进而求出 11232211 ()()()() nnnnn aaaaaaaaaa ，即得数列 n a的 通项公式。 例例 4已知数列 n a满足 11 32 313 n nn aaa ，求数列 n a的通项公式。 解： 1 32 31 n nn aa 两边除以 1 3n，得 1 11 21 3333 nn nnn aa ， 则 1 11 21 3333 nn nnn aa ，故 11223211 22321 11 122 12
29、2 ()()()() 33333333 212121213 ()()()() 333333333 2(1)11111 () 1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此 1 1 (1 3) 2(1)211 3 1 331 3322 3 n n n nn ann ， 则 211 33. 322 nn n an 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 32 31 n nn aa 转化为 1 11 21 3333 nn nnn aa ， 进而求出 11223211 1122321 ()()()() 333333333 nnnnnn nnn
30、nnn aaaaaaaaa ，即得数列 3 n n a 的通项公式，最后再求数列 n a的通项公式。 三、累乘法三、累乘法 例例 5 已知数列 n a满足 11 2(1)53 n nn anaa ，求数列 n a的通项公式。 解：因为 11 2(1)53 n nn anaa ，所以0 n a ，则 1 2(1)5n n n a n a ，故 132 1 1221 1221 1(1) (2)2 1 (1) 1 2 2(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 3 2 (1)3 2 53 3 25! nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n
31、 n 所以数列 n a的通项公式为 (1) 1 2 3 25!. n n n n an 评注：本题解题的关键是把递推关系 1 2(1)5n nn ana 转化为 1 2(1)5n n n a n a ，进而 求出 132 1 1221 nn nn aaaa a aaaa ，即得数列 n a的通项公式。 例例 6 已知数列 n a满足 11231 123(1)(2) nn aaaaanan ，求 n a的 通项公式。 解：因为 1231 23(1)(2) nn aaaanan 所以 11231 23(1) nnn aaaanana 用式式得 1 . nnn aana 则 1 (1)(2) nn
32、ana n 故 1 1(2) n n a nn a 所以 13 222 122 ! (1)4 3. 2 nn n nn aaan aan naa aaa 由 1231 23(1)(2) nn aaaanan ， 212 22naaa取得，则 21 aa，又 知 1 1a ，则 2 1a ，代入得 ! 1 3 4 5 2 n n an 。 所以， n a的通项公式为 !. 2 n n a 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 (1)(2) nn ana n 转化为 1 1(2) n n a nn a ， 进而求出 13 2 122 nn nn aaa a aaa ，从而可得当2 n na 时，
33、的表达式，最后再求出数列 n a的通项公式。 四、待定系数法四、待定系数法 例例 7 已知数列 n a满足 11 23 56 n nn aaa ，求数列 n a的通项公式。 解：设 1 1 52(5 ) nn nn axax 将 1 23 5n nn aa 代入式，得 1 23 55225 nnn nn axax ，等式两边消去 2 n a，得 1 3 5525 nnn xx ，两边除以5n，得352 ,1,xxx 则代入式得 1 1 52(5 ) nn nn aa 由 1 1 56510a 及式得50 n n a ，则 1 1 5 2 5 n n n n a a ，则数列5 n n a 是以
34、 1 1 51a 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 1 52 nn n a ，故 1 25 nn n a 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 23 5n nn aa 转化为 1 1 52(5 ) nn nn aa ， 从而可知数列5 n n a 是等比数列，进而求出数列5 n n a 的通项公式，最后再求出数列 n a的通项公式。 例例 8 已知数列 n a满足 11 35 241 n nn aaa ，求数列 n a的通项公式。 解：设 1 1 23(2) nn nn axyaxy 将 1 35 24 n nn aa 代入式，得 1 35 2423(2) nnn nn axyaxy
35、 整理得(52 ) 24323 nn xyxy。 令 523 43 xx yy ，则 5 2 x y ，代入式得 1 1 5 223(5 22) nn nn aa 由 1 1 5 221 12130a 及式， 得5 220 n n a ，则 1 1 5 22 3 5 22 n n n n a a ， 故数列5 22 n n a 是以 1 1 5 221 1213a 为首项，以 3 为公比的等比数列， 因此 1 5 2213 3 nn n a ，则 1 13 35 22 nn n a 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 1 35 24 n nn aa 转化为 1 1 5 223(5 22)
36、nn nn aa ，从而可知数列5 22 n n a 是等比数列，进而 求出数列5 22 n n a 的通项公式，最后再求数列 n a的通项公式。 例例 9 已知数列 n a满足 2 11 23451 nn aanna ，求数列 n a的通项公式。 解：设 22 1 (1)(1)2() nn ax ny nzaxnynz 将 2 1 2345 nn aann 代入式，得 222 2345(1)(1)2() nn annx ny nzaxnynz ，则 22 2(3)(24)(5)2222 nn ax nxynxyzaxnynz 等式两边消去2 n a，得 22 (3)(24)(5)222x n
37、xynxyzxnynz， 解方程组 32 242 52 xx xyy xyzz ，则 3 10 18 x y z ，代入式，得 22 1 3(1)10(1) 182(31018) nn annann 由 2 1 3 110 1 181 31320a 及式，得 2 310180 n ann 则 2 1 2 3(1)10(1) 18 2 31018 n n ann ann ，故数列 2 31018 n ann为以 2 1 3 110 1 181 3132a 为首项，以 2 为公比的等比数列，因此 21 3101832 2n n ann ，则 42 231018 n n ann 。 评注：本题解题的
38、关键是把递推关系式 2 1 2345 nn aann 转化为 22 1 3(1)10(1) 182(31018) nn annann ，从而可知数列 2 31018 n ann是等比数列，进而求出数列 2 31018 n ann的通项公式，最后 再求出数列 n a的通项公式。 五、对数变换法五、对数变换法 例例 10 已知数列 n a满足 5 1 2 3n nn aa ， 1 7a ，求数列 n a的通项公式。 解：因为 5 11 2 37 n nn aaa ，所以 1 00 nn aa ，。在 5 1 2 3n nn aa 式两边取 常用对数得 1 lg5lglg3lg2 nn aan 设
39、1 lg(1)5(lg) nn ax nyaxny 11 将式代入式，得5lglg3lg2(1)5(lg) nn anx nyaxny，两边消去 11 5lg n a并整理，得(lg3)lg255x nxyxny，则 lg35 lg25 xx xyy ，故 lg3 4 lg3lg2 164 x y 代入式，得 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg(1)5(lg) 41644164 nn anan 11 12 由 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg1lg710 41644164 a 及式， 12 得 lg3lg3lg2 lg0 4164 n an， 则 1 lg3lg3lg
40、2 lg(1) 4164 5 lg3lg3lg2 lg 4164 n n an an ， 所以数列 lg3lg3lg2 lg 4164 n an是以 lg3lg3lg2 lg7 4164 为首项，以 5 为公比的等 比数列，则 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg(lg7)5 41644164 n n an ，因此 11 1 11111 1 6164444 11111 1 16164444 11111 1 16164444 55 51 4 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg(lg7)5 4164464 (lg7lg3lg3lg2 )5lg3lg3lg2 lg(7 332 )5
41、lg(332 ) lg(7 332 )5lg(332 ) lg(733 nn n n n n n n n n n n an 1 1 151 164 54151 51 164 2) lg(732) n n nn n 则 1 1 54151 5 164 732 n n nn n a 。 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 5 1 2 3n nn aa 转化为 1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2 lg(1)5(lg) 41644164 nn anan ，从而可知数列 lg3lg3lg2 lg 4164 n an是等比数列，进而求出数列 lg3lg3lg2 lg 4164 n an的
42、通 项公式，最后再求出数列 n a的通项公式。 六、迭代法六、迭代法 例例 11 已知数列 n a满足 3(1)2 11 5 n n nn aaa ，求数列 n a的通项公式。 解：因为 3(1)2 1 n n nn aa ，所以 121 323(1) 232 12 nnn nnn nnn aaa 2(2) (1) 32(2) (1) 3(3) (2) (1) 11 2(3) (2) (1) (1) 1 2 3 (1)2 2 3(2) 23 (1)2 3 3 (2)(1)2 3 32 3(2) (1)2 1 3!2 1 nn nnn nnn nnnn n n n nn n nnn n nnn
43、n nnn n a a a a a 又 1 5a ，所以数列 n a的通项公式为 (1) 1 2 3!2 5 n n n n n a 。 评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 3(1)2 1 n n nn aa 两边取常用对数得 1 lg3(1) 2lg n nn ana ，即 1 lg 3(1)2 lg n n n a n a ，再 由累乘法可推知 (1) 1 2 3!2 132 1 1221 lglglglg lglglg5 lglglglg n n n n nn n nn aaaa aa aaaa ，从而 1 (1) 3!2 2 5 n n n n n a
44、 。 七、数学归纳法七、数学归纳法 例例 12 已知数列 n a满足 11 22 8(1)8 (21) (23)9 nn n aaa nn ，求数列 n a的通项公式。 解：由 1 22 8(1) (21) (23) nn n aa nn 及 1 8 9 a ，得 21 22 32 22 43 22 8(1 1)88 224 (2 1 1) (2 1 3)99 2525 8(2 1)248 348 (2 2 1) (2 23)2525 4949 8(3 1)488 480 (2 3 1) (2 33)4949 8181 aa aa aa 由此可猜测 2 2 (21)1 (21) n n a n
45、 ，往下用数学归纳法证明这个结论。 （1）当1n 时， 2 1 2 (2 1 1)18 (2 1 1)9 a ，所以等式成立。 （2）假设当nk时等式成立，即 2 2 (21)1 (21) k k a k ，则当1nk时， 1 22 8(1) (21) (23) kk k aa kk 2 222 22 22 222 22 222 22 2 2 2 (21)18(1) (21)(21) (23) (21)1(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(23)8(1) (21) (23) (21) (23)(21) (21) (23) (23)1 (23) 2(1) 11 2(1) 1 kk kkk kkk kk kkkk kk kkk kk k k k k 2 由此可知，当1