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1、多边形的内角和与外角和教学设计教学任务分析知识与技能掌握多边形内角和公式及外角和定理，并能应用.1. 经历把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题的过程，体会转化思想在几何中的应用，同时体会从特殊到一般的认识问题的方法；教学过程与方法目标2. 经历探索多边形内角和公式的过程，尝试从不同角度寻求解决问题的方法 . 训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神.情感态度价通过猜想、 推理等数学活动，感受数学充满着探索以及数学结论的确值观定性，提高学生学习数学的热情.重点多种方法探索多边形内角和公式难点多边形内角和公式的推导教学流程安排活动流程活动内容和目的活动 1 学生自主探索四边形从对三角形及特殊四
2、边形（正方形、 长方形） 内角和的认识出发，内角和使学生积极参加到探索四边形内角和的活动中.活动2 教师引导学生探索加深对转化思想方法的理解，训练发散思维、培养创新能力.总结把四边形转化为三角形添加辅助线的基本方法通过把多边形转化为三角形体会转化思想，感受从特殊到一般的数学思考方法.活动3 探索n 边形内角和公式学生提高动手实操能力、突破“添”的思维局限活动4师生共同研究递推综合运用新旧知识解决问题.法确定n 边形内角和公式回顾本节内容，培养学生的归纳概括能力.活动5多边形内角和公式的应用反思总结，巩固提高.活动6 小结作业课前准备教师用三角尺剪刀复印材料课件教学过程设计三角形纸片问题与情景师
3、生行为设计意图 活动 1、 2学生回答：通过回忆三角问题 1. 三角形的内形的内角和，有助角和是多少？三角形内角和是180 , 与形状无关 ; 正方于 后 续 问 题 的 解形、长方形内角和是 360（ 4 90），由此决.与形状有关吗？猜想任意凸四边形内角和是360 .从四边形入问题 2. 正方形、长方学生先独立探究 , 再小组交流讨论 .手，有利于学生探形 的 内 角 和 是 多求它与三角形的关少？教师深入小组指导，倾听学生交流 . 对于通系，从而有利于发过测量、拼图说明的，可以引导学生利用添加现 转 化 的 思 想 方由此你能猜想任意辅助线的方法把四边形转化为三角形.法.凸 四 边 形
4、内 角 和吗？学生汇报结果 .通过动手操作寻找结论，让他动 脑 筋 、 想 办们积极参加数学活法，说明你的猜想是动、主动思考、合正确的 .作交流，体验解决问 题 策 略 的 多 样性.通过寻求多过一个顶点画对角线1 条，得到2 个三角种方法解决问题，训练学生发散思维形，内角和为2 180；能力、培养创新意识.画 2 条对角线，在四边形内部交于一点，得到 4 个三角形，内角和为4 180 -360 ；若在四边形内部任取一点，如图，也可以得到相应的结论；问题 3 添加辅助线的目的是什么， 方法有没有什么规律呢？这个点还可以取在边上（若与顶点重合，转化为第一种情况连接对角线；否则如图4） 活动 3问
5、题 4 怎样求 n 边形的内角和？（ n 是大于等于 3 的整数） 活动 4每名同学发一张三角形纸片问题 5 一张三角形纸片只剪一刀， 能不能得到一个四边形， 在内角和为 3180 -180 ；点还可以取在外部，如图5、6. 由图 5，内角和为 3 180-180 ；由图6，内角和为2180；教师重点关注 : 学生能否借助辅助线把四边形分割成几个三角形；能否借助辅助线找到不同的分割方法 .教师总结：利用辅助线把四边形的内角和转化为三角形的内角和，体现了化未知为已知的转化思想 . . 以上这些方法同样适用于探究任意凸多边形的内角和. 为方便起见， 下面我们可以选用最简单的方法过一点画多边形的对角
6、线，来探究五边形、六边形，甚至任意n 边形的内角和 .学生归纳得出结论：从n 边形的一个顶点通 过 归 纳出发可以引（ n-3 ）条对角线，它们将n 边形分概括得出任意凸多割成（ n-2 ）个三角形，（凸）n 边形的内角和边形的内角和与边等于（ n-2 ） 180 .数关系的表达式，体会数形之间的联特点：内角和都是180的整数倍 .系，感受从特殊到一般的数学推理过程 和 数 学 思 想 方法.将三角形去掉一个角可以得到四边形，如图 7，四边形内角和为180 +2 180 -180 =2 180.这一过程中内角发生了怎样的变化学生突破常规，学会逆向思维，变以问题 6 由四边形得到往的“把多边形转
7、五边形呢？化成三角形” 为“把每个图形都是前一个图形剪去一个三角形，每三角形转化成多边依此类推能否猜想 n次操作内角和增加 180， n 边形是三角形经过形”同样使问题得边形内角和公式（ n-3 ）次操作得到的，所以 n 边形内角和公式到解决为（ n-2 ） 180（严谨的证明应在学习数学归纳法后） 活动 5学生自己画图、思考. 叙述理由：六边形知 道 了 凸 多 边的六个外角与六个内角构成6 个平角，结合内形的内角和， 它可以角和公式，因此得到解决哪些问题呢？6 180- （ 6-2 ） 180=360学生思考，回答 .问题 6：六边形的外角和等于多少？n 边形中，每个顶点处的内角与一个外角
8、组成一个平角，它们的和，即n 边形内角和与外角和的和为n 180，而内角和为（ n-2 ）n 边形外角和是多180，因此外角和为 360 .少？练习一个多边形各内角练习 . 解：（ n-2 ） 180=150n， n=12；都 相 等 ， 都 等 于150 ， 它 的 边 数或 360（ 180-150 ） =12（利用外角和）是，内角和是.150 12=1800 . 活动 5学生自己小结，老师再总结 .小结1.多 边形内 角和公 式（ n-2）下面请同学们总结180，外角和是 360；一下这节课你有哪些收获 .2.由特殊到一般的数学方法、转利 用 内角和求外角和，巩固 了 内 角 和 公式
9、.如时间允许，此时还可补充利用“转角”求多边形外角和的方法，这样就变成了可以利用外角 和 来 推 导 内 角和，这又是一种逆向思维巩固内角和公式，外角和定理 .学会总结，培养归纳概括能力 .化思想 .作业：一同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125，可能吗？多边形内角和与不课后思考题 .等 式 的 综 合 应 用当他发现错了之后，重新检查，发现少算题，一题多解，提了一个内角，你能求出这个内角是多少度？他高学生的综合应用求的是几边形的内角和吗？能力 .作业：解法 1. 设这是 n 边形， 这个内角为x , 依题意：（ n-2 ） 180=1125+xx=（ n-2 ） 180-112
10、5 0 x180 0（ n-2 ） 180-1125 180解得： n n 是整数， n=9.x=（ 9-2 ） 180-1125=135注：方程（ n-2 ）180=1125+x 中有两个未知数，解法 1 用 n 表示 x，根据 x 的取值范围解不等式组求出了n；如果用 x 表示 n，你能解出来吗？解法 2. 设这是 n 边形， 这个内角为x , 依题意：（ n-2 ） 180=1125+x n 是整数， 45+x 是 180 的倍数 .又 0x 180 45+x=180， x=135， n=9还可以根据内角和的特点, 先求出内角和.解法3. 设此多边形的内角和为x ,依题意： 1125 x 1125+180即： 180 6+45x 1807+45 x 是多边形内角和的度数 x 是 180 的倍数 x=180 7=1260边数 =7+2=9，这个内角 =1260-1125 =135解法 4（极值法） . 设这是 n 边形，这个内角为 x , 则 0 x 180 ，依题意：（n-2 ）180=1125+x令 x=0，得： n=，令 x=180，得： n= n 其 余 同 解 法1.