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1、上海理工大学附属中学高一数学上册 基本不等式及其应用 练习 沪教版2.4 基本不等式及其应用1. 通晓两种基本不等式的形式：1 基本不等式1：对任意实数 a 和b，有22ab 2ab ，当且仅当 a b 时等号成立。2 基本不等式2：对任意正数 a,b ，有 abab ，当且仅当 ab 时等号成立。22. 全面理解基本不 等式：1 对于基本不等式2， a,b R条件 可减弱为 a 0, b0 ，所以上述条件只是充分不必要条件；2基本不等式的主体是均值；a bR ），即两正数的算术平均值不小于其几何平ab （ a,b23 基本不等式等号成立的充要条件是a b（ a0,b 0 ）；4 掌握不等式2
2、 的变形：a ba b2（ a,bR ），由此可知，当积为定值，ab (a, b R ) ，变形得： ab22和有最小值；当和为定值，积有最大值。3. 知道基本不等式还有其推广形式：1对任意 a,b,cR，有 ab c33abc ，当且仅当 a bc 时等号成立；2对任意a1, a2,L, an R，有 a1a2 L an nna1a2 L an，当且仅当 a1 a2 L an例 1. （ 1）当 x0 ， x1x 的值；的取值范围，并指出取的最小值时的x（ 2）当（ 3）若x 0 ，求 2x4x 的值；的最值，并指出取最值时xx1，求 x1的取值范围；x11（ 4）如果 x3 ，求 x23x
3、 1 的取值范围；x3例 2. （ 1）已知 x, yR ，且 x2 y 1，求证： xy1，并指出等号成立的条件；8（ 2）已知 0x1，求当 x 取何值时， x(1x) 值最大；（ 3）已知 0 x1_ 时， 3x(12x) 有最大值 _ ；，则当 x2（ 4）当 x_ 时， x1x2 有最大值 _ ；例 3. 已知 a, bR 且 ab 111，求的最小值；ab变式 一：已知 a,bR 且 3a2b 111，求的最小值；ab变式二：已知 a,bR 且 2a3b 121，求的最小 值；ab变式三 ：已知 a,b21b 的最小值；R 且1 ，求 aab例 4.对于问题“已知正数x, y 满足
4、 x2y1，求 11的最小值”有如下做法：xyQ x2 y 1 且 x, y1111(x2y) 21，0 ，yxy2 2xy 4 2xxy21142xymin判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确的解法。例 5. 下列四个命题中真命题的是（）（A） x1的最小值为2；（ B）x211的最小值为2；xx21（C）x241的最小值为2；（ D） x42 的最小值为 2x24x例 6. 在 4 9 =60 的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上和。例 7. （ 1）若 0x5 ，求 y x(5 2x)2 的最大值；2（ 2）若 x0 ，求 yx26 的最小值；x（
5、3）已知命题：若 a, bR ，且 a b111，那么4ab1证明此命题是真命题。2R ，且 a bc 1 ，能得到什么结论？推广上述结论。如果 a, b, c例 8. 一批赈灾物资随26 列货车从某地出发以v 千米每小时的速度匀速直达灾区，已知两地v2铁路线长为400 千米，为了安全起见，两列货车的间距不得小于千米，假设列车中203途不停车（列车长度不计） ，求这批物资全部运到灾区最快所需要的时间及最省时货车的速度。作业：1. 求下列各式的取值范围：（1） a1(a 1) ；（ 2） x1(x1) ；（3） x23x 3 ( x 2)a12x 12x222. 已知 a0 ，当 x1 时， x2xa2 有最小值 4，求此时 a 及 x 的值。x13. （ 1）已知正数 a 和 b 满足条件 a b1，求代数式 12的最小值。（ 2）设 a,b,u 都是正实数且 a, b满足 19ab1，求使得 ab u 恒成立的 u 的取值范围。ab4. 某工厂计划建造一座 平面图形为矩形且面积为 200 平方 米的三级污水处理池，中间有两道隔墙，如果池的外围周壁建造单价为每米 400 元，中间两道隔墙的造价为每米248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁厚度忽略不计，设计池的长和宽，使总造价最低，并求最低造价。4