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1、.对数的发明对数的概念： logarithms如果 bn=x ，则记 n=log(b)(x) 。其中， b 叫做“底数”， x 叫做“真数”， n 叫做“以 b 为底的 x 的对数”。log(b)(x) 函数中 x 的定义域是x0 ，零和负数没有对数；b 的定义域是b0且 b 1对数的历史：对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明 者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家纳皮尔（ Napier ，1550-1617 年）男爵。在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数
2、学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子：
3、0、 1 、2 、3 、 4 、5、 6 、7 、8 、9 、10、11、 12 、 13 、 14 、1 、2、 4 、8、 16 、 32 、64 、 128 、 256 、512 、1024 、 2048 、 4096 、8192 、16384 、这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2 的指数，第二行表示2 的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。比如，计算64 256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64 对应 6，256 对应 8 ；然后再把第一行中的对应数字加和起来：68 14 ；第一行中的 14 ，对应第二行中的16384 ，所
4、以有：64 25616384 。纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查常用对数表，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过常用对数的反对数表查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于 1614 年出版了他的名著奇妙的对数定律说明书，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学
5、史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作自然辩证法中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace ， 1749-1827）曾说对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。对数的性质及推导用 表示乘方，用log(a)(b)表示以 a 为底， b 的对数.*表示乘号， / 表示除号定义式：若 an=b(a0且 a 1)则 n=log(a)(b)基本性质：1.a(log(a)(b)=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.l
6、og(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M)推导1.这个就不用推了吧，直接由定义式可得( 把定义式中的 n=log(a)(b)带入 an=b)2.MN=M*N由基本性质1( 换掉 M 和 N)alog(a)(MN)=alog(a)(M)* alog(a)(N)由指数的性质alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)= log(a)(M)+log(a)(N)3.与 2 类似处理MN=M/N由基本性质1( 换掉 M 和 N)alog(a)(M/N)=alog(a)(
7、M)/ alog(a)(N)由指数的性质alog(a)(M/N)=alog(a)(M)- log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)- log(a)(N)4.与 2 类似处理Mn=Mn由基本性质1( 换掉 M)alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n由指数的性质alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(Mn)=nlog(a)(M).其他性质：性质一：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/ log(b)(a)推导如下N =alog(a)(N)a =blog(b)(a)综合两式可得N
8、=blog(b)(a)log(a)(N)= blog(a)(N)*log(b)(a)又因为 N=blog(b)(N)所以blog(b)(N)= blog(a)(N)*log(b)(a)所以log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)这步不明白或有疑问看上面的所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)推导如下由换底公式 lnx 是 log(e)(x),e称作自然对数的底log(an)(bm)=ln(an)/ ln(bn)由基本性质4 可得log(an)(bm)=n*ln(a)/ m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b)再由换底公式log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)-（性质及推导完 ）公式三 :log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下 :由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)- 取以 b 为底的对数 ,log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得 :log(a)(b)*log(b)(a)=1.