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1、考点10 直线与圆1.(2010安徽高考文科4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是(A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0【规范解答】选A,设直线方程为,又经过,故,所求方程为 2.(2010广东高考文科6)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是( ) A BC D【规范解答】选 设圆心为,则,解得,所以,所求圆的方程为:,故选.3.(2010 海南宁夏高考理科T15)过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)则圆C的方程为 .【思路点拨】由题意得出圆心既在点的中垂线上,
2、又在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上,进而可求出圆心和半径.【规范解答】由题意知,圆心既在过点B(2,1)且与直线垂直的直线上,又在点的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线垂直的直线为,的中垂线为,联立方程,解得,即圆心,半径,所以,圆的方程为.【答案】4.(2010天津高考文科4)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 【规范解答】由题意可得圆心(-1,0),圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径,故,所以圆的方程为.【答案】5.(2010江苏高考9)在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0
3、的距离为1,则实数c的取值范围是_【规范解答】如图,圆的半径为2,圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,问题转化为坐标原点(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1.【答案】6.(2010山东高考理科16)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线:被圆C所截得的弦长为,则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 【规范解答】由题意,设所求的直线方程为,设圆心坐标为,则由题意知:,解得或-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以,故圆心坐标为(3,0),因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有,即,故所求的直线方程为.【答案】【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系,要联系
4、圆的几何特性,尽可能的简化运算.如“垂直于弦的直径必平分弦”,“圆的切线垂直于过切点的半径”,“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题,解题时注意运用“设而不求”的技巧. 7.(2010山东高考文科6)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:被该圆所截得的弦长为,则圆C的标准方程为 . 【规范解答】设圆心坐标为,圆的半径为,则由题意知:,解得或-1,又因为圆心在x轴的正半轴上,所以,故圆心坐标为(3,0),故所求圆的方程为.【答案】【方法技巧】1、研究直线与圆的位置关系,要联系圆的几何特性,尽可能的简化运算.如“
5、垂直于弦的直径必平分弦”,“圆的切线垂直于过切点的半径”,“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.2、直线与圆相交是解析几何中一类重要问题,解题时注意运用“设而不求”的技巧.8.(2010湖南高考文科14)若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为 ,圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线对称的圆的方程为 【命题立意】以朴素的两点坐标要求求满足条件的斜率,切中运用公式的要害。第二小问以圆为依托考查对称图形的求法,主要考查学生对圆的性质的掌握。【思路点拨】第一问直接利用两直线的斜率存在,那么相互垂直的充要条件是斜率之积等
6、于-1.第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称。【规范解答】设PQ的垂直平分线的斜率为k,则k=-1,k=-1.而且PQ的中点坐标是( ,),L的方程为:y-=-1(x- ),y=-x+3,而圆心(2,3)关于直线y=-x+3对称的点坐标为(0,1),对称图形的方程为:x2+(y-1)2=1.【方法技巧】一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法,如果对称轴的斜率为1,常常把横坐标代入得到纵坐标,把纵坐标代入得到横坐标,如(a,b)关于y=x+c的对称点是(b-c,a+c)。9.(2010北京高考理科9)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与B
7、P的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程;()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。【命题立意】本题考查了动点轨迹的求法,第(II)问是探究性问题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力,考查了数学中的转化与化归思想。【思路点拨】(1)设出点P的坐标,利用AP与BP的斜率之积为,可得到点P的轨迹方程。(2)方法一:设出,把和的面积表示出来,整理求解;方法二:把PAB与PMN的面积相等转化为,进而转化为。【规范解答】(I)因为点B与A关于原点对称,所以点得坐标为. 设点的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点的轨迹方程为(II)方法一:设点的坐标为,点,得坐标分别为,. 则直线的方程为,直线的方程为令得,.于是得面积 又直线的方程为,点到直线的距离.于是的面积 当时,得又,所以=,解得。因为,所以故存在点使得与的面积相等,此时点的坐标为.方法二:若存在点使得与的面积相等,设点的坐标为 则. 因为, 所以 所以 即 ,解得 因为,所以 故存在点使得与的面积相等,此时点的坐标为.