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1、全国高中数学联赛预赛模拟试卷第一卷 全国高中数学联赛预赛模拟试卷题 号一二三总分13141516得 分评卷人考生注意1本试卷共三大题16个小题全卷满分150分 2完卷时间150分钟 用钢笔签字笔或圆珠笔作答不能使用计算器 3解答题书写不要超出装订线 一选择题本题满分24分每小题4分得 分评卷人 本题共有6个小题每题均给出ABCD四个结论其中有且仅有一个是正确的请将正确答案的代表字母填在题后的括号内每小题选对得4分不选选错或选出的代表字母超过一个不论是否在括号内一律得0分已知点 xy 在直线 x2y 3上移动当取最小值时点 x y 与原点的距离是 A B C D2设双曲线 的离心率e则双曲线的两
2、条渐近线夹角的取值范围是 A B C D 正四面体的4个面分别写着1234将4个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是 A B C D 4甲乙丙三人用擂台赛形式进行训练每局两人单打比赛另一人当裁判每一局的输方去当下一局的裁判而由原来的裁判向胜者挑战半天训练结束时发现甲共打12局乙共打21局而丙共当裁判8局那么整个比赛的第10局的输方 A必是甲 B必是乙 C必是丙 D不能确定 5曲线x2y2ay 0 与ax2bxyx 0 有且只有3个不同的公共点那么必有 A a44ab4 ab1 0 B a44ab4 ab1 0 C a44ab4 ab1 0 D a
3、44ab4 ab1 06两个周期函数y1y2 的最小正周期分别为ab且b na n2n为整数 如果函数y3 y1y2的最小正周期为t 那么五种情形t at aa t bt bt b 中不可能出现的情形的个数是 A 1 B2 C3 D4 二填空题本题满分36分每小题6分得 分评卷人 本题共有6个小题要求直接将答案写在横线上 7已知 log a x 24 log b x 40 log abc x 12 那么 log c x 8 设 f x x2 8x c1 x2 8xc2 x2 8x c3 x2 8xc4 M xf x 0 已知 M x1x2 x3 x4x5 x6 x7 x8 N 那么c1c2 c
4、3 c4 minc1c2 c3 c4 9 如果实数 x y 满足3x 2y10 那么 u x2 y2 6x2y的最小值是 10 不等式组sinx cosx tanx cotx在 0 2 中的解集 用区间表示 是 11 四面体ABCD中 AB CD a BC AD b CA BD c 如果异面直线AB与CD所成的角为 那么cos 12 设a b xN ab X为关于x的不等式lgblga lgx lgblga 的解集 已知 card X 50 当ab取最大可能值时 三解答题本题90分共4个小题 第1314 15题各20分第16题30分 得 分评卷人 13 求函数f x sinx cosx tan
5、x cotx secx cscx 的最小值 其中 secx cscx 得 分 评卷人 14椭圆 x2 4y2 8 中 AB是长为的动弦 O为坐标原点 求AOB面积的取值范围 得 分评卷人 15 无穷数列xn中n1对每个奇数nxn xn1xn2 成等比数列而对每个偶数n xn xn1 xn2 成等差数列已知x1 a x2 b 1 求数列的通项公式 实数a b满足怎样的充要条件时 存在这样的无穷数列 2 求的调和平均值 即的值 得 分评卷人 16 1 给定正整数n5集合 An 是否存在一一映射 AnAn满足条件对一切k 1 k n1 都有k 1 2 k 2 N 为全体正整数的集合是否存在一一映射
6、N N 满足条件 对一切kN 都有k 1 2 k 证明你的结论 注 映射 AB 称为一一映射如果对任意 bB有且只有一个 aA 使得 a b 题中为整除符号 参考解答及评分标准说明1选择填空题只按0分与满分两档给分不设中间档次2解答题5分一个档次如果考生的解法与参考解答不同可参照本标准酌情给分 选择题 每小题4分共24分 123456A C DA B B 二 填空题 每小题6分共36分 789101112 60 15 arcsin 6三 解答题 13 设 u sin x cos x 则 sin x cos x u2 1 sin x cos x tan x cot x sec x csc x u
7、 5 分 当 u 1 时 f x 1 u 1 1 2 5 分 当 u 1 时 f x 1 1u 21 u 1时等号成立 5 分 因此 f x 的最小值是 21 5 分 14 令 A B 的坐标为 x1 y1 x 2 y 2 直线 AB 的方程为 y kx b 代入椭圆方程整理得 4k2 1 x2 8kbx 4 b22 0 故 x1 x2 x1x2 5 分 由 AB2 k21 x2x1 2 k21 x1x 2 24 x1x2 2 4k21 b2 得到 b2 2 4k21 5 分 原点O 到 AB 的距离为 AOB 的面积 S 记 u 则有 S 2 u 2u 4 u 2 5 分 u 4 的范围为
8、u 4 为竖直弦 故 u 时 S 2 4 而 u 1时 min S 2 因此 S 的 取值范围是 5 分 15 1 观察前几项 a b 猜测 x2 k-1 x2k k 1 5 分 对k 归纳证明通项公式 k 1 显然成立设 x 2 k-1 x2k 如上则x2k1 x2k2 2x2k1x2k 因此 公式成立 5 分 存在这样的无穷数列 所有的 x n 0 5 分 2 b a 时 故 nb n1 a b a 时所有的x n a 结果也对 5 分 16 1 不存在 5 分 记 S k 当 n 2m1 时 m 2 由 2m S 2 m 及S 2 m 2m1 得 2m1 m1 mod 2m 但 2m1
9、A 2m1故 2m1 m1再由 2m1 S2m1及S2m1 m1 2m 得 2m m1 mod 2m1 又有 2m m1与的一一性矛盾 5 分 当 n 2m2 时 m2 S2m1 2m2 给出 2m2 1 或 2m2同上又得 2m1 2m m2 或 m1 矛盾 5 分 2 存在 对n 归纳定义 2n1 及 2n 如下 5 分 令 1 1 2 3 设已定义出不同的正整数值 k 1k2n 满足整除条件且包含 12n 设 v 是未取到的最小正整数值由于 2n1 与 2n2 互素根据孙子定理存在不同于v及 k 1k2n 的正整数u满足同余式组 uS2n mod 2n1 S2nv mod 2n2 5 分
10、 定义 2n1 u 2n2 v 则正整数 k 1k2n2 也互不相同满足整除条件且包含12n1 根据数学归纳法原理已经得到符合要求的一一映射N N 5 分 附选择填空题简解2x4y2 4 x y 时取最小值 此时 2设渐近线y x 的倾斜角为 1 e2 tan 故 min223 事件 4个数均为奇数的概率p1 事件3个为奇数1个为2的概率p2 故p 1p1p2 4 共比赛12218 25局甲当裁判2512 13局由于同一人不会接连当两局裁判 故甲 是第135212325局的裁判 从而第10局的输方为甲 5 易知a0曲线ax2bxyx 0是两条直线x 0与axby1 0 直线x 0与圆x2y2a
11、y 0 有两个不同的公共点 00 0a 依题意有两种可能 1 axby1 0与圆x2 y 2 相切于第三点 此时 即a44ab4 0 2 axby1 0过点 0a 且不与坐标轴平行 此时ab1 0b是y3的一个周期故tb若t a 则由y2 y3y1可得ba矛盾故t a和t b不可能下面的例子表明另外的三种情形都可能出现取y2 sinx sin 则b 6 1 令y1 sin 此时a 3 y3 sinx t 2 t a 2 令y1 sinx 此时a 2 y3 sin t 3 a t b 3 令y1 sinx 此时a 2 y3 2sinxsin t 6 t b 7 log x c log x abc
12、log x alog x b log c x 60 8 令x28xc 0 的两根为 则 8 的不等非负整数值只有 08 17 26 35 故c1c2c3 c4 071215 9 u x3 2 y1 210 半平面 3x2y10 中的点到定点 31 距离的最小值是 所以 min u 210 10 在象限图上用区间法求解各分界线为 0k7 与方程 cosx tanx 的解 arcsin 0 arcsin 由 sinx cosx 排除区间 由 tanx cotx 排除 由 cosx tanx 排除 解集为 arcsin 11 1 向量法 记 由已知条件 a2 b22 c2 故 同理 cos 2 几何法 该四面体各棱是一个长方体的面对角线 设长方体三边为 x y z 则 a2 y2z2 b2 z2x2 c2 x2y2 是 y z 矩形中两对角线的夹角 故 cos 12 x ab a2 50 ab1 ab 1 1 ab1 故 ab 68 等号当且仅当 a 2 b 34 时成立 此时 6