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1、统计假设检验方法(二),统计假设检验是统计推断的重要方法, 一般需要对平均数的差异显著性进行检验,分单总体和双总体两种情况(用Z检验或t检验).若比较三个或三个以上均数差异用方差分析.若对方差(统计量)差异进行检验,用F检验;对分类计数变量的统计推断用卡方检验.本章主要研究: 1、F检验方差齐性检验（即检验总体方差是否相等）； 2、方差分析三个或三个以上均数差异分析；,一、 F检验,F分布是一种小样本分布，计算公式为 1、F分布的形成 从两正态总体中随机抽取两独立样本，容量分别为 ，求出两个样本的方差及比值F值；然后将两样本数据放回，再随机抽取同样容量两样本，计算两个样本的方差及比值F值；若干
2、次便可求出若干个F值，所有F值形成的分布是自由度为（ ， ）的F分布。 2、F分布的图象 F分布是一簇单峰偏态分布曲线，形状随分子和分母的自由度变化而变化。 3、双侧检验、单侧检验,总体方差相等是进行平均数间差异的显著性检验的重要条件。 F检验就是利用公式 计算得F值与理论推算的F值进行比较，判断方差差异大小。 一般我们会采用公式 进行单侧检验（拒绝区在右测）。 决策如下： 若 ，则拒绝原假设，即两总体方差差异显著； 若 ，则接受原假设，即两总体方差差异不显著（方差具有齐性）,两个独立样本方差间差异的显著性检验,例 某次教改后，从施行两种不同教学方法的班级中随机各抽出10份和9份试卷，得到如下
3、的成绩数据： 控制班：85 76 83 93 78 75 80 79 90 88 对比班：75 86 96 90 62 83 95 70 58 拟比较试验的效果，检验方差是否齐性？ （注：方差大者为分子，其自由度为第一自由度）,多个独立样本方差差异的显著性检验,方差齐性是进行方差分析的前提条件。方差分析常要比较多个方差之间是否齐性，对于三个以上方差的显著性检验，常用哈特莱最大F值法。公式为： 即以各样本方差中最大者和最小者之比求得最大F值。 若 ，则拒绝原假设。即至少有一对方差不相等； 若 ，则接受原假设，即方差相等。 （附表8为哈特莱临界值表，k为所求方差总个数，n为样本容量，若各样本容量不
4、同，取最大值-1为自由度）,哈特莱最大F值法应用举例,例2 某地区从五所小学三年级各随机抽取一部分学生，统一进行语文测试，结果如下，问各校语文测验成绩的离散程度是否一致？,二、单因素完全随机设计方差分析,检验两个总体之间平均数差异显著性用Z检验或t检验;检验两个总体方差差异显著性用F检验;检验三个或三个以上均数之间的差异性用方差分析.这部分主要介绍: 1、方差分析的基本原理 2、方差分析的一般步骤 3、单因素完全随机设计方差分析过程,方差分析(Analysis of variance) (简称ANOVA)又称变异数分析的基本原理,引例 某小学科研组为研究教师对学生的态度是否影响学习成绩，在三年
5、级四个班中进行数学教学实验。一班用表扬的方法，二班用责备的方法，三班用放任的方法，四班作为控制班按常规教学。一段时间后，进行测验，从各班分别随机抽取几份成绩单，成绩如下，问教师对学生的态度是否影响学生的学习成绩，即四个班学习效果是否有显著性差异？ 一班：88 83 90 81 平均：85.5 二班: 87 73 82 79 85 平均: 81.2 三班: 74 36 81 68 平均: 64.75 四班: 80 86 78 82 87 平均: 82.6,方差分析的基本原理,分析: 可以看出,数据各不相同,这种差异可能是由研究的变量(态度不同)造成的,称为组间差异( );也可能是由随机抽样或其他
6、原因造成的,称为组内差异( ). 方差分析的基本原理: 方差分析就是将总体变异分解为组间变异( )和由抽样误差等其他原因产生的组内变异( ),然后分析组间变异与组内变异的关系.若样本组间变异比组内变异显著地大,则认为组间有本质性差异,否则不认为组间有显著性差异.,1、方差分析：通过组间和组内的方差之比（F）值来实现对多个平均数间差异的显著性检验。 2、基本理论依据：方差的可加性。 3、基本公式： 其中，,4、自由度：总体自由度可分解为组间自由度和组内自由度。 总体自由度 组间自由度 组内自由度 （比较组间差异与组内差异，不能直接比较各自的离差平方和，因为离差平方和的大小与求离差平方和的项数有关
7、。为消去项数的影响，分别求其均方，即将离差平方和除以各自的自由度，并以MS表示。均方即样本方差，为总体方差的无偏估计。） 5、组内均方和组间均方,方差分析的一般步骤,检验公式：由于组间均方与组内均方是互为独立的，可用F值检验组间均方与组内均方是否差异显著，公式为 因此，多个平均数之间差异显著性检验的原假设为：各样本所来自的总体平均数相等。备择假设为：其中至少有一对平均数不等。检验时，按组间自由度和组内自由度查F分布表，查出临界值，然后将计算的F值与临界值进行比较，进而作出决断。,方差分析的一般步骤,1、提出假设 原假设：各样本所来自总体平均数相等； 备择假设：其中至少有一对平均数不相等。 2、
8、计算平方和、自由度 3、计算F值 4、确定临界值：由 、 查表确定临界值。 5、列方差分析总表,单因素完全随机设计方差分析的过程,实验中的自变量称为因素，只有一个自变量的实验称为单因素实验；有两个或两个以上自变量的实验称为多因素实验。 例为比较三种复习方法对小学生学习效果产生的影响是否有显著性差异，将40名学生分成三组，让A组学生用集中复习法，B组学生采用间隔复习法，C组学生用回忆法。此处，复习方法是实验中惟一自变量，此因素为单因素实验，三种复习方法是复习方法的三种不同水平单因素方差分析。 若要研究两种教学方法在理解力不同的三个小组中的实验效果是否有显著性差异，用双因素实验设计，教学方法和理解
9、力是两个因素前者有两种水平，后者有三种水平，对以上实验效果进行显著性检验多因素方差分析。,单因素完全随机设计方差分析的过程,例3 某小学语文教研组为研究学习环境对小学生学习成绩的影响，从三年级中随机抽取20名学生，随机分成四组，在四种环境下进行学习，其效果如表8-5，四种不同的学习环境对学习成绩的影响是否有显著差异？,方差分析概要表,离差平方和其它求法,方差分析中关键步骤:求离差平方和.为计算方便,往往用原始观测值直接求平方和,公式如下:,离差平方和其它求法,在无法直接得到原始数据,仅知道 统计资料的情况下,也可对多组数据进行方差分析.其组间平方和与组内平方和计算公式如下:,3 单因素随机区组
10、设计方差分析,一、单因素随机区组设计的含义 在完全随机化实验设计（单因素）的方差分析中，将实验数据的总变异分解为由处理不同造成的组间变异和由误差因素造成的组内变异。组内差异不仅反映实验的随机误差，而且反映实验组内被试间个别差异。 区组：将从同一总体中抽取的被试按条件相同的原则分成各个组，使各组内被试尽量保持同质，这些组称为区组。 随机区组实验设计最早应用于农业实验。在农业实验中，为研究不同品种（处理）的差异，而将土地按土质、水分、肥性等因素划分为不同块（区组），使得每一块内土质大体一致，再将区组划分为小块（小区），每一小区种一种品种的作物。“区组”的概念就被沿用。 设计原则：同一区组内的被试尽
11、量同质。,单因素随机区组设计方差分析的过程,单因素随机区组设计方差分析的过程,单因素随机区组设计方差分析的过程,单因素随机区组设计方差分析的过程,单因素随机区组设计方差分析的过程,单因素随机区组设计方差分析的过程,单因素随机区组设计方差分析过程与单因素完全随机设计方差分析过程一致，分为：提出假设、计算有关统计量、计算F值、确定显著性水平及临界值、统计决策（列方差分析表）。不同之处在于：组内平方和分解为区组平方和、误差平方和两部分，计算公式如下：,单因素随机区组设计方差分析的过程,2、自由度： 3、求组间平方和、误差平方和以及组间自由度和误差自由度，就可求组间均方、误差均方：,4 平均数间的多重
12、比较,方差分析是对多个平均数间差异的显著性进行检验.通过F检验,综合判断各总体平均数间是否有差异. 若 ,则接受原假设.即各组平均数相等,检验分析工作结束; 若 ,则拒绝原假设.即至少有两组平均数不相等.但究竟哪两对平均数不等,并不完全清楚,需对平均数作进一步逐对比较-平均数间的多重比较.本节主要讨论: 1、平均数间多重比较的方法 2、平均数间多重比较方法的应用,平均数间的多重比较,基本思想:将任两组平均数间差异与某一显著性水平的临界值比较,若达到临界值则两平均数差异显著,否则差异不显著. 临界值计算公式: 其中, 、 分别为所要比较的任意两组平均数; 为组内均方; 、 分别为两样本容量; 为组内自由度.临界值公式可变形为：,平均数间的多重比较,检验结论如下： 当 时，两公式变形为：,应用举例,例7 某小学为评价四位英语教师的教学效果，从各自所任课的五年级的四个班中，分别随机抽取五名学生的期末英语成绩，如表8-11。这四位英语教师的教学效果是否有显著性差异？如果有差异，检验哪两个差异显著。,应用举例,1、建立假设 2、计算相关统计量 3、计算F值 4、统计决断 5、计算各样本平均数 6、求最小差异的临界值 7、列出平均数多重比较表，表内为任意两平均数间差异的绝对值,