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1、-精选文档 -数学试验报告一、实验问题：有一形状较为复杂， 但表面很光滑的曲面工件.通过科学手段， 将其放置于某一空间坐标系下，测得曲面上若干个点的坐标如下：Y-5-4-3-2-1012345x-513.6-8.2-14.8-6.61.40-3.81.413.616.80-4-8.2-15.8-7.92.23.800.67.310.10-16.8-3-14.8-7.92.55.82.302.75.10-10.1-13.7-2-6.62.25.93-0.301.90-5.1-7.3-1.4-11.43.82.3-0.3-0.900-1.7-2.7-0.63.80000000000001-3.80
2、.62.71.7000.90.3-2.3-3.8-1.421.47.35.10-1.700.3-3.1-5.8-2.26.6313.610.10-5.1-2.70-2.3-5.8-2.57.914.8416.80-10.1-7.3-0.60-3.8-2.27.915.88.25016.3-13.6-1.43.80-1.46.614.88.2-13.6要求：（ 1）、画出该曲面工件的图形.可编辑-精选文档 -（ 2）、在已知相邻的横、 纵坐标之间插入三个分点， 用 interp2 命令计算出所有点处的竖坐标，画出相应的插值曲面 .（ 3）、分别用不同的方法求出该曲面工件表面积的近似值 .二、问题
3、分析：（ 1）、由 x=-5:1:5;y=-5:1:5 产生“格点”矩阵，再用已知的各“格点”的纵坐标 z，用 surf （x,y,z）命令即可画出未进行插值的工件表面图形。（ 2 ）、 要 在 已 知 相 邻 的 横 、 纵 坐 标 之 间 插 入 三 个 分 点 ， 则 要 用xc=-5:0.25:5;yc=-5:0.25:5产生另一个 “格点” 矩阵，然后使用 interp2命令计算所有“格点”处的纵坐标 z，然后再用 surf（x,y,z）命令即可画出该插值曲面。（ 3）、该工件是一个曲面，要求其表面积的近似值， 可以想到的用“分”，“匀”，“和”，“精”的思想，将工件曲面分成 n 个
4、在 xoy 平面上的投影是边长为 d 的矩形的曲面四边形 （从第（ 2）题画出的曲面可以一目了然的看出） ，分别求出各个曲面四边形的面积再求和， n 取的越大， d 越小，越接近准确值。对于如何求每一个曲面四边形的面积 :方法 1 ：如图所示，曲面面积微元S 近似等于以 OP1 和 OP2 为邻边的平行四边形的面积S= ?，只要 n 取的值较大， d 足够小，误差会较小。可编辑-精选文档 -曲面微元：方法 2 ：由第一型面积分公式：S = ? （ ） 1 + Fx2 + Fy2 dxdy ，曲面面积微元 S 等于 1 + F2x + F2y dxdy . 由上述分割工件曲面的思想，dxdy 即
5、等于 d2 . 问题是如何求得曲面方程的对x、y 的偏导数？通过查找资料，发现 Matlab软件中有求梯度的命令gradient ，因此，曲面的面积微元S 可以求得，而且与方法一类似，当d 取足够小时，误差可以忽略不计。三、问题求解：（1）、使用 Matlab软件编写如下程序：x=-5:1:5;y=-5:1:5;xb,yb=meshgrid(x,y);zb=13.6,-8.2,-14.8,-6.6,1.4,0,-3.8,1.4,13.6,16.8,0;-8.2,-15.8,-7.9,2.2,3.8,0,0.6,7.3,10.1,0,-16.8;-14.8,-7.9,2.5,5.8,2.3,0,
6、2.7,5.1,0,-10.1,-13.7;-6.6,2.2,5.9,3.0,-0.3,0,1.9,0,-5.1,-7.3,-1.4;1.4,3.8,2.3,-0.3,-0.9,0,0,-1.7,-2.7,-0.6,3.8;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;可编辑-精选文档 -3.8,0.6,2.7,1.7,0,0,0.9,0.3,-2.3,-3.8,-1.4;1.4,7.3,5.1,0,-1.7,0,0.3,-3.1,-5.8,-2.2,6.6;13.6,10.1,0,-5.1,-2.7,0,-2.3,-5.8,-2.5,7.9,14.8;16.8,0,-10.1,-7.3,-0.
7、6,0,-3.8,-2.2,7.9,15.8,8.2;0,16.3,-13.6,-1.4,3.8,0,-1.4,6.6,14.8,8.2,-13.6;surf(xb,yb,zb)图 1、由已知坐标点画出的工件表面图形（2）、使用 Matlab软件编写如下程序：x=-5:1:5;y=-5:1:5;可编辑-精选文档 -xb,yb=meshgrid(x,y);zb=13.6,-8.2,-14.8,-6.6,1.4,0,-3.8,1.4,13.6,16.8,0;-8.2,-15.8,-7.9,2.2,3.8,0,0.6,7.3,10.1,0,-16.8;-14.8,-7.9,2.5,5.8,2.3,0
8、,2.7,5.1,0,-10.1,-13.7;-6.6,2.2,5.9,3.0,-0.3,0,1.9,0,-5.1,-7.3,-1.4;1.4,3.8,2.3,-0.3,-0.9,0,0,-1.7,-2.7,-0.6,3.8;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-3.8,0.6,2.7,1.7,0,0,0.9,0.3,-2.3,-3.8,-1.4;1.4,7.3,5.1,0,-1.7,0,0.3,-3.1,-5.8,-2.2,6.6;13.6,10.1,0,-5.1,-2.7,0,-2.3,-5.8,-2.5,7.9,14.8;16.8,0,-10.1,-7.3,-0.6,0,-3.8
9、,-2.2,7.9,15.8,8.2;0,16.3,-13.6,-1.4,3.8,0,-1.4,6.6,14.8,8.2,-13.6;xc=-5:0.25:5;yc=-5:0.25:5;xcb,ycb=meshgrid(xc,yc);zcb=interp2(xb,yb,zb,xcb,ycb,spline)surf(xcb,ycb,zcb)图 2、插值计算出的所有点的纵坐标值（截取了一部分）可编辑-精选文档 -图 3、插值曲面（3）、求工件表面面积：利用方法一求面积微元：x=-5:1:5;y=-5:1:5;可编辑-精选文档 -xb,yb=meshgrid(x,y);zb=13.6,-8.2,-1
10、4.8,-6.6,1.4,0,-3.8,1.4,13.6,16.8,0;-8.2,-15.8,-7.9,2.2,3.8,0,0.6,7.3,10.1,0,-16.8;-14.8,-7.9,2.5,5.8,2.3,0,2.7,5.1,0,-10.1,-13.7;-6.6,2.2,5.9,3.0,-0.3,0,1.9,0,-5.1,-7.3,-1.4;1.4,3.8,2.3,-0.3,-0.9,0,0,-1.7,-2.7,-0.6,3.8;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-3.8,0.6,2.7,1.7,0,0,0.9,0.3,-2.3,-3.8,-1.4;1.4,7.3,5.1,0,
11、-1.7,0,0.3,-3.1,-5.8,-2.2,6.6;13.6,10.1,0,-5.1,-2.7,0,-2.3,-5.8,-2.5,7.9,14.8;16.8,0,-10.1,-7.3,-0.6,0,-3.8,-2.2,7.9,15.8,8.2;0,16.3,-13.6,-1.4,3.8,0,-1.4,6.6,14.8,8.2,-13.6;d=0.25 ；%改变 d 的值即可改变曲面四边形的个数nxc=-5:d:5;yc=-5:d:5;xcb,ycb=meshgrid(xc,yc);zcb=interp2(xb,yb,zb,xcb,ycb,spline);p=1;q=1;ss=0;whi
12、le p10/d+1while q10/d+1可编辑-精选文档 -s=sqrt(d*d*(zcb(p,q+1)-zcb(p,q)2+d*d*(zcb(p+1,q)-zcb(p,q)2+d4);%s 为每一个曲面四边形的面积ss=s+ss;%对 s 循环相加q=q+1;endq=1;p=p+1;endss（步长 d 取 0.25 时得工件表面积约为ss =670.0184 ）使用方法二求面积微元：x=-5:1:5;y=-5:1:5;xb,yb=meshgrid(x,y);zb=13.6,-8.2,-14.8,-6.6,1.4,0,-3.8,1.4,13.6,16.8,0;-8.2,-15.8,-
13、7.9,2.2,3.8,0,0.6,7.3,10.1,0,-16.8;-14.8,-7.9,2.5,5.8,2.3,0,2.7,5.1,0,-10.1,-13.7;-6.6,2.2,5.9,3.0,-0.3,0,1.9,0,-5.1,-7.3,-1.4;1.4,3.8,2.3,-0.3,-0.9,0,0,-1.7,-2.7,-0.6,3.8;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-3.8,0.6,2.7,1.7,0,0,0.9,0.3,-2.3,-3.8,-1.4;可编辑-精选文档 -1.4,7.3,5.1,0,-1.7,0,0.3,-3.1,-5.8,-2.2,6.6;13.6,10.
14、1,0,-5.1,-2.7,0,-2.3,-5.8,-2.5,7.9,14.8;16.8,0,-10.1,-7.3,-0.6,0,-3.8,-2.2,7.9,15.8,8.2;0,16.3,-13.6,-1.4,3.8,0,-1.4,6.6,14.8,8.2,-13.6;d=0.25;%改变 d 的值即可改变曲面四边形的个数nxc=-5:d:5;yc=-5:d:5;xcb,ycb=meshgrid(xc,yc);zcb=interp2(xb,yb,zb,xcb,ycb,spline);Fx,Fy=gradient(zcb,d,d);p=1;q=1;ss=0;while q10/d+1while
15、 p10/d+1s=sqrt(1+Fx(p,q)2+Fy(p,q)2)*d*d;%s 为每一个曲面四边形的面积ss=s+ss;%对 s 循环相加p=p+1;endp=1;q=q+1;可编辑-精选文档 -endss（步长 d 取 0.25 时得工件表面积约为ss = 661.1878）两种方法的比较：d 的取方法一的 ss方法二的 ss值0.250670.0184661.18780.200671.3242665.43360.100673.9680672.15380.050675.0788674.52040.020675.7059675.56850.010675.9075675.85340.005676.0069675.9836可以看出，两种方法算得的工件表面面积最终都逼近到676 左右，因此，可以认为工件表面面积约为676 。还可以看出， 当 d 取的值不是很大的情况下，方法一的结果更接近准确值，方法一误差相对较小。可编辑