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1、.平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的 性质：（1 ）：平行四边形 对边相等( 即： AB=CD,AD=BC )；（2 ）：平行四边形 对边平行( 即： AB/CD,AD/BC)；（3 ）：平行四边形 对角相等( 即： A=C,B=D)；（4 ）：平行四边形 对角线互相平分( 即： OA=OC ，OB=OD ) ；平行四边形的判定方法：1. 两组对边分别平行 的四边形是平行四边形（定义判定法） ；2. 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等 的四边形是平行四边形；4. 对角线互相平分 的四边形是平行四边形；5.
2、 两组对角分别相等 的四边形是平行四边形；考点 1特殊的平行四边形的性质与判定1 矩形的定义、性质与判定（1 ）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2 ）矩形的性质：矩形的对角线；矩形的四个角都是角。矩形具有的一切性质。矩形是轴对称图形， 对称轴有条，矩形也是中心对称图形， 对称中心为 _的交点。矩形被对角线分成了个等腰三角形。（3 ）矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是的四边形是矩形；对角线 _的平行四边形是矩形。.温馨提示 ：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60 度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定
3、时，必须先证明此四边形为平行四边形，然后再请一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。2 菱形的定义、性质与判定（1 ）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2 ）菱形的性质菱形的都相等；菱形的对角线互相，并且每一条对角线 _一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形，对称轴有_条。（3 ）菱形的面积菱形的面积 = 底高，菱形的面积 = 1 ab ，其中 a，b 分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分 2成了 4 个全等的直角三角形。（4 ）菱形的判定：都相等的四边形是菱形；对角线的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。温馨提示 ：在利用菱
4、形的判定时，也要注意所要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。3正方形的性质及判定方法（1 ）正方形的性质：正方形的四个角都是，四条边都；正方形的两条对角线，并且互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角； 正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（2 ）正方形的判定方法：有一组邻边相等的_是正方形；对角线互相_的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线的菱形是正方形。.温馨提示 ：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心
5、思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时，“平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。一正确理解定义（1 ）定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法（ 2）表示方法：用“”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD 记作ABCD ，读作“平行四边形 ABCD ”2 熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的（1）角：平行四边形的 邻角互补 ，对角相等
6、 ；（2）边：平行四边形两组 对边分别平行且相等 ；（3）对角线 ：平行四边形的 对角线互相平分 ；（4）面积： S 底高 = ah ；平行四边形的对角线将四边形分成4 个面积相等的三角形3 平行四边形的判别方法定义：两组对边 分别平行的四边形是平行四边形方法 1 ：两组对角 分别相等的四边形是平行四边形方法 2 ：两组对边 分别相等的四边形是平行四边形方法 3 ：对角线互相平分 的四边形是平行四边形方法 4 ：一组平行且相等 的四边形是平行四边形二、几种特殊四边形的有关概念（1 ）矩形：有一个角是 直角 的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定
7、方法，对于这个定义，要注意把握：平行四边形； 一个角是直.角，两者缺一不可（2 ）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：平行四边形；一组邻边相等，两者缺一不可（3 ）正方形：有一组邻边相等 且有一个 直角 的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形（4 ）梯形： 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：一组对边平行；另一组对边不平行（5 ）等腰梯形： 是一种特殊的梯形，它是两腰
8、相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形2 几种特殊四边形的有关性质（1 ）矩形：边：对边平行且相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相平分且相等；对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2 条）（2 ）菱形： 边：四条边都相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条）（3 ）正方形： 边：四条边都相等；角：四角相等；对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45 0；对称性：轴对称图形（4 条）（4 ）等腰梯形： 边：上下底平行但不相等，两腰相等；角：同一底边上的两个角相等；对角互补.对角线：对角线相
9、等；对称性：轴对称图形（上下底中点所在直线）3 几种特殊四边形的判定方法（1 ）矩形的判定： 满足下列条件之一的四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；四个角都相等（2 ）菱形的判定： 满足下列条件之一的四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等（3 ）正方形的判定： 满足下列条件之一的四边形是正方形 有一组邻边相等且有一个 直角 的平行四边形 有一组邻边相等的矩形； 对角线互相垂直的矩形 有一个角是 直角 的菱形 对角线相等的菱形；（4 ）等腰梯形的判定： 满足下列条件之一的梯形是等腰梯形 同一底两个底角相等的梯形； 对角线相等的
10、梯形4几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1 ）识别矩形的常用方法 先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任意一个角为直角 先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的对角线相等. 说明四边形 ABCD 的三个角是直角（2 ）识别菱形的常用方法 先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等 先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直 说明四边形 ABCD 的四条相等（3 ）识别正方形的常用方法 先说明四边形 ABCD 为平行四边形， 再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边
11、相等先说明四边形 ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等先说明四边形 ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等先说明四边形 ABCD 为菱形，再说明菱形 ABCD 的一个角为直角（4 ）识别等腰梯形的常用方法先说明四边形 ABCD 为梯形，再说明两腰相等先说明四边形 ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等先说明四边形 ABCD 为梯形，再说明对角线相等5 几种特殊四边形的面积问题设矩形 ABCD 的两邻边长分别为 a,b ，则 S 矩形 =ab 设菱形 ABCD 的一边长为 a，高为 h ，则 S 菱形 =ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则 S 菱形 = 1
12、ab 2 设正方形 ABCD 的一边长为 a，则 S 正方形 = a2 ；若正方形的对角线的长为a，则 S 正方形 =1a2 12 设梯形 ABCD 的上底为 a，下底为 b ，高为 h ，则 S 梯形 = (a b)h 2平行四边形矩形菱形正方形.图形1对边1对边1对边1对边且；且；且四条边都；且四条边都；2对角；2对角2对角；2对角性质邻角；且四个角都是3对角线且四个角都是；3对角线；且每3对角线；3对角线条对角线且 每 条 对 角；线；面积例 1 ：如图，菱形 ABCD 中，B 60 ，AB 2 ，E、F 分别是 BC、 CD 的中点，连接 AE、EF、 AF，则AEF 的周长为（）A
13、2 3B 3 3C 4 3D 3例 2 ：如图，把矩形 ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若1 50o ，则AEF = （）A 110 B 115 C 120 D 130 一、选择题（每题3 分，共 30 分）1如图，在菱形ABCD 中， AB = 5 ，BCD = 120 ，A则对角线 AC 等于（BD）CA 20B 15C 10D 52 如图，将一个长为10 cm ，宽为 8 cm 的矩形纸片对折两次后，DAC.沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A 10cm 2B 20cm 2C 40cm 2D 80cm23如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、
14、BD 相交于点 O ， M 、N 分别是边 AB 、AD 的中点，连接 OM 、 ON 、MN ，则下列叙述正确的是（）A AOM 和AON 都是等边三角形B四边形 MBON和四边形 MODN都是菱形C四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形D 四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形ADDCDFCMNABODPOECABAEBCBF第 5题图第 3 题图第 4 题图4.如图，在菱形ABCD 中，A=110 ，E， F 分别是边 AB 和 BC 的中点， EPCD 于点 P，则FPC=（）A 35 B 45 C 50 D 55 5. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠
15、，得到菱形AECF若 AB 3，则 BC 的长为 ()A1B2C2D37正方形 ABCD 的边长为 8， M 在 DC 上，且 DM=2 ， N 是 AC 上一动点，则 DN+MN的最小值为（）A 8B82C217D108如图， ABCD 的周长是 28 ，ABC 的周长是 22 ，则 AC 的长为()第 8 题图.A 6 B12 C4 D 8 9如图，菱形 ABCD 的边长为 10 cm ， DEAB ，DE=6 ，则这个菱形的面积 =cm 2 第 9 题图第 10 题图10. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是三、解答题11 如图 ，ABCD 是菱形，对角线 AC
16、 与 BD 相交于 O， ACD30，BD6 D（ 1）求证：ABD 是正三角形；AOC（ 2）求 AC 的长（结果可保留根号） B12. 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，过 AB 的中点 E 作 AC 的垂线 EF，交 AD于点 M ，交 CD的延长线于点 F.（ 1）求证： AM = DM ；EABMFCD第 12 题图（ 2）若 DF=2 ，求菱形 ABCD 的周长.13 如图：已知在 ABC 中， ABAC ， D 为 BC 边的中点，过点D 作ADE AB，DF AC ，垂足分别为 E，F .（1）求证： BED CFD ；（ 2）若A90，求证：四边形 DFAE 是正方形 .EFBCD第 13 题图.