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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合 A x | x25x60，B x | x10，则 A B（）A. (,1)B. (2,1)C.(3, 1)D.(3,)2.设 z3 2i ，则在复平面内z 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知，(3, t )，|BC |1，则 AB BC（）AB （2,3） ACA.-3B.-2C.2D.34.2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取
2、得又一重大成就。 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行。L2 点事平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球质量为M 1，月球质量为 M 2 ，地月距离为R ， L2 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程：M 1M 2( R r ) M 1 .(R r )2r 2R3设r，由于的值很小，因此在近似运算中3 334533 ，则 r 的近似R(1) 2值为（）A.M 2 RB.M 2 RC.33M2 RD. 3M 2 RM 12M 1M 13M 1
3、5.演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、 1 个最低分， 得到 7 个有效分。 7 个有效评分与9 个原始评分相比，不变的数字特征是（）A.中位数B.平均数C. 方差D. 极差6.若 ab ，则（）A. ln( a b)0B. 3a3bC. a3b30D.| a | b |7.设 ,为两个平面，则/的充要条件是（）A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一条直线8.若抛物线 y22 px( p0) 的焦点是椭圆x2y21 的一个焦点，则p（ ）3 ppA.2B.3C.4D.89.下
4、列函数中，以2为周期且在区间( ,) 单调递增的是（）42A. f (x) | cos 2x |B. f ( x)| sin 2x |C. f ( x)cos | x |D. f ( x)sin | x |10.已知(0,) ， 2 sin 2cos21，则 sin（）21B.5C.325A.53D.5511.设 F 为双曲线 C :x2y21(a0,b0)的右焦点， O 为坐标原点，以OF 为直径的a2b2圆与圆 x2y2a 2交于 P,Q 两点，若 | PQ |OF |，则 C 的离心率为（）A. 2B. 3C.2D. 512.设函数 f ( x) 的定义域为 R ，满足 f (x1)2
5、f (x)，且当 x(0,1 时， f ( x) x( x 1) .若对任意 x(, m ，都有 f (x)9），则 m 的取值范围是（, 9 , 7 8, 5 , 8A. (B. (C. (D. (4323二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。13.我国高铁发展迅速， 技术先进 .据统计， 在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20个车次的正点率为0.98，有 10个车次的正点率为0.99 ，则经停该站高铁列车所有车次的正点率的估计值为.14.已知f ( x)是奇函数，且当x0时，f (x)eax 若f (ln 2)8，则 a.15.ABC 的内角
6、 A, B, C 的对边分别为a, b,c .若 b6 ， a2c ， B，则ABC 的面3积是.16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半多面体体现了数学的对称美.图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1，则该半正多面体共有个面，其棱长为.（本题第一空2 分，第二空3分 .）三、解答题： 共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，
7、每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。17.（12 分）、如图，长方体ABCDA1B1C1D1的 底 面ABCD是正方形，点E 在 棱AA1上 ，BEEC1 .（ 1）证明：BE 平面 EB1C1 ；（ 2）若 AEA1E ，求二面角 BEC C1 的正弦值 .18.（12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立 .在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人
8、又打了 X 个球该局比赛结束 .（ 1）求 P（ X=2）；（ 2）求事件 “X=4 且甲获胜 ”的概率 .19（ 12 分）已知数列 an 和bn满足 a1=1， b1 =0， 4an 13anbn4 ， 4bn 13bnan4 .（ 1）证明： an+bn 是等比数列， an bn是等差数列；（ 2）求 an和 bn的通项公式 .20（ 12 分）已知函数x1f x ln x.x 1（ 1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（ 2）设 x0 是 f(x)的一个零点， 证明曲线y=ln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线 .21（ 12 分）
9、已知点 A(- 2,0)，B(2,0)，动点 M (x,y)满足直线AM 与 BM 的斜率之积为- 1 .记 M 的轨迹为2曲线 C.（ 1）求 C 的方程，并说明 C是什么曲线；（ 2）过坐标原点的直线交 C 于 P， Q 两点，点 P在第一象限， PE x 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G.（ i）证明： PQG 是直角三角形；（ ii）求 PQG 面积的最大值 .请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22 选修4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点M (0 ,0 )(00) 在曲线C :4sin上，直线l 过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.（ 1）当0 =时，求0 及l 的极坐标方程；3（ 2）当M 在C 上运动且P 在线段OM上时，求P 点轨迹的极坐标方程.23 选修 4-5：不等式选讲已知 f ( x)| xa | x（10 分）| x2 | (xa).（ 1）当a1 时，求不等式f (x)0的解集；（ 2）若x(,1时，f ( x)0，求a 的取值范围.