《初一数学竞赛辅导(第13讲).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初一数学竞赛辅导(第13讲).docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第十三讲从三角形内角和谈起三角形的内角和等于 180( 也称一个平角 ) 是三角形的一个基本性质从它出发可引出下面两个事实：(1) 三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和如图 1 35 所示延长三角形的三条边，由三角形一条边及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角如图135 中的 1， 2， 3， 4， 5， 6由于 1+ABC=180( 平角 ) ，又BAC+BCA+ ABC=180，所以 1=BAC+BCA同法可证 3=BAC+ABC， 5=ABC+ACB(2)n边形的内角和等于(n -2) 180如图 1 36 所示以 n 边形 A1A2An 的某一个顶点 ( 如 A1
2、) 为共同顶点，将这个 n 边形“分割成” n -2 个三角形 A1A2A3，A1A3A4， A1An-1An由于每一个三角形的内角和等于 180，所以，这 n-2 个三角形的内角和 ( 即 n 边形的内角和 ) 为(n -2) 180 ( 详证见后面例 6) 三角形内角和等于180这个事实有着广泛的应用例 1 如图 1 37 所示平面上六个点 A，B， C ，D，E，F 构成一个封闭折线图形求： A+B+ C+D+E+F分析 所求的六个角分布在三个三角形中，但需减去顶点位于 P，Q，R处的三个内角， 由图形结构不难看出， 这三个内角可以集中到 PQR中解 在 PAB， RCD， QEF中，A
3、+B+ APB=180， C+D+ CRD=180， E+F+ EQF=180 又在 PQR中QPR+PRQ+ PQR=180又 APB=QPR， CRD= PRQ，EQF=PQR(对顶角相等 ) +-得A+ B+C+D+ E+F=360说明 依据图形的特点，利用几何图形的性质将分散的角集中到某些三角形之中，是利用三角形内角和性质的前提例 2 求如图 138 所示图形中 A+B+ C+D+E 的大小分析 如果我们注意力放在三角形内角和上，那么ABE=ABO+OBE，AEB=AED+OEB而 ABE， AEB属于 ABE， OBE， OEB属于 OBE，再注意到 OBE及 ODC中，因 BOE=
4、 COD(对顶角 ) ，因而， D+ C=OBE+OEB从而，可求出题中五角和解法 1 连接 BE在 COD中，C+D+ COD=180 在 ABE中， A+ABE+AEB=180 +得( A+ C+D)+ COD+ ABE+ AEB=360 又ABE=ABO(即为 B)+OBE，AEB=AEO(即为 E)+OEB故式可化为( A+ B+ C+D+ E)+( COD+ OBE+ OEB)=360由于COD=BOE(对顶角相等 ) ，在 BOE中 COD+ OBE+ OEB =BOE+OBE+OEB180由得 A+B+C+ D+E=180解法 2 如果我们注意到三角形外角的性质， 结合图形 (
5、图 139) 会发现在 OCD中有 1=C+ D， APE中 2=A+E，在 BOP中 1+ 2+B=180，从而有 A+ B+C+D+ E=180说明 本例解法 2 比解法 1 简洁，因为我们应用了关于三角形外角的性质例 3 如图 1 40 所示在 ABC中， B 的平分线与 C 的外角平分线交于 D，且 D=30求 A 的度数分析 D位于 BCD中， A 位于 ABC中，它们位于两个不同的三角形之中，欲利用三角形内角和定理解决问题， 就必须寻求两个三角形中内角之间的关系，角平分线的条件为我们提供了信息，事实上解 由已知， D=30在 BCD中，CBD+BCD=180 -30 =150因为
6、BD是 ABC的平分线，所以又因为 CD是 ACE的平分线，所以从而由，即所以所以A=60说明 解决本题的关键在于两条角平分线架起了 ABC与 BCD之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡 细心审题， 发现已知与所求之间的联系，常是解题的重要前提例 4 如图 1-41 所示 A=10， ABC=90，ACB=DCE， ADC= EDF， CED=FEG求 F 的度数分析 如果我们能注意到所给的一系列等角条件正反映了内角与外角的关系，问题就不难解决例如在ACB=DCE中， ACB是 ABC的一个内角， DCE是 ACD的外角ADC=EDF及 CED= FEG两个等式两边的角也是类似情况，这就为我们
7、利用外角定理解题创造了机会解 在 ABC中， A=10， ABC=90，所以 ACB80因为DCE=ACB=80，在 ACD中， DCE是它的一个外角，所以 DCE= A+ADC，80=10 +ADC，所以ADC=70， EDF=ADC=70在 ADE中， EDF是它的一个外角，所以 EDF= A+AED，70=10 +AED，所以AED=60， FEG=AED=60在 AEF中， FEG是它的一个外角，所以FEG= A+F，所以 F=FEG-A=60-10=50例 5 如图 1 42 所示 ABC的边 BA延长线与外角 ACE的平分线交于 D求证： BAC B分析 三角形的外角定理的意义中已
8、暗含着“三角形的外角大于三角形中与此外角不相邻的内角” 的意义证明有关三角形角的不等问题可从此下手证 BAC是 ACD的一个外角，因为 BAC=1+ D，所以 2BAC=2 1+2D=ACE+2D ACE ( 因为 CD是 ACE的平分线 ) 又 ACE是 ABC的一个外角，所以 ACE= B+BAC 由，2 BAC B+BAC，所以 BAC B由于多边形可以分割为若干个三角形， 因而多边形的内角和可以转化为三角形内角和来计算下面我们来求 n(n 3 的自然数 ) 边形的内角和例 6 n 边形的内角和等于 (n -2) 180分析 我们不妨先从具体情况入手当 n=4 时，如图 143 所示四边
9、形 ABCD用一条对角线可以分割成两个三角形，因此四边形 ABCD的内角和 =三角形 ABC的内角和 +三角形 ACD的内角和=2180=360当 n=5 时，如图 144 所示五边形 ABCDE用两条对角线可以分割为三个三角形类似于 n=4的情况，可证明：五边形 ABCDE的内角和 =3180 =540由这两个具体实例，我们可以找到n 边形的内角和的证明方法证 在 n 边形 A1A2A3An 中，以 A1为一个端点，连接对角线 A1A3，A1A4， A1An- 1，共有 (n -1) -3+1=n-3 条对角线，将这个 n 边形分割成 n-2 个三角形显然，这 n-2 个三角形的内角“合并”
10、起来恰是这个 n 边形的 n 个内角，如图 1-45 所示所以n 边形的内角和 =(n -2) 180说明 (1) 从具体的简单的问题入手常能找到解决复杂问题的思路如本题从 n=4，5 入手，找到将多边形分割为三角形的方法( 这是一个本质的方法 ) ，从而可以推广到n 为任意自然数的范围中去(2) 各条边都相等，各个内角都相等的多边形称为正多边形由本例自然可以推出正 n 边形每一个内角的大小设正 n 边形的一个内角大小为a，则n 边形的内角和 =na=(n-2) 180，所以例如正五边形的内角的度数为正十边形的内角度数为练习十三1如图 1 46 所示 A+B+C+ D+E 的大小2如图 1 47 所示求A+ B+C+ D+E 的大小3如图 1 48 所示求 A+ B+C+D+E+F 的大小4如图 1-49 所示求 a+ B+C+D+ E+F+ G的大小5如图 1 50 所示 ABC中，AE是 A 的平分线， CDAE于 D求证： ACD B6若多边形内角和分别为下列度数时，试分别求出多边形的边数：(1)1260 ； (2)2160 7证明： n 边形的外角和等于360