《《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案解析).docx（42页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、完美 WORD 格式 .整理椭圆方程典型例题20 例典型例题一例 1 椭圆的一个顶点为 A 2，0 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 A 2，0 为长轴端点时， a2 ， b1，椭圆的标准方程为：x2y21 ；41（2）当 A 2，0 为短轴端点时， b2 ， a4，椭圆的标准方程为：x2y21 ；416说明：椭圆的标准方程有两个， 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解：2ca 221 3c2a2 ，c3 e13
2、33说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求 c ，再求比二是列含 a 和 c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可典型例题三.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理例 3已知中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆与直线 xy 1 0 交于 A 、B 两点，M 为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25 ，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为x2y21，a2xy 10由 x2y2，得 1 a 2 x22a2 x 0 ，a21 xMx12x21 a2 ， yM1 xM1，a 21 a2kOMyM11 ， a24，xMa 24 x2y 21为所求4说明：
3、（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法； （2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例4椭圆x2y 2， B9与焦点 F 4，0的251 上不同三点 A x1， y14， ， C x2， y295距离成等差数列（1）求证 x1 x2 8 ；（2）若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ，求直线 BT 的斜率 k 证明：（1）由椭圆方程知 a5 ， b3 ， c4 由圆锥曲线的统一定义知：AFc ，a 2ax1c.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理AFaex154x1 5同理CF54x2 59 ，AFCF2BF ，且 BF55
4、4 x154 x218 ，555即x1x28（2）因为线段AC 的中点为y1y2，所以它的垂直平分线方程为4，2yy1y2x1x2 x4 2y1y2又点 T 在 x 轴上，设其坐标为x ，0 0 ，代入上式，得x04y12y222 x1x2又点 A x1， y1 ， B x2， y2 都在椭圆上， y12 9 25 x12 25y229 25x22259 x1 x2 x1 x2 y12y2225将此式代入 ，并利用 x1x28 的结论得x0 436259055kBTx0 44典型例题五.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理例 5 已知椭圆 x2y 21，F1、 F2 为两焦点，问能否在椭
5、圆上找一点M ，使M43到左准线 l 的距离 MN 是 MF1与 MF2 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由解：假设 M 存在，设 M x1， y1 ，由已知条件得a 2 ， b3 ， c1 ， e1 2左准线 l 的方程是 x4 ， MN4 x1 又由焦半径公式知：1MF1aex12x1 ，1MF2aex12x1 2MF1MF2 ， MN x1 4221 x121 x1 22整理得 5x1232x1480解之得 x14 或 x112 5另一方面2x12则 与矛盾，所以满足条件的点M 不存在说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性
6、问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理（3）本例也可设 M 2cos ，3 sin存在，推出矛盾结论（读者自己完成） 典型例题六例 6 已知椭圆x2y21，求过点 P11且被 P 平分的弦所在的直线方程22，2分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求 k 解法一：设所求直线的斜率为 k ，则直线方程为 y1k x1 代入椭圆22方程，并整理得1 2k2 x22k22k x 1 k 2k30 22由韦达定理得 x1x22k 222k 12k P 是弦中点， x1x21故得 k
7、1 2所以所求直线方程为2x4 y30分析二：设弦两端坐标为x1， y1、 x2， y2 ，列关于 x1 、 x2 、 y1 、 y2 的方程组，从而求斜率： y1y2x1x2解法二：设过 P11的直线与椭圆交于 A x1， y1、 B x2， y2，则由题意得2，2x12y121，2x22y221，2x2 1，x1y1y21. 得 x12x22y12y220 2.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理将 、代入 得 y1y21 ，即直线的斜率为1 x1x222所求直线方程为 2x4 y30 说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦
8、中点轨迹（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（ 3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用典型例题七例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的2 倍，且过点2，6 ；（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 x2y21求出a 2b2a 2148 ，b237 ，在得方程 x2y21 后，不能依此写出另一方程y2x2114837148372222解：（1）设椭圆的标准方程为 x2y21 或 y2x2 1 abab由已知 a2b 又
9、过点2， 6，因此有22626 2221a2b21或b2a 2.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理由 、，得 a 2148， b237 或 a252 ， b213 故所求的方程为x2y21 或 y2x21148375213（2）设方程为 x2y21 由已知， c 3， bc 3 ，所以 a218 故所a 2b2求方程为 x2y21 189说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程x2y21 或y2x2a2b2a2b2 1 典型例题八例 8 椭圆 x2y21的右焦点为F ，过点 A1，3，点M 在椭圆上，当1612AM2 MF
10、 为最小值时，求点 M 的坐标分析：本题的关键是求出离心率 e1 ，把 2 MF 转化为 M 到右准线的距离，12从而得最小值一般地，求AMMF 均可用此法e1 ，右准线解：由已知： a4， c2 所以 e2l ：x8 过A作AQl ，垂足为 Q ，交椭圆于 M ，故MQ2 MF 显然 AM2 MF 的最小值为 AQ ，即 M 为所求点，因此 yM3 ，且 M 在椭圆上故xM2 3所以M 23，3 说明：本题关键在于未知式AM2 MF 中的“ 2”的处理事实上，如图，.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理e 1 ，即 MF 是 M 到右准线的距离的一半，即图中的 MQ ，问题转化为求椭圆
11、2上一点 M ，使 M 到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值典型例题九例 9 求椭圆 x2y21 上的点到直线 x y 60 的距离的最小值3分析：先写出椭圆的参数方程， 由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为x3 cos ，3 cos ，sin，ysin .设椭圆上的点的坐标为则点到直线的距离为3 cos sin 62 sin63d22当 sin1 时， d最小值22 3说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率 e332，已知点 P 0，2到这个椭圆上的点的最远距离是7
12、 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于 7 的点的坐标分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围此题可以用椭圆的标准方程，也可用.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理椭圆的参数方程， 要善于应用不等式、 平面几何、 三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是x2y21，其中 a b0 待定a2b2由 e2c2a2b2b2可得a2a21a2b1 e213 1 ，即 a 2b a42设椭圆上的点 x， y 到点 P 的距离是 d ，则32y29
13、d2x2ya21y23y2b249124b23y23y3 yb23424其中byb 如果 b1 ，则当 yb 时， d 2 （从而 d ）有最大值223231 ，与 b1 矛盾由题设得b，由此得 b772222因此必有 b1 成立，于是当 y1 时， d 2 （从而 d ）有最大值2224b23，可得 b1 ， a2由题设得7所求椭圆方程是 x2y 2141由 y1 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点3， 1，点3， 1到2223的距离是7 点P 0，2xa cos解法二：根据题设条件， 可取椭圆的参数方程是，其中 ab0 ，yb sin.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理待定， 02，
14、为参数c2a 2b2b22可得由 ea2a21ab1 e2131 ，即 a 2b a42设椭圆上的点 x， y3的距离为 d ，则到点P 0，222d 2x2y3a2 cos2b sin3224b23b2 sin 23b sin94123b2sin4b232b如果 11，即 b1 ，则当 sin1 时， d 2 （从而 d ）有最大值2b223231 ，与 b1 矛盾，因此必有由题设得b，由此得 b77222211成立2b1 时 d 2 （从而 d ）有最大值于是当 sin2b由题设知24b23， b1 ， a2 7所求椭圆的参数方程是x2 cosysin由 sin1 ， cos3，可得椭圆上
15、的是3，1 ，3，1 2222典型例题十一例 11 设 x ， yR ， 2x 23y26x ，求 x2y22x 的最大值和最小值分析： 本题的关键是利用形数结合，观察方程2 x23y26x 与椭圆方程的.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理结构一致设 x2y 22xm ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值解：由 2 x23y26x ，得2x32y219432可见它表示一个椭圆，其中心在3，点，焦点在x轴上，且过（ 0，0）点20和（ 3，0）点设 x2y 22xm ，则x1 2y 2m 1它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为m 1 m 1 在同一坐标系
16、中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即m11 ，此时 m0 ；当圆过（ 3， 0）点时，半径最大，即 m 1 4 ， m 15 x2y 22x 的最小值为 0，最大值为 15典型例题十二.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理例 12x2y2已知椭圆 C： 2b2 1 a b 0 ， A 、 B 是其长轴的两个端点a（1）过一个焦点 F 作垂直于长轴的弦 PP ，求证：不论 a 、 b 如何变化，APB120 （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使AQB120 ，求 C 的离心率 e 的取值范围分析：本题从已知条件出发， 两问都应从APB 和 AQB 的正切值
17、出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率 e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：x a ， y b ，根据AQB 120 得到2ay3 ，将 x2a2a22代入，消去 x ，用 a 、 b 、x2y2a2b2yc 表示 y ，以便利用 yb 列出不等式这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成解：（1）设 F c，0， Aa，0 ， B a，0x cb2b2 x2a2 y2a2b2P c，ab2， kBPb2于是 kAPaa ca ca APB 是 AP 到 BP 的角b2b22a2 tana caa c aAPBb4c 21a2c2a2 a 2c2
18、 tan APB 2故 tanAPB3APB120 .专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理（2）设 Q x， y ，则 kQAxy， kQBy ax a由于对称性，不妨设 y0 ，于是 AQB 是 QA 到 QB 的角yy2ay tanAQBxaxay 2x 2y2a21x22a AQB 120 ，2ay3x2y 2a2整理得3 x2y2a22ay0a2a2 x22 y 2b 3 1a2y22ay0b2 y0，2ab2 y3c222ab yb ，b2ab3c 2 ， 4a2 a 2c23c24c44224404240a ca， 3e4e e23 或 e22 （舍），6e123典型例题十三
19、例 13已知椭圆x2y21 的离心率 e1 ，求 k 的值k892分析：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在 x 轴上时， a2k 8 ， b29 ，得 c2k 1由 e1 ，2得 k4 .专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理当椭圆的焦点在 y 轴上时， a 29 ， b2k 8 ，得 c21 k 由 e1 ，得 1 k1 ，即 k5 2945 4满足条件的 k4 或 k4说明：本题易出现漏解 排除错误的办法是： 因为 k8 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上故必须进行讨论典型例题十四例 14 已知椭圆 x 2y 21上一点 P 到右焦点 F2 的距离
20、为 b (b1) ，求 P到左4b 2b 2准线的距离分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解解法一： 由 x2y 21，得 a2b ， c3b ， e3 4b 2b 22由椭圆定义， PF1PF22a4b ，得PF14b PF24bb3b 由椭圆第二定义，PF1e， d1 为 P 到左准线的距离，d1 d1PF12b，e3即 P 到左准线的距离为2 3b 解法二： PF2e， d2 为 P 到右准线的距离， ec3 ，d2a2PF22 3 d2b e3又椭圆两准线的距离为 2a28 3 b c3.专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理 P 到左准线的距离为 8 3
21、b2 3 b 2 3b 33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性否则就会产生误解椭圆有两个定义， 是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择， 运用自如一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义典型例题十五例 15 设椭圆x4 cos,为参数 ) 上一点 P 与 x 轴正向所成角 POx，y2(3 sin .3求 P 点坐标分析：利用参数与 POx 之间的关系求解解：设 P(4 cos ,23 sin) ，由 P 与 x 轴正向所成角为，3 tan23 sin，即 tan24 cos3而 sin0 ， cos0 ，由此得到 cos5 ， sin2 5 ，55 P点坐标为 (4 5 , 4 15)55典型例题十六例 16 设 P( x0 , y0 ) 是离心率为 e的椭圆 x2y21(ab 0) 上的一点， P 到左a2b2焦点 F1 和右焦点 F2 的距离分别为 r1 和 r2 ，求证： r1aex0 ， r2 a ex0 .专业资料分享.完美 WORD 格式 .整理分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离