初中几何中常见辅助线的作法.docx

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1、初中几何中常见辅助线的作法在几何学习中， 如何添加辅助线是许多同学感到头疼的问题， 许多同学常因辅助线的添加方法不当， 造成解题困难。 在老师的帮助下， 我根据自己的学习经验把初中几何中常见的辅助线作法编成了一些“顺口溜” 歌诀，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些帮助。人人都说几何难，难就难在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现

2、，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。基本作

3、图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键， 如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法：方法一：从已知出发作出辅助线：例 1已知：在 ABC中， AD是 BC边的中线， E 是 AD的中点， F 是 BE延长线与AAC的交点，求证： AF=1 FCF2EN分析：题设中含有 D 是 BC 中点， E 是 ADM中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密BDC切联系的中位线，所以，可有如下2 种辅助线作法：（ 1）过 D 点作 DN

4、CA ，交 BF 于 N ，可得 N 为 BF 中点，由中位线定理得111DN=FC ，再证 AEF DEN ，则有 AF=DN ，进而有 AF= FC22（ 2）过 D 点作 DM BF，交 AC 于 M ，可得 FM=CM ，FM=AF ，则有 AF= 1 FC 2方法二：分析结论，作出辅助线例 2：如图， AD是 ABC的高， AE是 ABC的外接圆直径，求证： ABAC=AEAD分析：要证 AB AC=AE AD ，需证 ABAEOADAC（或 ABADB），AEAC），需证 ABE ADC （或 ABD AECACED这就需要连结 BE（或 CE），形成所需要的三角形，同时得 ABE

5、= ADC=90 0(或 ADB= ACE=90 0 )又 E= C（或 B= E）因而得证。方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线例 3：过 ABC的顶点 C 任作一直线，与边AB及中线 AD分别交于点 F 和 E；求证： AEED=2AFFBA分析：已知 D 是 BC 中点，那么在三角形中可过中点作平行线得中位线；BDCE若要出现结论中的AEED，则应有一条与EF 平行的直线。所以，过D 点作DM EF 交 AB 于 M ，可得 AEAF2AF ，再证 BF=2FM即可。EDFM2FM方法四：找出辅助线的一般规律， 将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。例如：在“圆”部

6、分就有许多规律性辅助线：（ 1）有弦，作“垂直于弦的直径”AF例 4：已知，如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交EM小圆于 C、 D 两点，求证： AC=BDCBD2分析：过 O点作 OEAB于 E，则AE=BE，CE=DE，即可证得 AC=BD（ 2）有直径，构成直径上的圆周角（直角）例 5：已知：如图，以 ABC的 AC边为直径，C DOE作 O交 BC、BA于 D、E 两点，且 CDDE ，BA求证： B=C分析：连结 AD，由于 AC为直径，则有 ADBC，又CD DE，有 ，由1= 2内角和定理得 B=C（ 3）见切线，连半径，证垂直例 6：如图， AB为 O的直径，

7、 C为 O上一点， AD和过垂足为 D，求证： AC平分 DAB分析：连结 OC，由于 CD为切线，可知OCCD，易证： 1=2，又因为 2=3，C点的切线互相垂直，AE 1 2 O所以 1=3，则可得 AC平分 DABBDC（ 4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”例 7：已知，直线 AB经过 O上的一点，并且 OA=OB，CA=CB；求证：直线 AB是 O的切线分析：连结 OC，要证 AB是 O的切线，需证 OCAB，由已知可证 OAC OBC，0D可得 OCA=OCB=90，结论得证。C例 8：已知，梯形 ABCD中，AB CD， A=900 ，BC是 O的直12径， BC

8、=CD+AB，A3BO求证： AD是 O 的切线分析：过 O点作 OEAD，垂足为 E，要证 AD是 O的切线，只要证 OE是 O的半径即可，也就是说需要证 OE=1 BC ，由于 A=900， ABCD，O可得 ABCD2 OE，再由平行线等分线段定理得DE=EA，进而由梯形中位线定理得 OE=1( AB CD )1 BC ，所以 E 点在 OACB上 ， AD223是 O的切线。（二）练习1、已知：如图，在 ABC中， ADDB， AEEC1求证：DE BC，DEBCADEBC2、已知：如图 27.3.12 所示，在梯形 ABCD中，ADBC， AEBE，DFCF1求证：EF BC，EF（

9、ADBC）3、已知：如图 27.3.13 所示 ,在 ABC 中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证： AE、DF 互相平分。4、如图：已知： AB 为 O 的直径，弦 CDAB ， M 为 AC 上一点， AM的延长线交 DC的延长线于 F，求证： AMD= FMC与圆有关的辅助线常规作法解析与圆有关 的几何问题， 几乎涵盖了初中几何的各种基本图形与基本性质，题型的复杂程度可想而知。 为此，常常需要添加适当的辅助线将复杂的图形转化为基本图形，从而方便求解。为帮助大家正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，现就圆中辅助线的常规作法分类总结如下，供同学们学习时参考一、圆中有弦，常作弦

10、心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）例 1. 如图，以Rt ABC的直角顶点A 为圆心，直角边AB 为半径的 A 分别交 BC、 AC于点 D、 E, 若 BD=10cm， DC=6cm，求 A 的半径。解： 过 A 作 AHBD于 H，则 BH1 BD 5cm 。2 BAAC， CAB=AHB=90。又 ABH= CBA， ABH4CBA ， ABCB2， BH， ABBC BH (BD DC) BH 16 5 80cmABrAB80 4 5cm 。例 2. 如图， AB 是 O 的直径 ,PO AB 交 O 于点 P，弦 PN 与 AB 相交于点M，求证：PM P

11、N2PO2 。证明： 过 O 作 OC NP于点 C，则 PC1 PN 。2 OCNP，POAB， POM= PCO=90。又 OPM= CPO， OPM CPO， POPM ， PO21PM PC PM ( PN) ， 即PCPO2PM PN 2PO2 。评析： 求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径），其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系。二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角（在半圆中，同样可作直径所对的圆周角）例 3. 如图， AB为半圆的直径， OH AC于 H， BH与 OC交于 E，若 BH=12，求 B

12、E 的长。解： 连结 BC。 AB 为直径， AC BC。又 OH AC，AO=BO， OH1BC，2OHE= CBE， HOE= BCE， OHE CBE， HEOH1，BEBC2BE2 BH2 12 8 。33例 4. 如图 ,AB 是半圆的直径 , C 为圆上的一点 , CD AB于 D, 求证 : CD 2AD BD 。证明： 连结 AC 、 BC 。 AB 为直径， ACB=90， 1+ 2=90。又 CDAB， ADC= CDB=90， 1+ 3=90， 3= 2， BCD CAD，ADCD ，即 CD2AD BD 。CDBD评析：由于直径所对的圆周角为直角， 所以在有关圆的证明或

13、计算问题中， 利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中进行解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）例 5. 如图，已知 MN为 O的直径， AP是 O的切线， P 为切点， 点 A 在 MN的延长线上，若 PA=PM，求 A 的度数 。解： 连结 OP，设 A 的度数为x。 PA=PM， M=A，同理可得 OPM= M， POA= OPM+ M=2 M=2 A=2x。又 AP切 O于点 P， APOP， A+ POA=90，即x+2x=90，解之得x=30， A=30。例 6. 如图 ,AB 为 O的直径 ,C 为 O上的一点 ,

14、AD 和过 C 点的切线垂直 , 垂足为 D，求证 1= 2。证明： 连结 OC。 DC切 O于点 C， OC DC。又 AD DC， OC AD， 1= 3。 OA=OC, 2= 3， 1= 2。评析：当欲求解的问题中含有圆的切线时，常常需要作出过切点的半5径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。四、圆中有特殊角， 常作直径构造直角三角形 （若题中有三角函数但无直角三角形， 则也需作直径构造直角三角形）例 7. 如图 , 点 A、B、C在 O上（ AC不过 O点），若 ACB=60 ,AB=6，求 O半径的长。解：作直径 AD，连结 BD。?所对的圆周角， D= ACB=6

15、0。又 AD ACB 与 D 都是 ABAB643 ， r1AD2 3 。是直径， ABD=90， ADsin 602sinD例 8. 如图，在锐角 ABC 中，若 BC=a， CA=b， AB=c， ABC的外接圆半径为R，求证：abc2R。sinAsin BsinC证明： 作直径 CD，连结 BD。 CD 为直径， CBD=90， sinDBCa 。又 A= D，DC2Rsin Asin Daa2R ，同理可得b2R ，c2R ，即sinBsin C2RsinAabc2R。sinAsin BsinC评析： 当题设中未告诉有直角三角形但却含有30 、 45 、 60 、 90 等特殊角或某个

16、角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相切，常作公切线（或者作两圆的连心线）例 9. 如图， O1 和 O2 外切于点 A，BC是 O1 和 O2 外公切线， B、C 为切点，求证： AB AC。证明： 过点 A 作 O1 与 O2 的公切线AM交 BC于点 M。 MA和 MB分别切 O1 于点 A、B， MA=MB，同理可得 MA=MC，MA=MB=MC，即点 A、B、C同在以 M为圆心， BC为直径的圆周上，ABAC。例 10. 如图， A 和 B 外切于点 P，CD为 A、 B 的外公切线， C、 D 为切点，若 A与 B 的半径分别为 r 和 3r, 求：

17、CD的长； B 的度数。解： 连结 AB，连结 AC、 BD，过点 A作 AE BD于 E。、 CD是 A 和 B 的外公切线， C、D 为切点， AC CD，BDCD。又 AE BD，四边形ACDE为矩形，CD=AE， DE=AC=r，BE=BD-DE=3r-r=2r 。 AB=r+3r=4r ， CDAEAB 2BE223r 。BE2r1、在 Rt AEB中， cos B4r， B=60。AB2评析：在解决有关两圆相切的问题时，常常需作出两圆的公切线或连心线，利用公切线垂直于经过切点的半径、 切线长相等、连心线长等于两圆半径之和（或差） 等性质来沟通两圆间的联系。六、两圆相交，常作公共弦（

18、或者作两圆的连心线）例 11. 如图， O1 和 O2 相交于A、 B 两点， AD是 O1 的直径，且圆心O1 在 O2 上，连结 DB并延长交 O2 于点 C，求证： CO1 AD。证明： 连结 AB。6 AD 为 O1 的直径， ABD=90， D+ BAD=90。又 C 和 BAO1 都是 O2中 ?BO 1 所对的圆周角， C= BAO1，即 C= BAD， D+ C=90， CO1 AD。例 12. 如图， O 和 O 相交于 A、 B 两点，两圆半径分别为 62 和 4 3 ，公共弦 AB 的12长为 12，求 O1AO2 的度数。解： 连结 AB、 O1O2，使之交于 H点。

19、AB 为 O 与 O 的公共弦，连心线OO 垂直平分AB，1212AH1AB 6， cos O1 AHAH62， cos O2 AHAH63，2AO16 22AO24 32 O1AH=45， O2AH=30， O1AO2= O1AH+ O2AH=75。评析： 在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦。全等三角形作辅助线的常用方法一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：A例 1、 已知如

20、图 1-1 ： D、 E为 ABC内两点 , 求证 :AB+ACBD+DE+CE.证明：（法一）将 DE两边延长分别交AB、 AC于 M、 N，（法二：图 1-2 ）AMDE NGF B图1C1DEB图1C延长 BD交 AC 于 F，廷长 CE交 BF于 G，2二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1 ：已知D 为 ABC内的任一点，求证：BDCABAC。GED分析：因为 BDC与 BAC不在同个三角形中， 没有直接的联系，可适当添

21、加辅助线构造新的三角形，使 BDC处于在外角的位置， BFC图21 BAC处于在内角的位置；证法一 ：延长 BD交 AC于点 E证法二 ：连接 AD，并廷长交BC于 FA注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放N在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角 形的内角位EF71 2 3 4BDC图31置上，再利用不等式性质证明。三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1 ：已知 AD为 ABC的中线，且 1=2, 3=4, 求证： BE+CFEF。分析：要证 BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF， EF 移到同一个三角

22、形中，而由已知 1= 2， 3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN， FN， EF移到同个三角形中。A证明： 在 DN上截取 DN=DB，连接 NE， NF，则 DN=DC，注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得EF到相等元素。12 34C四、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造BD全等三角形。例如：如图4-1 ： AD为 ABC的中线，且 1= 2， 3= 4，求证： BE+CFEF证明 ：廷长 ED至 M，使 DM=DE，连接CM， MF。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时

23、， 可通过延长加倍此线段，使题中分散的条件集中。五、在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图5-1 ： AD为 ABC的中线，求证：AB+AC2AD。分析：要证AB+AC2AD，由图想到：AB+BDAD,AC+CDAD，所以有 AB+AC+BD+CD AD +AD=2AD，左边比要证结论多 BD+CD， B 故不能直接证出此题， 而由 2AD想到要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去M图41构造全等三角形，ADC证明： 延长 AD至 E，使 DE=AD，连接 BE， CEE（常延长中线加倍，构造全等三角形）E图51练习：F已知 ABC， AD是 BC

24、边上的中线，分别以 AB 边、 AC边为直A角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2 ， 求证 EF=2AD。六、 截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1 ：在 ABC中， ABAC， 1= 2， P 为 AD BDC上任一点图52求证： AB-ACPB-PC。分析：要证： AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之， 因为欲证的线段之差，8故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边得 AB-AC=BN， 再连接 PN，则 PC=PN，又在即： AB-ACPB-PC。证明：（截长法）在 AB 上截取 AN=AC连接 PN证明：（补短法）延长 AC至 M，使 AM=AB，连接 PM

25、，七、 延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1 ：已知 AC=BD，AD AC于 A 求证： AD=BCAB-AC，故可在AB上截取 AN等于 AC，PNB中， PB-PNBN，A1 2NPCDBM图6 1， BCBD于 B，分析：欲证AD=BC，先证分别含有AD， BC的三角形全等，有几种方案：ADC与 BCD， AOD与 BOC， ABD与 BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明 ：分别延长 DA， CB，它们的延长交于 E 点，（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）八 、连接四边形的对角线，

26、把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1 ： AB CD， AD BC求证： AB=CD。AD分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明 ：连接 AC（或 BD）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。BC图81例如：如图9-1 ：在 Rt ABC中， AB=AC， BAC=90， 1= 2，CEBD的延长于 E 。求证： BD=2CEF分析： 要证 BD=2CE，想到要构造线段2CE，AE同时 CE与 ABC的平分线垂直，想到要将其延长。D1证明：分别延长 BA， CE交于 F。2十、连接已知点，构造全等三角形。BC图91例如： 已

27、知：如图 10-1 ；AC、BD相交于 O点，且 AB=DC，AC=BD，求证： A= D。分析：要证 A= D，可证它们所在的三角形ABD和 DCO全等，而只有AB=DC和对顶角两个条件， 差一个条件，难以证其全等， 只有另寻其它的三ADO9BC图101角形全等，由AB=DC， AC=BD，如连接 BC，则 ABD和 DCO全等，所以，证得A= D。证明：连接BC在 ABC和 DCB中十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1 ： AB=DC， A= D 求证： ABC= DCB。分析：由 AB=DC， A=D，想到如取AD的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS公理有 ABN D

28、CN，故 BN=CN， ABN= DCN。下面只需证 NBC=NCB，再取 BC的中点 M，连接 MN，则由 SSS公理有 NBM NCM，所以 NBC= NCB。问题得证。AND证明：取AD， BC的中点 N、 M，连接 NB， NM， NC。BMC图111梯形问题中的辅助线1、连结对角线例 1如图 1，梯形 ABCD 中， AB CD ， AD BC ，延长 AB 到 E，使 BE CD ，试说明 AC CE.解：如图 1，连结 BD ，由BDCE 可证得 BD CE，由等腰梯形ABCD性质得 AC BD ，所以 AC CE.2、平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个

29、平行四边形和一个三角形例 2 如图 2，梯形 ADCB 中， AB CD， AB 2cm，CD 8cm， AD 4cm，求 BC 的取值范围 .解析： 过点 B 作 BE AD ，交 CD 于点 E，则四边形ADEB 是平行四边形，可知BE AD 4cm， DE AB 2cm.于是 EC CD DE 82 6cm.在 ABC 中， ECBE BC EC BE ，所以 2cm BC 10cm.3、平移两腰，将两腰转化到同一个三角形中例 3如图 3，在梯形ABCD 中， AD BC ， B C 90， E、 F 分别为 AD 、 BC 的中点， BC 8， AD 4，试求 EF.解：过点 E 分别

30、作 EM AB ，EN CD ，交 BC 于 M 、N，则 EMF B ，ENF C，所以 MEN 90， AE BM ，DE CN ，所以 MF NF，10所以 EF 1MN 1(BC AD) 1(8 4) 2.2224、作梯形的高，即从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形例 4已知，如图4，梯形 ABCD 中， AD BC， B C 45，梯形ABCD是等腰梯形吗？解： 过点 A 作 AE BC 于点 E，过点 D 作 DF BC 于点 F，则 AEB DFC 90， AE DF，又 B C 45.于是 ABE 与 DCF 能够完全重合，即AB CD.5、延长两

31、腰，即延长两腰交于一点，得到两个三角形例 5 如图 5，梯形 ABCD 中，AD BC，AD 5，BC 9， B 80，C 50 .求 AB 的长 .解： 延长 BA 、 CD 交于点 E，因为 AD BC ，所以 ADE C 50 .因为 E 180 B C 50，所以 E ADE C.所以 AE AD 5， BE BC 9.所以 AB BE AE 95 4.6、平移对角线，即过底的一个端点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中例 6如图 6 所示，在梯形ABCD 中，上底 AD 1cm，下底 BC 4cm，对角线 BD AC ，且 BD 3cm，AC 4cm.求梯形 ABCD 的面

32、积解：过点 D 作 DEAC 交 BC 的延长线于点 E，因为在梯形 CD 中， AD BC ，所以四边形 ACED 是平行四边形 .则 AC DE ，AD CE.又因为 AC BD ，所以 BD DE ，即 BDE 是直角三角形 .因为 BDE 与梯形 ABCD 同高，且梯形 ABCD 中 AD BC BC CE BE ，所以 S 梯形 ABCD S BDE 1 24 6(cm 2).27、利用中点，割补三角形如图 7，梯形 ABCD ，E 为一腰 AB 的中点， 将 AED 绕点 E 旋转 180，到 BEF 的位置，拼成DFC ，把问题置于三角形中解决11例 7 如图 7 梯形 ABCD 中， AD BC， E 为 AB 的中点， DE CE.试说明 CD BCAD.解析： 按上述方法拼成 DFC ，同时 AED 与 BEF 关于点 E 中心对称，故 EFED ， AD BF.又因为 CE DF，故 CD CF BC BF BC AD12