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1、第 6 章 真空中的静电场习题及答案1.电荷为q 和2q 的两个点电荷分别置于x1m和 x1 m处。一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷q0 位于点电荷q 的右侧，它受到的合力才可能为0 ，所以2qq0qq04 0 (x1)24 0 (x1)2故 x 3 2 22. 电量都是 q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1) 在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡( 即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2) 这种平衡与三角形的边长有无关系?解： (1)以 A 处点电荷为
2、研究对象，由力平衡知， q为负电荷，所以221 q 2 cos301qq4 0 a4 0 ( 3 a) 23故 q3 q3(2) 与三角形边长无关。3.如图所示， 半径为 R、电荷线密度为1 的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2 的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dq1dl ， dq 在带电圆环轴线上 x 处产生的场强大小为dEdqy4 0 ( x2R2 )根据电荷分布的对称性知， E yEz01R21xdqOxdE xdE cosl4( x 230R2 ) 2z式中：为 dq 到
3、场点的连线与x 轴负向的夹角。Exxdq0 (x 234R 2 ) 2x12 R1 Rx40 ( x232 0 ( x 23R2 ) 2R2 ) 2下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dq2dx ， dq 受到的电场力大小为dF E xdq12 Rx20 (x 23 dxR2 ) 2方向沿 x 轴正方向。直线段受到的电场力大小为FdF12 R lxdx2 0( x23R2 ) 2012 R1120Rl 2R 21 / 2方向沿 x 轴正方向。4.一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为。求：（ 1）圆心处 O 点的场强；（ 2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。解：（ 1）在
4、半圆环上取dqdlRd ，它在 O 点产生场强大小为dqd，方向沿半径向外dE24 0 R4 0 R根据电荷分布的对称性知，E y0dEx dE sinsin d4 0 REx0sin d4 0 R2 0 R故 E E x，方向沿 x 轴正向。2 0 R（ 2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。5如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的 P 点的电场强度。解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dq dxq dx ， dq 在 P 点产生的场L强大小为dEdqdx，方向沿x 轴负方向。4 0 x
5、 240 x2故 P 点场强大小为d LdxqPEPdEOd40 x2xLdq40 d dL方向沿 x 轴负方向。6. 一半径为 R的均匀带电半球面，其电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。解：建立图示坐标系。 将均匀带电半球面看成许多均匀带电细圆环，应用场强叠加原理求解。在半球面上取宽度为dl 的细圆环，其带电量dqdS2 rdl2 R 2 sin d，dq 在 O 点产生场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上x的场强公式）dExdq，方向沿x 轴负方向rdl0 (x 234r 2 ) 2利用几何关系，xRcos ， rRsin统一积分变量，得xdqOdER0 ( x2r 2 )34241
6、R cos2 R 2 sind0R3sincos d2 0因为所有的细圆环在在O 点产生的场强方向均沿为x 轴负方向，所以球心处电场强度的大小为EdE/ 20sin cos d2040方向沿 x 轴负方向。7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为，如图所示。试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强。解：应用补偿法和场强叠加原理求解。若把半径为 R 的圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平面等效为一个完整的“无限大”带电平面和一个电荷面密度为的半径为 R 的带电圆盘，由场强叠加原理知， P 点的场强等效于“无限大”带电平面和带电圆盘在
7、该处产生的场强的矢量和。“无限大”带电平面在P 点产生的场强大小为E12，方向沿 x 轴正方向0半径为 R 、电荷面密度的圆盘在 P 点产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆盘轴线上的场强公式）E2(1x) ，方向沿x 轴负方向2 02x2RR故 P 点的场强大小为OE E1E2xR2x22 0方向沿 x 轴正方向。8. (1) 点电荷 q 位于一边长为 a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电场强度通量； (2) 如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电场强度通量是多少 ?P?xx解：（1）由高斯定理E dSq 求解。立方体六个面，当q 在立方体
8、中心时，每个面s0上电通量相等，所以通过各面电通量为eq6 0（ 2）电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a 的立方体，使q 处于边长 2a 的立方体中心，则通过边长2a 的正方形各面的电通量eq6 0对于边长 a 的正方形，如果它不包含q 所在的顶点，则qe24，如果它包含q 所0在顶点，则e0 。9. 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为12E1E 21 和2 ，试求空间各处场强。解：如图所示，电荷面密度为1 的平面产生的场强大小为E1，方向垂直于该平面指向外侧20电荷面密度为2 的平面产生的场强大小为E2，方向垂直于该平面指向外侧20由场强叠加原理得两面之间， EE1E21(
9、201 面左侧， EE1E21(202 面右侧， EE1E212(012 ) ，方向垂直于平面向右12 ) ，方向垂直于平面向左1 2 ) ，方向垂直于平面向右10.如图所示，一球壳体的内外半径分别为R1 和 R2 ，电荷均匀地分布在壳体内，电荷体密度为（0 ）。试求各区域的电场强度分布。解 ： 电 场 具 有 球 对 称 分 布 ， 以 r 为 半 径 作 同 心 球 面 为 高 斯 面 。 由 高 斯 定 理E dS1qi得S04210当 rR1时，qi0 ，所以E0当 R1rR2 时，qi( 4r 34R13 ) ，所以33E(r 3R13 )30 r 2当 rR2时，qi( 4R234
10、 R13 ) ，所以33E(R23R13 )30 r 211.有两个均匀带电的同心带电球面，半径分别为R1 和 R2 （ R2R1 ），若大球面的面电荷密度为，且大球面外的电场强度为零。求：（ 1）小球面上的面电荷密度；（ 2）大球面内各点的电场强度。解 : （ 1 ）电场具有球对称分布，以r 为半径作同心球面为高斯面。由高斯定理EdS1qi 得S0E4r 21qi0当 rR2时， E0，qi4 R224 R120 ，所以（ R2 )2 R1（2）当 rR1 时，qi0，所以E0当 R1 rR2 时，q4 R24 R 2，所以i12E（ R2 ) 2r0负号表示场强方向沿径向指向球心。12.一
11、厚度为 d 的无限大的带电平板，平板内均匀带电，其体电荷密度为，求板内外的场强。解：电场分布具有面对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面与平板垂直，设两底面圆到平板中心的距离均为x ，底面圆的面积为 S 。由高斯定理 E dS1得qiS0E dS E S E S 01qiS0当 xd时（平板内部） ， qi2xS，所以2Ex0当 xd（平板外部），qidS ，所以2Ed2013.半径为 R 的无限长直圆柱体均匀带电，体电荷密度为，求其场强分布。解：电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l ，底面圆半径为 r ，应用高斯定理求解。EdSE21rlqiS0(1)当 rR 时，
12、qir 2 l ，所以Er20(2)当 rR 时，qR2 l ，所以iER220 r14. 一半径为 R的均匀带电圆盘，电荷面密度为 ，设无穷远处为电势零点，求圆盘中心 O 点的电势。解：取半径为r 、 dr 的细圆环 dqdS2 rdr ，则 dq 在 O 点产生的电势为dqdrdV40 r2 0圆盘中心 O 点的电势为VRdrRdV0202015. 真空中两个半径都为 R 的共轴圆环，相距为 l 。两圆环均匀带电，电荷线密度分别是和。取两环的轴线为x 轴，坐标原点O离两环中心的距离均为l ，如图所示。求2x 轴上任一点的电势。设无穷远处为电势零点。解：在右边带电圆环上取dq ，它在 x 轴
13、上任一点 P 产生的的电势为dqdV4 0 ( x l / 2) 2R2右边带电圆环在P 产生的的电势为V1dqdV4 0 (x l / 2)2R2R20( xl / 2) 2R同理，左边带电圆环在P 产生的电势为RV( x l / 2) 2R220由电势叠加原理知，P 的电势为V VVR(11)2 0R2( x l / 2) 2( x l / 2) 2R216. 真空中一半径为 R 的球形区域内均匀分布着体电荷密度为的正电荷，该区域内a 点离球心的距离为1R ， b 点离球心的距离为2 R 。求 a 、 b 两点间的电势差U ab33解：电场分布具有轴对称性，以O 为球心、作半径为 r 的同
14、心球面为高斯面。由高斯定1qi理E dS得S0当 rR 时， E 4r 214r 3，所以03Er30a 、 b 两点间的电势差为b2R / 3r drR2U abE drR / 3a3 018 017细长圆柱形电容器由同轴的内、外圆柱面构成，其半径分别为a 和 3a ，两圆柱面间为真空。电容器充电后内、外两圆柱面之间的电势差为U 。求：（1）内圆柱面上单位长度所带的电量；（2）在离轴线距离 r2a 处的电场强度大小。解：（ 1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为l ，底面圆半径为 r ，应用高斯定理求解。EdSE21qirlS0E0 r2内、外两圆柱面之间的电势差为3
15、a3adrln 3UE dr2aa 20r0内圆柱面上单位长度所带的电量为20Uln 3（ 2）将代人场强大小的表达式得，EUr ln 3在离轴线距离 r2a 处的电场强度大小为EU2a ln 318. 如图所示，在 A， B 两点处放有电量分别为+ q,- q 的点电荷， AB间距离为 2R ，现将另一正试验点电荷 q0 从 O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的功。解： O 点的电势为VOqq4 0 R04 0 RC 点的电势为VCqqq4 03R4 0 R6 0 R电场力作的功为A q0 (VOVC )qo q6 0 R19如图所示，均匀带电的细圆环半径为R，所带电量为 Q
16、（ Q0 ），圆环的圆心为O ，一质量为 m ，带电量为 q （ q0 ）的粒子位于圆环轴线上的P 点处， P 点离 O 点的距离为 d 。求：（ 1）粒子所受的电场力 F 的大小和方向；（ 2）该带电粒子在电场力 F 的作用下从 P 点由静止开始沿轴线运动， 当粒子运动到无穷远处时的速度为多大？解：（ 1）均匀带电的细圆环在 P 点处产生的场强大小为（参见教材中均匀带电圆环轴线上的场强公式）1Qd，方向沿 OP 向右E x340 (R 2d 2 )2粒子所受的电场力的大小F qE xqQd3 ，方向沿 OP 向右0 (R24d 2 ) 2（ 2）在细圆环上取dq ， dq 在 P 点产生的电势为dVdqdq40 r4R2d 20P 点的电势为VdV1dq40R2d 2Q4 0R2d 2由动能定理得， Aq(V0)1m202qQ20 mR 2d 2