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1、长沙市四大名校联考试题理科数学长沙市一中理科数学备课组命题人：蒋楚辉 审题人：胡雪文一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1设全集U = 1，3，5，7，集合M = 1，|a 5|，MU，UM = 5，7，则a的值为（ ）A2或 8B 8或 2C 2或8D2或8【解析】D UM = 5，7 M = 1，3 |a 5 | = 3解得a = 2或82若sin2 1 + i (cos+ 1)是纯虚数（其中i是虚数单位），且 0，2），则的值为（ ）AB C或D或【解析】B 由题意，得= 2k+，kZ又 0，2）=，故选B3已知函数f (x
2、) = lg (2x b) (x1)的值域是0，+)，则（ ）Ab1Bb1Cb = 1Db 1【解析】C x1，f (x) lg (2 b)，lg (2 b) = 0，2 b = 1，b = 1，故选C4函数f (x)在(a，b)上连续，且f (x) = n，mn0，f (x)0，则f (x)在(a，b)内（ ）A没有实根B至少有一个实根C有两个实根D有且只有一个实根【解析】D 由题意可知f (x)在(a，b)上连续且单调递增，且mn0，f (x)在(a，b)范围的图象与x轴有且只有一个交点，故选D5在 (1 + x)3 + (1 + x)4 + +(1 + x)2004的展开式中x3的系数等
3、于（ ）ABCD【解析】B x3的系数等于故选B346将1，2，3，9这9个数填入图中的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大；当3、4固定在图中所示的位置时，所填写空格的方法有（ ）种A6B12C18D2413C24DAB9【解析】A 由题意知数字1，2，9的位置也是固定的，如图：5，6， 7，8四个数字在A、B、C、D四个位置上，A、B位置上的填法，C、D位置上的填法，共有= 6种，故选A7设双曲线= 1(a0，b0)右准线与两条渐近线交于A、B两点，右焦点为F，且FAFB，那么双曲线的离心率为（ ）ABC2D【解析】A 右准线交x轴于M，由可解得y = 即|AM| = ，
4、而|FM| = c = ，a = b 由e = = 得e = ，故选A8如图是一个由三根细铁杆PA、PB、PC组成的支架，三根铁杆两两所成夹角都为60(铁杆的粗细忽略不计)，一个半径为1的球放在支架上，则球心O到点P的距离是（ ）AB2CDP【解析】A A、B、C为切点，O为球心，R = 1，O1为过A、B、C外接圆的圆心，半径为r，APB =BPC =CPA = 60，PA = PB = PC = a，r = ，sinAPO = ，PO = ，故选C9一房地产开发商将他新建的20层商品房的房价按下列方法定价，先定一个基价a元/m2，再根据楼层的不同上下浮动一层的价格为(a d)元/m2，二层
5、的价格为a元/m2，三层的价格为(a + d)元/m2，第i层(i4)的价格为a + d ()i 3元/m2，其中a0，d0，则该商品房的各层房价的平均价值是（ ）Aa元/m2Ba + 元/m2C元/m2D元/m2【解析】B 设平均值为T，依题有T = + + = a + 元/米210已知函数f (x) = ()x log3x，正实数a，b，c是公差为负实数的等差数列，且满足f (a)f (b)f (c) 0；已知命题P：实数d是方程f (x) = 0的一个解；则下列四个命题：da；db；dc；dc中是命题P的必要不充分条件的命题个数为（ ）A1B2C3D4【解析】A 函数f (x) = 是减
6、函数，由正实数a、b、c是公差为负数的等差数列，则abc，由f (a) f (b) f (c) 0，则f (a) f (b) f (c) 0或f (a) 0f (b) f (c) ，由f (d) = 0，得f (a) f (b) f (c) f (d)或f (a) f (b) f (c)，则有abcd或adbc故选A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分；将各小题的结果填在题中横线上）11若直线2ax by + 2 = 0 (a、b0)过圆x2 + y2 + 2x 4y + 1 = 0的圆心，则ab的最大值是 【解析】 易知圆心(1，2)，直线过圆心，2a 2b + 2 = 0，即a
7、 + b = 1a0，b0，ab()2 = 12在OAB中，O为坐标原点，A(1，cos)，B (sin，1)，(0，则当= 时，OAB的面积取最大值 【解析】， 如图设= S = 11sin1cos(1 cos)(1 sin) = sincos=sin2=sin2 当=时，S取到最大值13f (x)是偶函数，且f (x)在(0，+)上是增函数；如果x，1时，不等式f (ax + 1)f (x 2)恒成立，则实数a的取值范围是 【解析】2，0 由得1 a 1在x上恒成立而此时1 的最大值是2，的最小值是0；从而2a014已知点A(0，)，B (0，)，C (4 + ，0)，其中n为正整数，设S
8、n表示ABC外接圆的面积，则= 【解析】4 设ACO = ，tan=，sin= = ，在ABC中， = 2RR = = 15有两个向量e1 = (1，0)，e2 = (0，1)，今有动点P，从P0 (1，2)开始沿着与向量e1 + e2相同的方向作匀速直线运动，速度为| e1 + e2|；另一动点Q，从Q0 (2，1)开始沿着与向量3 e1 + 2e2相同的方向作匀速直线运动，速度为|3 e1 + 2e2|设P、Q在时刻t = 0秒时分别在P0、Q0处，则当时，t = 秒 【解析】2 (1，2) + (e1 + e2)t = (1，2) + (t，t) = (1 + t，2 + t)；= (2
9、，1) + (3 e1 + 2 e2)t = (2，1) + (3，2)t = (2 + 3t，1 + 2t) ，= = (1 + 2t，3 + t) = (1，3) ，即(1 + 2t)(1) + (3 + t)(3) = 0，解之得t = 2三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题满分12分）已知锐角ABC的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且(b2 + c2 a2) tanA = bc（）求角A的大小；（）求sin (A + 10) 1 tan(A 10)的值【解析】（）由已知及余弦定理tanA = ，又A(0，)，则sin = 故
10、A = 5分 （）sin (A + 10) 1 tan (A 10) = sin70(1 ) = sin70 = 2sin70 = = 1 12分17（本小题满分12分）袋子A和B中分别装有若干个质地均匀相同大小的红球和白球，从A中摸出一个球，得到红球的概率是，从B中摸出一个球，得到红球的概率为p（1）若A、B两个袋子中的球数之比为1 : 3，将A、B中的球混装在一起后，从中摸出一个球，得到红球的概率是，求p的值（2）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，若累计3次摸到红球即停止最多摸球5次，5次之内（含5次）不论是否有3次摸到红球都停止摸球；记5次之内（含5次）摸到红球的次数为随机变量，求随机变
11、量的分布列及数学期望【解析】（1）A、B两个袋子中的球数之比为1 : 3，设袋子A中有m个球，则袋B中有3m个球由于从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p袋子A中有m个红球，袋子B中有3mp个红球A、B中的球装在一起后，共有红球m +3mp个，得p = 4分（2）随机变量的取值为0，1，2，3则P (= 0) = ，P (= 1) = P (= 2) = ， 8分P (= 3) = + 11分随机变量的分布列是0123P的数学期望为：E = 0 + 1 + 2 + 3 = 12分18（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABCA1B1C1，ACBC，AC = BC = 2，A1在底
12、面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1（1）求证：AC1A1C；（2）求CC1到平面A1AB的距离；（3）求二面角AA1BC的大小【解析】解法一：（1）A1D平面ABC，平面AA1C1C平面ABC，又BCAC，BC平面AA1C1C，BCAC1，又BA1AC1，BA1BC = B，AC1平面A1BC，AC1A1C（也可应用三垂线定理的逆定理证明） 3分（2）因为AC1A1C，所以四边形AA1C1C为菱形，故AA1 = AC = 2，CC1平面A1AB，又D为AC的中点，知A1AC = 60取AA1的中点F，则AA1平面BCF，从而平面A1AB平面BCF，过C作CHBF于H，则CH平面
13、A1AB，在RtBCF中，BC = 2，CF = ，故CH = ，即CC1到平面A1AB的距离为CH = 8分（3）过H作HGA1B于G，连结CG，则CGA1B，从而CGH为二面角AA1BC的平面角，在RtA1BC中，A1C = BC = 2，所以CG = ，在RtCGH中，sinCGH = ，故二面角AA1BC的大小为arcsin 12分解法二 （1）如图，取AB的中点E，连结DE，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又A1D平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，1，0)，C (0，1，0)，B (2，1，0)，A1 (0，0，t)，C1 (0，2，
14、t) (t0)，= (0，3，t)，= (2，1，t)，= (2，0，0)，由= 0，知AC1CB，又BA1AC1，从而AC1平面A1BC所以AC1A1C 5分（2）由= 3 + t2 = 0，得t = 设平面A1AB的一个法向量为n = (x，y，z)，= (0，1，)，(2，2，0)，所以设z = 1，则n = ()，所以点C1到平面A1AB距离d = 8分（3）设平面A1BC的法向量为m = (x，y，z)，= (0，1，)，= (2，0，0)，所以设z = 1，则m = (0，1)，故cos = ，根据法向量的方向，可知二面角AA1BC的大小为arccos 12分19（本小题满分13分
15、）已知两定点A (1，0)、B (1，0)，动点P在y轴上的射影为Q，若= 0（）求动点P的轨迹E的方程（）直线l交y轴于点C (0，m)，交轨迹E于M，N两点，且满足，求实数m的取值范围【解析】（）设动点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(0，y)，= (x，0)， = (1 x，y) = (1 x，y)，由+2= 0得x2 1 + y2 + x2 = 0，即2x2 + y2 = 1 故轨迹E的方程为2x2 + y2 = 1 5分（）设l与轨迹E的交点M (x1，y1)，N (x2，y2)，直线的斜率为k则由得 (k2 + 2)x2 + 2kmx + (m2 1) = 0，则= (2km)
16、2 4 (k2 + 2) (m2 1) = 4 (k2 2m2 + 2)0 （*） 且x1 + x2 = x1x2 = 8分 x1 = 3x2 10分从而3 (x1 + x2)2 + 4x1x2 = 03+ 4 = 0，整理得4k2m2 + 2m2 k2 2 = 0，若m2 = ，上式不成立，则m2k2 = 代入（*）得，即解得1m或m1，即m的取值范围为(1，)(，1) 13分20（本小题满分13分）广东某品牌玩具企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，主动投入内销产品的研制开发，并基本形成了市场规模，自200
17、8年9月以来的第n个月（2008年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an(单位万件)，分析销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 = a an，cn + 1 = an + b an2 （其中a、b为常数），且a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件 （1）求a，b的值，并写出an + 1与an满足的关系式 （2）如果该企业产品销售总量an呈现递增趋势，且控制在2万件以内，企业的运行正常且不会出现资金危机；试证明anan + 12 （3）试求从2008年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式 【解析】（
18、1）依题意：an + 1 = bn + 1 + cn + 1 = a an + an + b an2，又a2 = a a1 + a1 + b a12 a + 1 + b = 又a3 = a a2 + a2 + b a22 解得a = 1，b = 从而an + 1 = 2an an2 (nN*) 4分（2）证法（）由于an + 1 = 2an an2 = (an 2)2 + 22但an + 12，否则可推得a 1= 2与a1 = 1矛盾故an + 12 于是an2又an + 1 an= an2 + 2an an = an (an 2) 0，所以an + 1an 从而anan + 12 9分方法（
19、）由数学归纳法（i）当n = 1时，a1 = 1，a2 = 1.5，显然a1a22成立（ii）假设n = k时， akak + 12成立由于函数f (x) = x2 + 2x = (x 2)2 + 2在0，2上为增函数，则f (ak) f (ak + 1) f (2)即ak (4 ak) ak + 1(4 ak + 1) 2(4 2) 即 ak + 1ak + 22成立 综上可得nN*有anan + 12 9分（3）由an + 1 = 2an an2得2 (an + 1 2) = (an 2)2 即(2 an + 1) = (2 an)2又由（2）anan + 12可知2 an + 10，2
20、an0 则lg (2 an + 1) = 2 lg (2 an) lg 2 lg (2 an +1) lg2 = 2lg (2 an) lg2即lg (2 an + 1) lg2为等比数列，公比为2，首项为lg (2 a1) lg 2 = lg 2故lg (2 an) lg 2 = (lg 2)2n 1 an = 2 (nN*)为所求 13分21（本小题满分13分）已知函数f (x) = 2 lnx，g (x) = ax2 + 3x（）设直线x = 1与曲线y = f (x)和y = g (x)分别相交于点P、Q，且曲线y = f (x)和y = g (x)在点P、Q处的切线平行，求实数a（）
21、在（）的条件下，若方程f (x2 + 1) + g (x) = +3x + k有四个不同的实根，求实数k的取值范围（）设函数F (x)满足F (x) + x f (x) g(x)= 3x2 (a + 6 ) x + 1其中f (x)，g (x)分别是函数f (x)与g (x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x(0，1时，F (x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由【解析】（）f(1) = 2，且P (1，0) l方程为y = 2 (x 1)即2x y 2 = 0 2分又g(1) = a + 3 = 2 a = 1 3分（）由（）可知g (x) = x2 + 3x，则方
22、程f (x2 + 1) + g (x) = 3x + k可化为ln (x2 + 1) x2 = k 令y1 = ln (x2 + 1) x2 ，则y1= = 由y1= 0得x = 1，0，1因此y1及y的变公情况如下表x(，1)1(1，0)0(0，1)1(1，+)y1+00+0y极大值极小值极大值且(y1)极大值 = ln 2 ，(y1)极小值 = 0又方程有四个不同实数根，函数y = ln (x2 + 1) x2为偶函数，且当x2 + 1 = e3 (x =)时，ln (x2 + 1) x2 = 3 (e3 1) = 所以0Kln2 9分（）F (x) + x f (x) g(x) = 3x2 ax + 1F (x) = (a 3)x2 (a + 3)x 1当a = 3时，F (x) = 6x 1在(0，1上是减函数，可知F (x)取不到最大值当a3时，F (x)的对称轴为x = ，若x(0,1时，F (x)取得最大值则 0解得a3或a3，从而a3当a3时，若x(0，1时，F (x)取得最大值，则时，此时，a综上所述，存在实数a(，3)(3，+)，使得当x(0，1时，F (x)取得最大值 13分