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1、唐山师范学院本科毕业论文题 目 对角占优矩阵的性质学 生 指导教师 年 级 2010级数本2班专 业 数学与应用数学系 别 数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系2014年5月郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师王朝霞的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）： 年 月 日 目 录标题1中文摘要11 预备知识12 对角占优矩阵的性质33 对角占优矩阵奇异性判定定理54 （广义）对角占优矩阵的判别条件85 结束语13参考文献
2、14致谢15外文页16对角占优矩阵的性质刘萌摘 要 对角占优矩阵具有广泛的应用，本文以高等代数中的矩阵知识为基础，研究特殊的矩阵对角占优矩阵，将给出对角占优矩阵的定义、研究对角占优矩阵的性质以及判别条件，并进而推广到广义对角占优矩阵，从而得出一些重要结论.关键词 对角占优矩阵 广义对角占优矩阵 不可约矩阵 非奇异矩阵 对角均势主子阵在高等代数教材中，已经对对角占优矩阵的定义有所了解，但是教材并没有进行进一步研究.对角占优矩阵有非常广泛的实际背景，在信息论、系统论、程序设计、数学物理和控制论等领域中有很多重要的应用.但是一些比较实用的判别条件并不多，这就给具体应用带来诸多不便.这就促使笔者研究对
3、角占优矩阵的性质和简捷实用的判别条件.1、预备知识定义1 设，若对任意都有，则称为对角占优矩阵，记；若对任意都有，则称为严格对角占优矩阵，记.定义2 设，若存在正对角矩阵，使得，则称为广义对角占优矩阵（广义严格对角占优矩阵），记.定义3 设是一个的矩阵，如果且，则称是一个的置换矩阵，其中是阶单位方阵.引理1 当时，一个的矩阵为置换矩阵的充要条件是的每一行恰有一个，每一列至多一个.定义4 设，如果存在置换矩阵，使得=其中和分别是阶的方阵， ，则称为可约矩阵；否则称为不可约矩阵.定义5 设满足条件：为对角占优矩阵；为不可约矩阵；严格不等式至少对一行标成立,则称为不可约对角占优矩阵.定义6 设不可约
4、，若存在正数，使得，且上式中至少有一严格不等式成立，则称为不可约广义对角占优矩阵.定义7 设，矩阵中满足的行称为对角占优行；而的行称为非对角占优行.定义8 设，若对任意，如果成立，则称为行对角均势矩阵；如果成立，则称为行对角占优矩阵.同理，可定义列对角均势矩阵.本文中对角均势矩阵一般指的是行对角均势矩阵.定义9 设，如果的阶主子阵为对角均势矩阵，则称为的对角均势主子阵，称其行列式为的对角均势主子式.引理2 若齐次线性方程组的系数矩阵，那么方程组有非零解，即系数矩阵奇异.定义10 设，若的各阶顺序主子式全为正数，则称为矩阵.定义11 对任意，表示的比较矩阵，其中引理3 设，则是广义严格对角占优矩
5、阵当且仅当是非奇异矩阵.引理4 设，为广义严格对角占优矩阵，如果中有个正数，个负数，且.则的全部特征值中恰有个为正，个为负.定义12 表示矩阵的列向量所生成的子空间. 2、对角占优矩阵的性质 性质1 若为广义严格对角占优矩阵，则必存在对角占优行.证明 （反证法）假设中不存在对角占优行，则，对任何，设，则.根据定义2知不存在正对角矩阵使得为严格对角占优矩阵.因此这与为广义严格对角占优矩阵相矛盾，所以必存在对角占优行.性质2 若为广义严格对角占优矩阵，则只有零解.证明 因为为广义严格对角占优矩阵，根据定义2知存在正对角矩阵使成立.设为的一非零解，其中至少有一个，令 ，则至少有一所以 设|，由知，即
6、，所以 这与为严格对角占优矩阵矛盾，所以只有零解.性质3 设且为对角占优矩阵，如果有如下的分块形式:，为阶方阵则,.证明 下证.记，为列向量.只需证 可由 线性表示即可.如果中的，则. 如果，则在中第一个元素为.如果 则中的第一、二两个元素为零.否则在和中的第一、二两个元素为零.一直进行下去可将列全部变为零.这就意味着存在数，使得即可由线性表示.性质4 设=，则对于矩阵其中， 若为对角占优矩阵，那么也为对角占优矩阵.证明 设为对角占优矩阵，则： 故为对角占优矩阵.3、对角占优矩阵奇异性判定定理定理3.1 设=，则对于矩阵， 则有相同的奇异性.即若为对角占优矩阵，那么也为对角占优矩阵，且在中为严
7、格对角占优的行，在中相应的行仍为严格对角占优行.证明 由性质4得有相同的奇异性.设的第、行行为严格对角占优行，则证毕.定理3.2 若为不可约广义对角占优矩阵，则是非奇异的.证明 因为是不可约广义对角占优矩阵，由定义6知，存在正数,使得，即 所以存在正对角矩阵()使得为对角占优矩阵.由不可约知也不可约，因而为不可约对角占优矩阵，故非奇异，即非奇异.定理3.3 设为对角占优矩阵，如果不存在对角均势主子阵，则非奇异.证明 因为为对角占优矩阵，故有 又因中不存在对角均势主子阵，所以中至少有一严格不等式成立. 如果是不可约的，则是不可约对角占优矩阵.所以是非奇异的. 如果是可约矩阵，根据定义，则存在置换
8、矩阵，使，其中 为的阶不可约主子阵，其中；.由假设知，不是对角均势主子阵且不可约.根据定义5知是不可约对角占优矩阵，故它是非奇异的，即，所以.即是非奇异的.定理3.4 设为对角占优矩阵，如果的每个对角均势主子阵都是非奇异的，则是非奇异的.证明 记的最大阶（设为）的非奇异对角均势主子阵为，于是存在置换矩阵，使得 其中不存在对角均势主子阵（否则就不是的最大阶对角均势主子阵）.由定理3.3证明知它是非奇异的，即.因是对角占优矩阵，故也是对角占优且是它的对角均势主子阵.于是由对角占优矩阵、对角均势矩阵的定义和知，即是块下三角矩阵.所以，.故是非奇异的.定理3.5 设为对角占优矩阵，如果存在奇异的对角均
9、势主子阵，则是奇异的.证明 记的最大阶（设为）的奇异对角均势主子阵为，则有.又因为是的主子阵，故存在置换矩阵，使得 其中不存在对角均势主子阵（否则就不是的最大阶对角均势主子阵）.由定理3.3证明知它是非奇异的，即.因为是对角占优矩阵，故是以为对角均势主子阵的对角占优矩阵，由对角占优矩阵的定义、对角均势矩阵的定义和式知.所以，故是奇异的.定理3.6 设为对角占优矩阵，则奇异当且仅当存在奇异的对角均势主子阵. 证明 （1）充分性 由定理3.6直接可得 （2）必要性 设是奇异的对角占优矩阵，则由定理3.3知，存在对角均势主子阵.再由定理3.4知，存在奇异的对角均势主子阵 由定理3.6直接得到定理3.
10、7定理3.7 设为对角占优矩阵，则非奇异的充分必要条件为的对角均势主子矩阵( 如果有的话) 都非奇异推论 设为对角占优矩阵，则非奇异的充分必要条件为的阶数最大的对角均势主子矩阵( 如果有的话) 非奇异定理3.8 设为对角占优矩阵，则奇异的充分必要条件为存在奇异的顺序主子阵.证明 (1)必要性 若奇异，则显然的顺序主子阵奇异.(2)充分性 若为对角占优矩阵且有主对角元为零，则由式知，至少有一行其元素全为零，显然，此时奇异.故以下设为主对角元都不为零的对角占优矩阵且存在奇异的顺序主子阵，即，于是由定理3.3和定理3.4知，一定存在奇异的对角均势主子阵，从而也存在奇异的对角均势主子阵，再由定理3.5
11、知，矩阵是奇异的.定理3.9 设为对角占优矩阵，则奇异的充分必要条件为存在奇异的主子阵.证明 必要性 显然.充分性 设的主子阵奇异，即，则存在置换矩阵，使得的这一主子矩阵为的阶顺序主子阵，由于置换相似变换不改变矩阵的对角占优性，故仍为对角占优矩阵且其阶顺序主子阵奇异，再由定理3.8的充分性知，是奇异的，从而是奇异的 由定理3.9可直接得到关于对角占优矩阵非奇异性的另一定理定理3.10 设为对角占优矩阵，则非奇异的充分必要条件为的每个主子阵非奇异.4、（广义）对角占优矩阵的判别条件定理4.1 设是阶实方阵，则为严格对角占优矩阵的必要条件是当时使得 成立.证明 对矩阵阶数用数学归纳法.（1）当时，
12、方程组的形式为：将第一个方程两端乘以，第二个方程两端乘以相加得：由于,所以，从而.将代入第一个方程得，命题得证.（2）假设阶数为时命题为真，下面证明阶数为时命题也为真. 在式中，将第个方程两端乘以加上第一个方程的倍，得元一次方程组：在上式中，第个方程得系数有如下关系： 所以式系数矩阵仍为严格对角占优矩阵，而且由于，由归纳假设知，将，代入中第一个方程得，从而，.定理4.2 设=，为阶实方阵，则为广义对角占优矩阵的充要条件是当时，使得成立.证明 必要性 若矩阵为广义对角占优矩阵，则存在正对角矩阵，使得为严格对角占优矩阵.由定理4.1可知，当时，使得 成立.令，则上式可化为：故结论成立，必要性得证.
13、充分性 若由于所以由成立，则有：即 故有 ，所以，为广义对角占优矩阵，充分性得证.证毕.注：此结论中为实方阵，对于为复方阵结论不一定成立.定理4.3 若为不可约广义对角占优矩阵，则为广义严格对角占优矩阵.证明 因为为不可约广义对角占优矩阵，由定理3.2的证明知存在正对角矩阵，使得为不可约对角占优矩阵，又因为不可约对角占优矩阵必为广义严格对角占优矩阵，所以，为广义严格对角占优矩阵.记，其中， 由引理3知为矩阵.而，所以由引理4得（为的任一特征值）.又显然，故，所以为矩阵，又由引理3得为广义严格对角占优矩阵.设为单点集，定理4.4 设=，非空集，若则为广义对角占优矩阵.其中 当时，记；当，记（注意
14、：由知，于是由条件知)证明 由假设有，于是存在数P满足.构造正对角矩阵其中记，则因而，有 有 于是，为对角占优矩阵，即为广义对角占优矩阵.例1 设因此，取，则 即满足定理4.4的条件，故为广义对角占优矩阵. 定理4.5 设=不可约，非空集，满足且至少成立一个严格不等式，则为广义对角占优矩阵.其中的定义同上.证明 由假设知，及取，构造正对角阵其中记，则于是， 有 因而.又由已知条件，至少有一使，再因不可约知也不可约，故为不可约对角占优矩阵，即存在正对角阵使为严格对角占优矩阵，又仍为正对角阵，故为广义对角占优矩阵.例2 设因此，取，.可见，所以为广义对角占优矩阵.5、结束语对角占优矩阵在矩阵理论和
15、数值代数中具有重要的作用和意义.本文主要探讨了对角占优矩阵的性质,给出了一系列新的判别对角占优矩阵奇异性和（广义）对角占优矩阵的条件，改进和推广了已有的一些研究结果.本文首先介绍了对角占优矩阵、广义（严格）对角占优矩阵的定义.接着给出了对角占优矩阵的三个性质以及对角占优矩阵的判定定理，最后给出（广义）对角占优矩阵的判别条件并给出相应的数值实例，并讨论了广义严格对角占优矩阵和M矩阵的关系.对角占优阵、M矩阵等特殊矩阵有很强的理论和应用价值，本文讨论了广义对角占优矩阵的一部分判别条件，而其更多的充分条件、充要条件、数值判定及算法设计皆是矩阵理论及数值计算的重要研究课题，还值得我们进一步去研究和探讨
16、.参考文献：1 吴晓溪.矩阵对角占优性相关问题研究D.电子科技大学.2012.4.1215.2 田素霞.对角占优矩阵M.中国农业科学技术出版社.2007.6.1324.3 逢明贤.广义对角占优矩阵的判定及应用J.数学年刊.1985.16.4 张成毅.对角占优矩阵非奇异的充分必要条件J.西安工程大学学报.2012.2.14.5 黄廷祝.广义对角占优矩阵的充分条件J.电子科技大学学报.1995.10.14.6 樊启毅,周惊雷.广义对角占优矩阵非奇异的判别条件J.首都师范大学学报.2004.12.12.7 徐屹.广义严格对角占优矩阵判定的研究D.吉林大学.2006.4.1222. 致 谢这篇论文的完
17、成，得到了指导老师、同学以及朋友们无微不至的关心和帮助在这里，我要向他们表示衷心的感谢指导老师王朝霞从本文的选题、开题到写作、修改以及审阅定稿都给予了我悉心的指导.特别是论文的内容和格式方面，王老师根据她撰写论文的经验，一丝不苟地校正论文中的错误这种严谨的治学作风使我深受感染.在王老师的耐心指导下，我不仅顺利地完成了毕业论文，而且学到了许多专业方面的知识，并对论文撰写的整个过程有了一个较为清楚的认识这为我今后的学习奠定了一定的基础在这里，我要向王老师表达最诚挚的谢意 最后我要感谢我慈爱朴实的父母及亲人.这么多年来，他们对我倾注了无限的关爱和支持，他们的宽厚博爱是我顺利完成学业的巨大动力，并将继
18、续激励我去迎接人生中新一轮的挑战.The Nature of Diagonally Dominant MatrixLiu Meng Directed by Prof . Wang ZhaoxiaAbstract Diagonally dominant matrices has wide application, in this paper, based on the matrix of higher algebra knowledge, study the special matrix - diagonally dominant matrices, and will give the defi
19、nition of diagonally dominant matrix and study the properties of diagonally dominant matrix and equivalent conditions, and further extended to generalized of diagonal matrix, some important conclusions are drawn.Key words Diagonally dominant matrices Generalized diagonally dominant matrices Irreducible matrices Nonsingular matrices Diagonal matrix balance master