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1、xx 学年度北京市东城区综合练习（二）高 三 数 学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题共 40 分）注意事项 ：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。一、选择题 ：本大题共 8 小题。每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1在复平面内，复数1i 对应的点位于（）iA 第一象限B 第二象限C第三象限D第
2、四象限2若集合 A 3, a2 , B 2,4 ，则“ a2 ”是“ AB 4 ”的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件21, x 0,x3设函数 f ( x)3若 f (a) a ，则实数 a 的取值范围是（）1x0.,xA (, 3)B ( ,1)C (1,)D（ 0， 1）4某小组有 6 名女生， 8 名男生，这 14 名同学排成一行，其中A ，B，C，D 四名女生必须排在一起，另两名女生不相邻且不与前4 名女生相邻，则不同的排法共有（）A A92 A88 种B A87 A66 A44 种C A88 A93 A44 种D A95 A85 A44 种5斜率
3、为 2 的直线 l 过双曲线 x2y 2 1( a0,b 0) 的右焦点， 且与双曲线的左、 右两支a2b 2分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围（）A e2B 1 e3C 1 e5D e56如图，在四棱锥P ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面 PAD 底面 ABCD ， M 为底面 ABCD内的一个动点，且满足MP=MC ，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为（）7函数f ( x)ax 3bx 2cxd 的图象如图所示，则 f (1)f ( 1) 的值一定（）A 等于 0B 大于 0C小于 0D小于或等于08若 xR, nN *, 规定 : H xn
4、x( x1)( x2)(xn1) ，例如：H 33( 3) ( 2) ( 1)6,则函数 f (x)x H x7 3（）A 是奇函数不是偶函数B是偶函数不是奇函数C即是奇函数又是偶函数D即不是奇函数又不是偶函数第卷 （共 110 分）注意事项 ：1用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。2答卷前将密封线内项目填写清楚。二、填空题 ：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。9已知等差数列 an 的公差为2，若 a1， a3， a4 成等比数列，则a2=.10在二项式(13x) n 的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么 n =.这个展开式中含x2 项的系数是.11函数f
5、 ( x)x 2 , x, 2 的反函数f 1 ( x).12已知函数x31, x1若f (x) 在 R 上连续，则 a =f ( x)x1,，此时a,x 1lim (an1 2a.n)n3nx0,13已知点P(x,y) 满足条件yx,(k为常数 ), 若 z x3 y 的最大值为8，则2xy k0k=.14定义一种运算“ x”，它对于整数n 满足以下运算性质：（ 1） 2x1001=1 ；（ 2）（ 2n+2）x1001=3 （ 2n） x1001 ，则 xxx1001 的值是.三、解答题 ：本大题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（本小题共13 分）设函
6、数2x相切于点 A ，且点 A 的横坐标为 1.f()(ax) 的图象与直线exy0xbx e（）求 a， b 的值；（）求函数f(x) 的单调区间，并指出在每个区间上的增减性.16（本小题共13 分）已 知 ABC的 三个 内角分 别为A ， B ， C， 向量m (sin B,1 cos B)与向量 n( 2,0)夹角的余弦角为1 .2（）求角 B 的大小；（）求 sin Asin C 的取值范围 .17（本小题共14 分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形， PD平面ABCD ，且PA=AB=2 ， E 是 PB 的中点， F 是 AD 的中点 .（）求异面直线PD 一
7、AE 所成角的大小；（）求证： EF 平面 PBC；（）求二面角 F PC B 的大小 .18（本小题共 13 分）某学生玩投飞镖游戏，他一次投镖所得环数m 的概率分布如下：m8910p0.50.30.2若这名学生投两次飞镖，记两次投中的最高环数为.（）求该名学生两次都投中8 环的概率；（）求的分布列和数学期望E .19（本小题共13 分）已知双曲线x 2y21的右焦点是 F，右顶点是 A ，虚轴的上端点是B，且a 2b2AB AF1,BAF120 .（）求双曲线C 的方程；（）过点P(0,4)的直线 l，交双曲线C 于 M 、N 两点，交 x 轴于点 Q（点 Q 与双曲线 C的顶点不重合）
8、，当 PQ 1 ,OM2 ON ,且 1 232时，求点 Q 的坐7标 .20（本小题共14 分）已知函数 f (x)log 33x , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )是 f (x) 图象上的两点， 横坐标为1x1 的点 P 满足 2OPOMON （O 为坐标原点） .2（）求证：y1y2 为定值；（）若 Snf ( 1 )f ( 2 )f ( n 1), 其中 nN * ,且 n 2, 求Sn ；nnn1 ,n1,（）已知 an61其中 nN * ,Tn为数列 an 的前 n 项和，, n 2.4( Sn1)(Sn 11)若Tnm( Sn11)对一切 nN * 都成
9、立，试求m 的取值范围 .参考答案一、选择题 ：本大题共8小题。每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 C 2 A3 B 4C 5 D 6 A7B8 B二、填空题 ：本大题共6小题，每小题5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。9 610 613511x, x, 412 3 313 614 31003注：两个空的填空题对一个得3 分。三、解答题（本大题共6小题，共80 分）15（本小题共13 分）解：（）f( x)(2ax b) ex(ax 2bx)ex ax 2(2a b) x bex 2分由于 f(x)的图象与直线exy0 相切于点 A ，点
10、A 的横坐标为1，则 A(1, e).所以f (1)e,4f(1)e.分即 (ab)ee解得 a1,b2. 7 分(3a2b)ee（）由 a1, b2, 得 f (x)(x 22 x)ex ,定义域为 ( ,) ，f ( x)( x22)ex(x2)( x2)ex . 9 分令 f ( x)0, 解得 x2或 x2 ；令 f( x)0,解得2x2.故函数 f( x)在区间 (,2), (2,) 上分别单调递增，在区间 (2 ,2) 上单调递减13分16（本小题满分13 分）解：（）m(sin B,1cos B), n(2,0),cosm, nmn1 . 2 分| m | n |2即2sin B
11、1 .222 cos B22 cos2 Bcos B 1 0.解得 cosB1 或 cosB1（舍）0B2B2. 6 分3（）由（）可知AC3sin Asin Csin Asin(A)1 sin A3 cos Asin( A). 9 分32230 A，32A3.33sin( A)3 ,1 .32即 sin Asin cC3,1 . 13 分217（本小题共14 分）解法一：（）连结BD PD平面 ABCD ，平面 PDB 平面 ABCD ，过点 E 作 EO BD 于 O，连结 AO.则 EO PD，且 EO平面 ABCD. AEO 为异面直线PD， AE 所成的角3 分 E 是 PB 的中点
12、，则 O 是 BD 的中点，1且 EO=PD=1.2在 RtEOA 中， AO=2 ，tan AEOAO2 .EO即异面直线 PD 与 AE 所成角的大小为 arctan 2. 5 分（）连结FO， F 是 AD 的中点， OF AD. EO平面 ABCD ，由三垂线定理，得 EF AD.又 AD BC， EF BC. 7 分连结 FB.可求得 FB = PF =5.则 EF PB.又 PB BC = B ， EF平面 PBC. 10 分（）取PC 的中点 G，连结 EG， FG.则 EG 是 FG 在平面 PBC 内的射影 PD平面 ABCD ， PD BC又 DC BC，且 PD DC =
13、 D ， BC平面 PDC， BC PC， EG BC，则 EG PC FG PC FGE 是二面角 F PC B 的平面角12 分在 Rt FEG 中， EG=1BC = 1 ， GF =DF 2DG 23 ，2EG13cos FGE3.FG3二面角 F PC B 的大小为 arccos3 .3解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0， 2， 0）， B （2， 2， 0）， C（ 2， 0，0），D （0， 0， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 1， 1， 1） 2 分AE(1,1,1), DP(0,0,2).AEDP10(1)0122.又 | AE |3,| DP |
14、2,cosAE, DPAE DP| AE | DP |23.233故异面直线 AE 与 DP 所成角的大小为arccos 3 . 6 分3（） F (0,1,0), EF(1,0,1), PB(2,2,2), PC (2,0, 2).EFPB(1)202(1)(2)0,EFPB.EFPC(1)200(1)(2)0,EFPC.又 PB PC P, EF平面PBC. 10 分（）设平面PFC 的法向量为 m (x, y, z).FC(2, 1,0)m FC0,2xy 0,令 z 1,则 m (1,2,1).则则m PC0.2x2z0.由（）知平面PBC 的法向量为FE(1,0,1).cos m,
15、FEm FE23| m | FE |62.3则二面角 FPC B 的大小为为 arccos3 . 14 分318（本小题共13 分）解：（）设该名学生两次都投中8 环的概率为 P，则 P = 0.52 = 0.25.即该名学生两次都投中8 环的概率为0.25.（）的可能取值为8，9， 10P(8)0.50.50.25;P(9)C210.50.30.30.30.39P(10)C 210.20.5C 220.30.2 0.220.36.故的分布列为：8910P0.250.390.369 分的数学期望E= 8 0.25 + 9 0.39 +10 0.36 = 9.1113分19（本小题满分13 分）
16、解：（）由条件知A(a,0), B(0, b) F (c,0).AB AF (a, b)(ca,0)a(a c)1. 2 分cos BAFABAFa(ac)acos1201| AF | c( ca)c.| AB |2c 2a. 4 分解，得 a1, c2.则 b 2c2a23.故双曲线 C 的方程为 x 2y 21.6 分3（）由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零，4设 l 的方程为： y kx4, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 则 Q(,0).kPQ1 QM .(44)1 ( x14k, y1 ).k41 ( x14 ),x144 ,k 1k8 分kk44
17、1 y1 .y11M (x1 , y1 ) 在双曲线 C 上，1611)21610.k2(32111632116 1216 k 2k 220.3(16k 2 )1232116 16 k 20.3同理 (16k 2 ) 223221616 k 20.11 分3若 16k 20 ，则直线 l过项点，不合题意，16k201,2 是二次方程 (16k 2 ) x232x1616k 20 的两根3232 .312k 2167k 29,此时0,k3.所求 Q 点的坐标为 (4 ,0).13 分31 (OM20（本小题共14 分）（）证：由已知可得，OPON ) ，2 P 是 MN 的中点，有 x1+ x2
18、= 1.y1y2f ( x1 )f (x2 )log3 13x1log 3 13x2xx21log 3 (3x13x2 )1x11x2log 33x1 x2x1 )(1 x2 )(1log 33x1 x2(x1x2 )x1 x21log 3 13x1 x21.5 分1 x1 x2（）解：由（）知当x1x2 1时, y1 y2f (x1 ) f ( x1 )1Sn12n1f ( )f ( )f (),nnnSnn1)21f (nf ( )f ( ),nn相加得2Sn f ( 1)f ( n 1) ( 2)f ( n 2) f ( n 1)f ( 1 )nnnnnn111(n1)个1n1Snn1. 10 分2（）解：当 n2 时，an4( Sn11)n1(n111 .1)( Sn141 n 21)(n 2)n 1 n222又当 n = 1 时，a1111.623an11.n1n2Tn( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1)( 1n1 )233445n 12n.122( n2)分由于 Tnm(Sn 11)对一切 nN * 都成立，Tnn1m1 (n2)24Sn 1n4n4n 4 ，当且仅当 n = 2 时，取“ =”，n1411 .448n1n因此 m1.8综上可知， m 的取值范围是 ( 1, ). 14 分8