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1、椭圆1、椭圆的第一定义： 平面内一个动点P 到两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数( PF1PF22aF1 F2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫 椭圆 . 这两个定点叫 椭圆的焦点 ，两焦点的距离叫作椭圆的焦距 。 .注意：若 ( PF1PF2F1 F2 ) ，则动点 P 的轨迹为线段F1 F2 ；若 ( PF1PF2F1 F2 ) ，则动点 P 的轨迹无图形 .2、椭圆的标准方程1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：x 2y21 ( ab0) ，其中 c2a 2b 2 ；a 2b22）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：y 2x21( ab0) ，其中 c 2a2b2 ；a2b 2注意：
2、 在两种标准方程中，总有a b 0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：x2y2122。mn或者 mx+ny =13、椭圆： x 2y 21(ab0) 的简单几何性质a 2b 22y 2（ 1）对称性： 对于椭圆标准方程x(ab0) ：是以 x 轴、 y 轴a12b 2为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（ 2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线xa 和 yb 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足xa ， yb 。（ 3）顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点 。椭圆x 2y 21 (ab0) 与坐标轴的四个交点即
3、为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1 (a,0) ， A2 (a,0) ，a 2b 2B1 ( 0,b) ， B2 (0,b) 。 线段 A1 A2 ， B1B2 分别叫做椭圆的 长轴 和短轴 ，A1 A22a ,B1 B22b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。2cc 。因为（ 4）离心率： 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率 ，用 e表示，记作 eeeca2aa(a c 0) ，所以的取值范围是(0e 1)。1就越接近，从而 ba2c2 越小，因越接近 ，则a此椭圆越扁； 反之，e越接近于c越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 ab0， 就越接近 0，从而 b时， c0
4、，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a 。注意： 椭圆 x2y 21的图像中线段的几何特征（如下图）：a2b 2x 2y2假设已知椭圆方程1（ a 0,b0 ），且已知椭a 2b2圆的准线方程为xa2，试推导出下列式子：（提示：用三角c函数假设 P 点的坐标PF 1PF 2ePM 1PM 214、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有PF1PF2ePM 1PM 25、椭圆 x2y 21 与 y 2x21 (ab0)的区别和联系a 2b2a 2b2标准方程x 2y21( aby 2x21 (a b 0)a 2b20)2b2a图形焦点F1 (
5、c,0)， F2 (c,0)F1 (0,c) ， F2 (0, c)焦距F1 F22cF1 F22c范围xa ， ybxb ，ya对称性关于 x轴、 y 轴和原点对称顶点( a,0) ， (0, b)(0, a) ， (b,0)性质长轴长 = 2a ，短轴长 =2b轴长离心率ec (0e 1)a准线方程xa2ya 2cc焦半径PF1aex0 ， PF2a ex0PF1aey0 ， PF2 a ey0一般而言：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线；椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于 0，椭圆越圆；当离
6、心率越接近于 1 时，椭圆越扁。6. 直线与椭圆的位置关系1. 将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式 来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。2. 消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。7. 椭圆方程的求解方法1. 要学会运用 待定系数法 来求椭圆方程， 即设法建立 a, b 或者 e,c 中的方程组， 要善于抓住条件列方程。先定型，再定量，当焦点位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x 2y 21（ a b0）或 y2x21a 2b 2a2b2（ ab0）；或者不必考虑焦点的位置，直接把椭
7、圆的标准方程设为x2y 222m1或者 mx +ny =1n（ m0,n0,m n），这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。21122但是需要注意的是m和 n（或者和）谁代表 a ，谁代表 b 要分清。不要忘记隐含条件和方程，例如：a2b2 c2， ec等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。2.a求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，即使画不出图形， 思考时也要联想图形， 注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。【典型例题】1、 椭圆的定义例 1、已知 F1(- 8，212)0)， F (8 ， 0)，动点 P 满足 |PF|+|PF |
8、=16，则点 P 的轨迹为 (A 圆B 椭圆C 线段D 直线2、 椭圆的标准方程例 2、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6； (2) 长轴是短轴的2 倍，且过点 (2， 1)； (3)经过点 (5，1)， (3， 2)3、 离心率例 3、椭圆 x 2y21(a b0) 的左右焦点分别是121a2b2F 、 F，过点 F 作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。若 F1PF2=60，则椭圆的离心率为 _4、 最值问题x 2y21 两焦点为 F1、 F2，点 P 在椭圆上，则 |PF1| |PF2|的最大值为 _，最小值为 _例 4、椭圆45、 直线和椭圆例 10、已知直线 l
9、 :y=2x+m ，椭圆 C： x 2y21 ，试问当 m 为何值时：42(1)有两个不重合的公共点；(2) 有且只有一个公共点；(3)没有公共点 .3双曲线一、知识点讲解（ 1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1 F2 |）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： | PF1 | | PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 | 2a （ 2a| F1 F2| ）表示双曲线的一支。2a | F1 F2 | 表示两条射线；2a | F1 F2| 没有轨迹；（ 2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在
10、原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上x2y2y2x21(a 0, b0)标准方程1(a 0, b 0)a 2b2a 2b 2Pyx图形O A 2F1A12F顶点A1 ( a,0), A2 (a,0)对称轴x 轴， y 轴；虚轴为焦点F1 ( c,0), F2 (c,0)焦 距| F1 F2 | 2c(c 0)P y F2 B2xOB 1F1B1 (0, a), B2 (0, a)2b ，实轴为 2aF1(0, c), F2 (0, c)c2a 2b 2离心率ec ( e 1) （离心率越大，开口越大）a渐近线yb xya xab通 径2b2a（ 3）双曲线的渐近线：求双曲线 x2y
11、21的渐近线，可令其右边的1 为 0，即得 x 2y 20，因式分解得到a2b 2a 2b 2x 2y21共渐近线的双曲线系方程是x2y2；与双曲线2b2a 2b2ax y 0 。ab（ 4）等轴双曲线为x2y2t2 ，其离心率为21.注意定义中“陷阱问题 1：已知 F1 (5,0), F2 (5,0)，一曲线上的动点P 到 F1 ,F2 距离之差为6，则双曲线的方程为42.注意焦点的位置：问题 2：双曲线的渐近线为y3 x ，则离心率为2【典型例题】1. 定义题：1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚
12、4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的yCPAOBx2. 如图 2 所示， F 为双曲线 C : x 2y 21的左916焦点，双曲线 C 上的点 Pi 与 P7i i 1,2,3 关于 y 轴对称，则 P1 FP2 F P3 F P4 FP5 FP6 F 的值是（）A 9B 16 C 18D 27x2y22c，则 PF1 F23. P 是双曲线22 1(a 0,b 0) 左支上的一点， F1、 F2 分别是左、右焦
13、点，且焦距为ab的内切圆的圆心的横坐标为（）（ A）a（B）b（ C）c（D） abc2. 求双曲线的标准方程1. 已知双曲线C与双曲线x 2 y 2 =1 有公共焦点，且过点（ 3 2 ， 2） . 求双曲线 C的方程1642. 已知双曲线的渐近线方程是y2x ，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；3. 与渐近线有关的问题x2y21(a0,b0) 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）1 若双曲线2b 2aA. 2B.3C. 5D. 253. 焦点为（ 0， 6），且与双曲线x2y 21有相同的渐近线的双曲线方程是（）2A x2y 21B y2x21C y2x21
14、D x2y2124121224241224124.过点（ 1， 3）且渐近线为 y1 x 的双曲线方程是24.几何1.设 P 为双曲线 x2y2是该双曲线的两个焦点，若 | PF1 |:| PF2 |3: 2 ，则 PF1F2 的1 上的一点， F1， F212面积为（）A 6 3B 12C.12 3D 245.求弦1. 双曲线 x2y21 的一弦中点为（2， 1），则此弦所在的直线方程为（）A. y2x1B.y2x 2C.y2x 3D.y2x36抛物线知识点 1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1) 在平面内；(2) 动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等；(3) 定
15、点不在定直线上知识点 2抛物线的标准方程和几何性质y2 2px(p 0)y2 2px(p 0)x2 2py(p0)x2 2py(p0)标准方程p 的几何意义：焦点F 到准线 l 的距离图形顶点O(0,0)对称轴y 0x 0焦点F p， 0F p， 0F 0，pF 0， p2222离心率e 1准线方程x ppypp2x 22y 2范围x 0，y Rx 0， yRy0， x Ry 0，x R开口方向向右向左向上向下焦半径 (其中pppp0000P(x ， y )|PF| x 2|PF| x 2|PF|y2|PF| y 200【典型例题】例 1 设 P 是抛物线y2 4x 上的一个动点(1) 求点
16、P 到点 A( 1,1)的距离与点 P 到直线 x 1 的距离之和的最小值；(2) 若 B(3,2) ，求 |PB | |PF |的最小值变式练习17(1)若点 P 到直线 y 1 的距离比它到点(0,3) 的距离小2，则点 P 的轨迹方程是_(2)过抛物线y24x 的焦点作直线l 交抛物线于A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为3，则 |AB|等于 _变式练习2（ 1）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A， B 两点， |AB|12， P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为 ()A 18B 24C 36D 48变式练习31.已知直线y k(x
17、2)(k0)与抛物线C：y2 8x 相交于 A，B 两点， F 为 C 的焦点，若 |FA| 2|FB|，求 k 的值【归纳总结】4 个结论 直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B 两点，设 A(x1，y1)，B( x2，y2)，则有以下结论：122p)；(1)|AB| x x p 或 |AB| sin2(为 AB 所在直线的倾斜角p2(2) x1x2 4 ；(3) y1y2 p2；(4) 过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3 个注意点 抛物线问题的三个注意点(1) 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p
18、的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向 )判断是哪一种标准方程(2) 注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题(3) 直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合 )时，直线与抛物线也只有一个交点.8注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质定义标准方方程参数程方程范围中心顶点对称轴焦点焦距离心率准线渐近线焦半径通径焦参数椭圆双曲线抛物线1到两定点 F ,F 的距离之和为定1到两定点 F ,F 的距离之差的1212值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和
19、直线的距离之比为定2与定点和直线的距离之比为与定点和直线的距离值 e 的点的轨迹 .（0e1）相等的点的轨迹 .x 2y 21( ab 0)x 2y 21(a0,b0)2a 2b 2a 2b2y =2pxxa cosxa secx2 pt2yb sinyb tan(t 为参数 )(参数 为离心角）(参数 为离心角）y2 ptax a， by b|x| a， y Rx0原点 O（ 0，0）原点 O（ 0， 0）(a,0),( a,0)(0,b) , (0, b)(a,0),( a,0)(0,0)x 轴， y 轴；长轴长2a,短轴长 2bx 轴，y 轴 ;实轴长 2a, 虚轴长 2b.x 轴F1(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F 2( c,0)F (p,0)22c （c=a 2b2 ）2c （ c= a 2b 2 ）ec (0e 1)ec (e1)e=1aax=a 2x=a2xpcc2y=bxaraexr(exa)r xp22b22b22paaa 2a2Pcc9