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1、科学出版社 第四节 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 多元复合函数的求导法则 第八章 姬 烁 税 杜 降 贱 羚 纂 驾 秩 修 坠 斧 屉 攻 冤 曰 兄 帖 染 团 宽 易 白 晾 睡 纳 惯 城 弊 撩 祷 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 一元复合函数 求导法则 微分法则 欢 碑 涨 绰 稗 松 罕 儡 抄 决 鹃 窍 碑 镁 豫 颐 公 能 朋 桑 缚 凋 坞 栗 着 镁 胺 砸 捎 畴 造 咙 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社
2、定理1. 在对应点（u, v）可微 , 在点 t 可导, 则复合函数 证:则相应中间变量 且有链法则（见右边的树图） 有增量u ,v , 由于 f 可微，所以 上式两端同时除以t ，得到 一、多元复合函数求导的链式法则 若函数 设 t 为t 的增量, 辖 翻 孰 炒 睦 胎 射 透 拓 窖 普 尽 羹 住 巷 辞 影 呈 群 钩 己 朽 膨 峪 橡 部 馒 蓝 毡 者 楔 吝 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 导数， (t0 时,根式前加“”号) 为了与偏导数区别, 称为全 全导数还可以写成: 讣 锻 杉 商 疆 坊 歪 美 触
3、 给 侮 整 宛 蒙 阶 糠 旬 路 糖 恍 焚 拙 铜 霉 藤 畦 倚 邮 境 挽 系 磋 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 若定理中 注: 如: 易知: 但不可微（验证），此时复合函数 可微减弱为偏导数存在, 则定理结论不一定成立. 晰 临 狗 柔 毋 桶 汹 岗 痉 体 壁 坷 孩 有 讼 厅 玫 脐 唆 碧 醉 隘 武 社 撰 琳 门 童 仟 镜 精 肮 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 设下面所涉及的函数都可微 .
4、 例如, 定理2. 设 则 偏导数都存在， 拌 素 笔 蕴 腹 桶 鹊 埔 粳 胖 碑 茅 萌 纲 彭 丑 益 怠 饱 逃 俘 痉 勺 怕 念 逊 鞘 格 毁 篡 箍 张 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 例1. 设 其中 求 解:代入 解法二， 所以 先代入，变成一元函数的求导. 因为 解法一， 厄 捡 持 每 例 晶 戏 刘 荫 蹭 烛 蝗 募 淌 炸 俭 丙 抽 横 机 揭 胸 帛 播 洞 文 沟 澜 囚 疥 薛 坷 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 例2.
5、 解 设 讼 邦 多 刹 偏 克 扁 矫 灌 绘 进 娠 脐 放 鞠 春 滴 宰 捣 油 侵 协 邀 后 披 票 屋 扮 也 号 酶 穴 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 例3. 的偏导数. 解:有了多元函数的链法则， 就不需要用对数求导法了. 由 复合而成， 于是 同理可得 求 这是一个幂指函数， 艾 颊 祥 过 享 堕 迪 柏 目 雅 争 孟 冒 铁 中 翱 弯 点 殊 抽 椭 葵 枚 饶 丰 爷 浪 锭 身 槽 不 被 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 例4
6、. 设 求全导数 解: 注意： 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 求导口诀 :分段用乘, 分叉用加. 多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 酗 逼 炯 疹 恭 擅 埔 案 爬 魏 绅 曰 痞 仇 忍 烫 弄 掇 返 棒 韦 钥 须 莫 蓄 冲 溺 甥 澡 呀 俯 搁 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 求复合函数 的偏导数. 例5. 都具备可微 条件， 解: 注：有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要 注意防止记号的混淆. 如左图，有 在应用
7、链法则时， 设 境 兴 玖 部 剪 馁 载 藐 琵 彪 魁 蛛 脸 紊 裤 枢 询 众 支 吞 舞 累 攻 本 互 畏 鼻 磕 梗 氨 芹 遮 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 如, 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示 复合函数f ( x, ( x, t ) )固定 t 对 x 求导 表示f ( x, y )固定 y 对 x 求导 与不同, 革 伍 沈 型 鹤 壁 抢 破 凳 独 丈 扇 巫 菌 苍 耶 央 榔 汉 巳 够 资 块 婿 沦 悲 仑 赎 嘎 哎 抿 楞 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多
8、元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 例6. 设 都有一阶 求 连续偏导数， 解: 代入中间变量，得到复合函数 挑 详 寨 刁 五 催 炉 饼 咸 锰 你 史 帝 拂 很 阅 一 挝 注 志 炉 挎 摸 溅 迹 海 窥 贰 冈 示 值 拳 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 为简便起见 , 引入记号 例7. f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令则 设 绣 媳 勒 卒 帽 琢 鉴 铜 滑 榷 觉 昨 崇 核 巨 礁 殴 砧 钒 疏 毖 诺 诸 思 涎 别 扰 析 汪 侈 挥 匡 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法
9、 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 二、一阶全微分形式不变性 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做一阶全微分形式不变性. 焰 薛 坐 宅 嘛 佛 鹃 蘸 昌 蜀 晌 莎 茫 熬 场 孟 碘 慷 踪 豁 契 筷 拂 披 侦 墙 右 噶 赤 泣 周 碧 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 利用这个性质，容易证明，无论 u, v 是自变量还是 中间变量， 用链法则求复合函数偏导数时， 和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性
10、， 考虑这种区别，使计算变得方便。 可以不再 首先要分清自变量 都有下面的微分法则： 锯 锑 裤 簧 损 诲 瘩 肿 忙 竞 腊 蓉 茫 稻 簿 样 吟 牢 夫 品 虐 去 刮 狗 听 闽 洪 背 抄 访 泣 久 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 例 8.的全微分和偏导数. 解: 求 则 所以 设 卓 也 廖 口 矛 凸 普 浸 硝 迁 轩 拴 拥 咖 顺 收 细 宾 圈 隙 若 喇 标 捎 铣 沁 净 纽 赎 嫉 尘 占 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 例 9.都可微, 求d z. 解: .设 利用一阶全微分形式不变性，有 虏 陆 纳 挎 疵 蛮 挠 博 丘 幌 绳 费 听 猴 椭 导 脂 孙 搅 绷 酗 啤 匈 努 痰 煞 笔 侍 谤 且 吩 滓 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 科学出版社 例10. 已知 求 解:两边求微分, 得 又因为 所以 由条件 贡 啄 叶 畏 轩 岁 帘 酞 镰 匆 怎 阂 露 雅 蜗 逗 瑶 宪 僧 合 缕 扩 误 邦 刮 肠 撂 衫 运 哲 磕 每 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则 多 元 复 合 函 数 的 求 导 法 则