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1、复数基础练习题一、选择题1下列命题中：若 z a bi ，则仅当a0， b 0 时 z 为纯虚数；若 (z1 z2)2 (z2 z3)2 0，则 z1 z2 z3； x yi 2 2i? x y2；若实数a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系其中正确命题的个数是()A 0B1C2D 32在复平面内，复数z sin 2 icos 2 对应的点位于 ()A 第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限3 a 为正实数， i 为虚数单位， z 1 ai ，若 |z| 2，则 a ()A 2B. 3C.2D 12 bi ，则 ()4 (2011 年高考湖南卷改编 ) 若a， bai i
2、R， i 为虚数单位，且A a1， b 1B a 1，b 1C a 1， b 1D a 1， b 15复数 z3 i2 对应点在复平面 ()A 第一象限内B 实轴上C虚轴上D 第四象限内6设 a， b 为实数，若复数 12i ( a b) (a b)i ，则 ()3， b 1B a 3， b11， b 3D a 1， b 3A a22C a227复数 z1 1i 在复平面上对应的点位于()22A 第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限8已知关于x 的方程 x2 (m 2i)x 2 2i 0(m R)有实根 n，且 z m ni，则复数z 等于 (A 3iB 3 IC 3iD 3 i9设复数
3、z 满足关系式 z |z| 2 i ，那么 z 等于 ()A 3 iB. 3 IC3 iD.3 i444410已知复数 z 满足 zi 33 i，则 z ()A 0B 2iC 6D 6 2i11计算 ( i 3) ( 2 5i)的结果为 ()A 56iB 3 5iC 5 6iD 3 5i12向量 OZ 1对应的复数是 5 4i，向量 OZ2对应的复数是 5 4i，则 OZ1 OZ2对应的复数是 (A 10 8iB 10 8iC 0D 108i13设 z1 3 4i， z2 2 3i，则 z1 z2 在复平面内对应的点位于()A 第一象限B 第二象限C第三象限D 第四象限14如果一个复数与它的模
4、的和为53i，那么这个复数是 ()111111A.5B.3IC. 5 3iD.5 2 3i15设 f(z) z，z 3 4i， z 2 i ，则 f(z z ) ()1212A 13iB 11i 2C i 2D 5 5i16复数 z cos i ，z sin i ，则 |z z |的最大值为 ()1212A 5B. 5C 6D.617设 z C，且 |z1| |zi| 0，则 |z i|的最小值为 ()21A 0B1C. 2D.218若 z C，且 |z2 2i| 1，则 |z 22i|的最小值为 ()A 2B3C 4D 519 (2011 年高考福建卷 )i 是虚数单位，若集合S 1,0,1
5、 ，则 ()A i SBi 2 SC i3 S D.2 Si20 (2011 年高考浙江卷 )把复数 z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位若z 1i ，则 (1 z) z ()A 3iB 3 IC 1 3iD 321化简2 4i2的结果是 ()1iA 2iB 2Ii 2 i 3 i4C 2 iD 2 i ()22 (2011 年高考重庆卷 )复数1i11iB 11I11i11A 2C. D. i222222223 (2011 年高考课标全国卷2 i 的共轭复数是 ()复数 1 2i33A 5iB. 5iC iD i24 i 是虚数单位， (1 i)4 等于 ()1 iA iB IC 1)D
6、125若复数 z 1 i ， z 3 i，则 z z (1212A 42iB 2 IC 2 2iD 3 iz等于 ()26设 z 的共轭复数是 z ，若 z z 4， zz 8，则 zA iB iC 1D i27 (2010 年高考浙江卷 )对任意复数z x yi(x， y R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是()A |z z | 2yB z2 x2y2C |z z | 2xD |z| |x| |y|二、填空题28在复平面内表示复数 z (m 3) 2mi 的点在直线 yx 上，则实数 m 的值为 _29复数 zx 1 (y 2)i(x， y R)，且 |z| 3，则点 Z(x，y)的轨迹
7、是 _30复数 z 1 2i， z 2 i ， z 3 2i， z 32i， z ， z ， z ， z 在复平面内的对应点分别12341234是 A， B， C， D ，则 ABC ADC _.31复数 4 3i 与 25i 分别表示向量 OA与 OB，则向量 AB表示的复数是 _32已知 f(z i) 3z 2i，则 f(i) _.33已知复数 z1 (a2 2) (a 4)i ，z2a (a2 2)i( aR )，且 z1 z2 为纯虚数，则a _.34 (2010 年高考上海卷 )若复数 z 1 2i(i为虚数单位 )，则 zz z _.35 (2011 年高考江苏卷)设复数 z 满足
8、 i(z 1) 32i(i 为虚数单位 )，则 z 的实部是 _36已知复数z 满足 |z| 5，且 (3 4i) z 是纯虚数，则z _.答案一、选择题1解析： 选 A. 在中没有注意到z a bi 中未对 a，b 的取值加以限制，故错误；在中将虚数的平方与实数的平方等同，如：若z1222221212121，z i ，则 zz1 1 0，从而由z z 0? / z z 0，故错误；在中若 x， yR ，可推出 x y2，而此题未限制x，yR ，故不正确；中忽视0i 0，故也是错误的故选 A.2 解析： 选 D. 220 ， cos20.故 z sin 2 icos 2 对应的点在第四象限故选
9、D.3 解析： 选 B.|z| |1 ai|a2 1 2， a 3.而 a 是正实数， a 3.4 解析： 选 D. ai i 2 1 ai b i，故应有 a1， b 1.5 解析： 选 B. z 3 i2 3 1 R ， z 对应的点在实轴上，故选B.6 解析： 选 A. 由 1 2i (a b) (a b)i 得a b 1，解得 a 3， b1.a b 2227 解析： 选 A. 复数 z 在复平面上对应的点为1， 1，该点位于第一象限，复数z 在复平面上对应的22点位于第一象限8 解析： 选 B. 由题意知n2( m 2i)n 2 2i 0，即 n2 mn 2 (2n2)i 0.n2
10、mn 2 0，解得m 3， z3 i.2n 20n 19 解析： 选 D. 设 z x yi(x、 y R) ，则 x yi x2 y2 2i ，3 xx2 y2 2，解得x 4，y 1.y 1. z 34 i.10 解析： 选 D.由 z i 3 3 i，知 z (3 i) (3 i) 6 2i.11解析： 选 A.( i 3) ( 2 5i) (3 2)(5 1)i 56i.5 4i ( 5 4i) (5 5) ( 44)i 0.12 解析： 选 C.OZ1 OZ2对应的复数是13 解析： 选 D. z z (3 4i) (2 3i)12 (3 2) ( 4 3)i 1 i ， z12对应
11、的点为 (1， 1)，在第四象限 z14 解析： 选 C.设这个复数为z abi( a， b R )，则 z |z| 5 3i，即 a a2 b2 bi 5 3i，b3b 3，解得a11 .a a2 b2 5511 z 5 3i.15 解析： 选 D.先找出 z1 z2，再根据求函数值的方法求解 z1 3 4i， z2 2 i ， z1 z2 (32) (4 1)i 5 5i. f(z) z， f(z1 z2) z1 z2 55i. 故选 D.16 解析： 选 D.|z1z2| |(cos sin) 2i| cos sin2 45 2sincos5 sin2 6.17解析： 选 C.|z 1|
12、 |z i|表示以 ( 1,0)、(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而|zi| |z ( i)|表示直线上的点到 (0， 1)的距离，数形结合知其最小值为22 .18 解析： 选 B. 法一： 设 z xyi(x，y R)，则有 |xyi 2 2i| 1，即 |(x 2) (y 2)i| 1，所以根据复数模 的 计 算 公 式 ， 得 ( x 2)2 (y 2)2 1 ， 又 |z 2 2i| |(x 2) (y 2)i| x22 y 2 2 x 2 21 x 2 2 18x.而 |x 2| 1，即 3 x 1，当 x 1时， |z 2 2i|min 3.法二： 利用数形结合法|z 2 2i
13、| 1 表示圆心为 ( 2,2)，半径为 1的圆，而 |z 2 2i| |z (2 2i)|表示圆上的点与点(2,2)的距离，由数形结合知，其最小值为3，故选 B.19 解析： 选 B. 因为 i 2 1 S，i 3 i /S， 2 2i /S，故选 B.i20 解析： 选 A.(1 z) z (2 i) (1i) 3 i.21 解析： 选 C.2 4i2 2 4i1 2i 2 i.故选 C.1 i2ii22 解析： 选 C.i 2 i3 i4 1 i 1 ii 1 i1 i1 1i.1 i1i 1 i2 1 i1 i2 22 i(2 i)(1 2i)2 i 4i 22 i23 解析： 选 C
14、.法一： 1 2i (12i)(1 2i)5 i， 12i的共轭复数为 i.法二： 2 i 2i2 ii (1 2i) i，1 2i1 2i1 2i 2 i 的共轭复数为 i.1 2i24 解析： 选 C.(1 i )4 ( 1 i)22 ( 2i )2 1.故选 C.1 i1 i2i25 解析： 选 A. z1 1 i， z2 3 i， z1 z2 (1 i)(3 i) 3 3ii i2 3 2i 14 2i.故选 A.26 解析： 选 D.法一： 设 z x yi(x，y R)，则 z x yi，由 z z 4， zz 8 得，x yi x yi 4，x 2x 2x yi?.x yi 8.
15、x2 y2 8y 2zx yix2 y2 2xyi z x yi x2 y2 i.法二： z z 4，设 z 2 bi(b R) ，又 zz |z|2 8， 4 b2 8， b2 4， b 2， z 22i， z 2?2i ，z i.z27 解析： 选 D. z x yi(x，y R )， |z z | |xyi xyi| |2yi| |2y|， A 不正确；对于 B，z2x2 y2 2xyi ，故不正确； |z z | |2y| 2x 不一定成立， C 不正确；对于 D， |z| x2 y2 |x| |y|，故D 正确二、填空题28 解析： 复数 z 在复平面上对应的点为(m 3,2m)，
16、m 3 2 m，即 m 2 m 3 0.解得 m 9. 答案： 929 解析： |z| 3，x 1 2 y 2 2 3，即 (x 1)2 (y 2)232.故点 Z(x， y)的轨迹是以O ( 1,2)为圆心，以 3 为半径的圆答案： 以 ( 1,2)为圆心， 3 为半径的圆30 解析： |z | |z | |z | |z | 5，所以点 A，B，C，D 应在以原点为圆心，5为半径的圆上，由于圆内1234接四边形 ABCD对角互补，所以 ABC ADC 180.2 5i (4 3i)31 解析： AB 表示 OB OA对应的复数，由 6 8i ，知 AB对应的复数是 6 8i.答案： 6 8i
17、32 解析： 设 z abi(a， bR )，则fa (b 1)i 3(a bi) 2i 3a (3b2)i ，令 a 0， b 0，则 f(i) 2i.答案： 2i33 解 析 ： z1 z2 (a2 a 2) (a 4 a2 2)i (a2 a 2) (a2 a 6)i( a R) 为纯 虚 数 ， a2 a 20，解得 a 1.a2 a 60，34 解析： z 1 2i， zz |z|2 5. zz z 6 2i.答案： 6 2i35 解析： 设 z abi(a、 bR )，由 i(z 1) 3 2i，得 b(a1)i 3 2i， a1 2， a 1.答案： 136 解析： (3 4i) z 是纯虚数，可设(3 4i)z ti(tR 且 t 0)， zti， |z|t| 5， |t| 25， t3 4i5 25， z 25i i(3 4i) ( 4 3i) ， z ( 4 3i) (4 3i) 3 4i答案： (43i)