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1、第十八讲加法原理与乘法原理加法原理和乘法原理是计数研究中最常用、也是最基本的两个原理所谓计数，就是数数，把一些对象的具体数目数出来当然，情况简单时可以一个一个地数 如果数目较大时， 一个一个地数是不可行的， 利用加法原理和乘法原理，可以帮助我们计数加法原理 完成一件工作有 n 种方式，用第 1 种方式完成有 m1 种方法，用第 2 种方式完成有 m2 种方法，用第 n 种方式完成有 mn 种方法，那么，完成这件工作总共有m1+m2+mn种方法例如，从 A 城到 B 城有三种交通工具：火车、汽车、飞机坐火车每天有 2 个班次；坐汽车每天有 3 个班次；乘飞机每天只有1 个班次，那么，从 A 城到
2、 B 城的方法共有 2+3+1=6种乘法原理 完成一件工作共需 n 个步骤：完成第 1 个步骤有 m1 种方法，完成第 2 个步骤有 m2 种方法，完成第 n 个步骤有 mn 种方法，那么，完成这一件工作共有m1m2 mn种方法例如，从 A 城到 B 城中间必须经过 C城，从 A 城到 C城共有 3 条路线 ( 设为 a， b， c) ，从 C城到 B 城共有 2 条路线 ( 设为 m， t) ，那么，从 A 城到 B 城共有 32=6 条路线，它们是：am， at ，bm，bt ， cm，ct 下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用例 1 利用数字 1，2，3，4，5 共可组成(
3、1) 多少个数字不重复的三位数？(2) 多少个数字不重复的三位偶数？(3) 多少个数字不重复的偶数？解 (1) 百位数有 5 种选择；十位数有 4 种选择；个位数有 3 种选择所以共有540 3=60个数字不重复的三位数(2) 先选个位数，共有两种选择： 2 或 4在个位数选定后，十位数还有 4 种选择；百位数有 3 种选择所以共有2 4 3=24个数字不重复的三位偶数(3) 分为 5 种情况：一位偶数，只有两个： 2 和 4二位偶数，共有 8 个： 12， 32，42，52，14，24， 34，54三位偶数由上述 (2) 中求得为 24 个四位偶数共有 2(4 3 2)=48 个括号外面的
4、2 表示个位数有 2 种选择 (2 或 4) 五位偶数共有 2(4 3 2 1)=48 个由加法原理，偶数的个数共有2+8+24+48+48=130例 2 从 1 到 300 的自然数中，完全不含有数字 3 的有多少个？解法 1 将符合要求的自然数分为以下三类：(1) 一位数，有 1， 2， 4， 5， 6， 7，8，9 共 8 个(2) 二位数，在十位上出现的数字有 1，2，4，5，6，7，8，98 种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有 0，共 9 种情形，故二位数有 89=72 个(3) 三位数，在百位上出现的数字有 1，2 两种情形，在十位、个位上出现的数字则有 0， 1， 2
5、， 4， 5， 6， 7，8，9 九种情形，故三位数有299=162个因此，从 1 到 300 的自然数中完全不含数字3 的共有8+72+162=242个解法 2 将 0 到 299 的整数都看成三位数，其中数字3不出现的，百位数字可以是 0，1 或 2 三种情况十位数字与个位数字均有九种，因此除去 0 共有3 9 9-1=242(个) 例 3 在小于 10000 的自然数中，含有数字1 的数有多少个？解 不妨将 1 至 9999 的自然数均看作四位数， 凡位数不到四位的自然数在前面补 0使之成为四位数先求不含数字 1 的这样的四位数共有几个，即有 0，2， 3， 4，5，6，7，8，9 这九
6、个数字所组成的四位数的个数 由于每一位都可有 9 种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为99996561，其中包括了一个 0000，它不是自然数， 所以比 10000 小的不含数字 1 的自然数的个数是 6560，于是，小于 10000 且含有数字 1 的自然数共有 9999-6560=3439 个例 4 求正整数 1400 的正因数的个数解 因为任何一个正整数的任何一个正因数 ( 除 1 外 ) 都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把 1400 分解成质因数的连乘积1400=23527所以这个数的任何一个正因数都是由 2，5，7 中的 n 个相乘而得到 ( 有的可重复
7、 ) 于是取 1400 的一个正因数， 这件事情是分如下三个步骤完成的：(1) 取 23 的正因数是 20， 21 ，22， 33，共 3+1 种；(2) 取 52 的正因数是 50， 51 ，52，共 2+1 种；(3) 取 7 的正因数是 70， 71 ，共 1+1 种所以 1400 的正因数个数为(3+1) (2+1) (1+1)=24 说明 利用本题的方法，可得如下结果：若 pi 是质数， ai 是正整数 (i=1 ，2， r) ，则数的不同的正因数的个数是(a 1+1)(a 2+1) (a r +1) 例 5 求五位数中至少出现一个6，而被 3 整除的数的个数+a5能被 3 整除，于
8、是分别讨论如下：(1) 从左向右计，如果最后一个 6 出现在第 5 位，即 a5 =6，那么 a2，a3，a4 可以是 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这十个数字之一，但 a1 不能是任意的，它是由 a2+a3 +a4+a5 被 3 除后的余数所决定因此，为了保证 a1+a2 +a3+a4+a5 能被 3 整除， a1 只有 3 种可能，根据乘法原理， 5 位数中最后一位是 6，而被 3 整除的数有310 1010=3000(个) (2) 最后一个 6 出现在第四位，即 a4=6，于是 a5 只有 9 种可能 ( 因为a5 不能等于 6) ，a2， a3 各有 10 种可能，为了保证除
9、， a1 有 3 种可能根据乘法原理，属于这一类的a1+a2+a3+a4+a5 被 3 整5 位数有31010 9=2700(个 ) (3) 最后一个 6 出现在第 3 位，即 a3=6，被 3 整除的数应有3 1099=2430(个) (4) 最后一个 6 出现在第 2 位，即 a2=6，被 3 整除的数应有3999=2187( 个) (5)a 1=6，被 3 整除的数应有3999=2187( 个) 根据加法原理， 5 位数中至少出现一个6 而被 3 整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504(个 ) 例 6 如图 1 63，A，B，C，D，E 五个区域分别用红
10、、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色 如果使相邻的区域着不同的颜色， 问有多少种不同的着色方式？解 对这五个区域，我们分五步依次给予着色：(1) 区域 A 共有 5 种着色方式；(2) 区域 B 因不能与区域 A 同色，故共有 4 种着色方式；(3) 区域 C 因不能与区域 A，B 同色，故共有 3 种着色方式；(4) 区域 D 因不能与区域 A，C 同色，故共有 3 种着色方式；(5) 区域 E 因不能与区域 A，C，D 同色，故共有 2 种着色方式于是，根据乘法原理共有543 32=360种不同的着色方式例 7 在 66 的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形，如图1 64，有多少种不
11、同的剪法？解 我们把凸字形上面那个小方格称为它的头，每个凸字形有并且只有一个头凸字形可以分为两类： 第一类凸字形的头在棋盘的边框， 但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的于是，边框上 ( 不是角 ) 的小方格共有 4 4=16个，每一个都是一个凸字形的头，所以，这类凸字形有16 个第二类凸字形的头在棋盘的内部， 棋盘内部的每一个小方格可以作为 4 个凸字形的头 ( 即头朝上，头朝下，头朝左，头朝右 ) ，所以，这类凸字形有4(4 4)=64( 个) 由加法原理知，有16+64=80种不同的凸字形剪法练习十八1把数、理、化、语、英5 本参考书，排成一行放在书架上(1) 化学不放在第 1 位，共有
12、多少种不同排法？(2) 语文与数学必须相邻，共有多少种不同排法？(3) 物理与化学不得相邻，共有多少种不同排法？(4) 文科书与理科书交叉排放，共有多少种不同排法？2在一个圆周上有 10 个点，把它们两两相连， 问共有多少条不同的线段？3用 1，2，3，4，5，6，7 这七个数，(1) 可以组成多少个数字不重复的五位奇数？(2) 可以组成多少个数字不重复的五位奇数，但1 不在百位上？4从 1，2，3，4，5 这五个数字中任取三个数组成一个三位数，问共可得到多少个不同的三位数？5由 1，2，3，4，5，6 这六个数字能组成多少个大于34500 的五位数？6今有一角币一张，两角币一张，伍角币一张，一元币四张，伍元币两张，用这些纸币任意付款，可以付出不同数额的款子共有多少种？7将三封信投到 5 个邮筒中的某几个中去，有多少种不同的投法？8从字母 a，a，a，b，c，d，e 中任选 3 个排成一行，共有多少种不同的排法？